<< Предыдущая

стр. 93
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(k + ?0 ? 1) 3 +
2
H = [?0 , ?a ]pa + ?0 m + + , ?b pb ,(2.5)
m2 x3
x m x
а ? — десятикомпонентная волновая функция, удовлетворяющая дополнительному
условию
?a pa 2 ikqe2 xa
1? ?0 ?
2
?0 + ?a ?0 3 ? = 0.
m2
m x
Очевидными операторами симметрии уравнения (2.1) являются генераторы груп-
пы O(3) (операторы углового момента), явный вид которых задается формулами
(1.3) и (2.6):

(2.6)
Sa = i?abc ?b ?c .

Эти генераторы являются интегралами движения, поскольку коммутируют с га-
мильтонианом (2.5).
Используя соотношения (2.4), можно убедиться прямой проверкой в справедли-
вости следующего утверждения.
Утверждение 2. Для уравнения (2.1)–(2.3) существует дополнительный инте-
грал движения

Q = (1 ? 2?0 )[2(S · J )2 ? 2S · J ? J 2 ],
2
(2.7)

где J и S задаются формулами (1.3), (2.6).
Оператор (2.7) коммутирует как с гамильтонианом (2.5), так и с оператором
L (2.1) и, следовательно, является оператором симметрии рассматриваемого урав-
нения. Этот результат справедлив, конечно, и в случае k = 0, т.е. в отсутствие
аномального взаимодействия.
Как и интеграл Дирака, оператор (2.7) имеет дискретный спектр, который, в
отличие от (1.5), имеет вид

(2.8)
Q? = ?j(j + 1)?.

К соотношению (2.8) приходим, используя представление (1.4) для оператора
S · J.
Оператор (2.7) не принадлежит обвертывающей алгебре, порождаемой генера-
торами (1.3), (2.6). Однако квадрат этого оператора выражается через J 2 :

Q2 = (J 2 )2 . (2.9)
394 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Интересно отметить, что формула (2.7) задает оператор симметрии также для
уравнений Максвелла с токами и зарядами, если последние записать в виде си-
стемы [14]
(1 ? ?5 )(? µ pµ + 1)? = 0,
2
? µ pµ ?5 ? = 0,
i
где ?5 = 4! ?µ?p? ? µ ? ? ? p ? ? , ? — столбец (E1 , E2 , E3 , H1 , H2 , H3 , j1 , j2 , j3 , j0 ), Ea и
Ha (a = 1, 2, 3) — компоненты векторов напряженности электрического и магни-
тного полей, jµ (µ = 0, 1, 2, 3) — компоненты четырехвектора тока, ?µ — матрицы
КДП в стандартном представлении, явный вид которых приведен, например, в [14].
Действительно, как нетрудно убедиться, [Q, (1 ? ?5 )(? µ pµ + 1)] = [Q, ? µ pµ ?5 ] = 0.
2

Дополнительный интеграл движения существует и для уравнения Штюкель-
берга [17], описывающего взаимодействие квазичастнцы (с возможными значени-
ями спина s = 0, 1) с полем точечного заряда. С учетом аномального взаимодей-
ствия Паули это уравнение может быть записано в форме (2.1)–(2.3), где ? µ —
матрицы размерности 11 ? 11, явный вид которых приведен, например, в [16],
S µ? — генераторы прямой суммы неприводимых представлений D 1 , 1 ?D(0, 0)? 22
D(1, 0) ? D(0, 1) группы Лоренца. Интеграл движения для такого уравнения за-
дается формулой (2.7), где Sa = 1 ?abc Sbc , а ?0 и Sab — соответствующие матрицы
2
размерности 11 ? 11. Для нового интеграла движения уравнения Штюкельберга
справедливы соотношения (2.8), (2.9).
3. Интегралы движения для частиц произвольного спина
Приведенные выше результаты могут быть обобщены на случай релятивистских
волновых уравнений для частиц произвольного спина.
Рассмотрим произвольное уравнение вида (2.1), где S µ? — генераторы прямой
суммы конечномерных неприводимых представлений

?D(m, n) (3.1)
D=

группы Лоренца, ? µ — числовые матрицы, удовлетворяющие соотношениям
[? µ , S ?? ] = i(g µ? ? ? ? g µ? ? ? ), (3.2)
обеспечивающим релятивистскую инвариантность уравнения (2.1).
Потребуем, чтобы уравнение (2.1) было инвариантно относительно преобразо-
вания пространственной инверсии (1.8), где r — числовая матрица для которой
должно выполняться [18]
r? a = ?? a r, rS 0a = ?S 0a r.
r2 = 1, r? 0 = ? 0 r, rS ab = S ab r, (3.3)
На матрицы ? µ обычно накладывается ряд дополнительных ограничений, обес-
печивающих возможность лагранжевой формулировки уравнения (2.2) и един-
ственность значения спина описываемой им частицы [18]. Для наших целей эти
дополнительные предположения несущественны.
Ограничимся случаем, когда внешнее поле сводится к потенциалу Кулона (2.2).
По аналогии с (1.2), (2.7) оператор симметрии соответствующего уравнения (2.1)
ищем в виде
d = d(x, p, S µ? ), (3.4)
Q = rd,
где r — матрица пространственной инверсии.
Нелиевские интегралы движения для частиц произвольного спина 395

Потребовав коммутативность Q (3.4) с L (2.1), получаем, используя (3.2), (3.3),
следующие уравнения для d:

(3.5)
[d, x] = [d, ?0 ] = 0,

(3.6)
[d, S0a Pa ]+ = [d, S0a xa ]+ = 0.

Из (3.5) следует, что d зависит только от матриц Sab , a, b = 0, и x?p, а уравнения
(3.6) достаточно рассмотреть для матриц S0a из неприводимого представления
D(m, n) ? D.
Решение уравнений (3.6) удобно искать в базисе шаровых спиноров (собствен-
ных векторов коммутирующих операторов J 2 , S 2 , J3 и L2 = (x ? p)2 ), в котором
операторы S0a xa /x и xS0a pa сводятся к числовым матрицам. Явный вид этих ма-
триц приведен в [16].
Переход к базису шаровых спиноров, по существу, является одной из форм
реализации предложенного в [12–14] алгоритма поиска нелокальных симметрии
дифференциальных уравнений, основная идея которого состоит в преобразовании
уравнений к такому представлению, в котором описание симметрии сводится к
чисто матричной задаче.
Опуская несколько громоздкие выкладки, приведем явный вид операторов d
для произвольных неприводимых представлений D(m, n):
(m + n) целое:
m+n s
(?1)? B? ,
s
(3.7)
d = CF ? = 0, 1, . . . ;
s=|m?n| ?=0

(m + n) полуцелое:
m+n s
(?1)s+1/2?? N? ,
s
(3.8)
d = CF ? = 1/2, 3/2, . . . ,
s=|m?n| ?=1/2

2(m+n)?1
(4J 2 + 1 ? ?2 ), m + n = 1 1
где F = 2, и F = 1 для m + n = 2, C—
?=1
s s
произвольная постоянная, B? и N? — операторы, удовлетворяющие соотношениям
s
1
[1 ? (?1)2s ];
s
(3.9)
B? = 1, ? = ?0 , ?0 + 1, . . . , ?0 =
4
?=?0


N? N? = ??? (4J 2 + 1)B? ,
ss s ss s ss s
(3.10)
B? B? = ??? B? , B? N? = ??? N? ,
s
Gs ? Ps (2S · J ? S ) = (?N? ? ?2 B? ).
2 s s
(3.11)
?=?0

Здесь Ps — оператор проектирования
S 2 ? s (s + 1)
|m ? n| ? s, s ? m + n,
Ps = ,
s(s + 1) ? s (s + 1)
s =s
396 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

S — вектор с компонентами Sa = 1/2?abc Sbc , Sbc ? D(m, n).
s s
Для каждого конкретного значения s операторы B? и N? можно выразить
через Gs . Для этого достаточно последовательно возвести обе части уравнения
(3.11) в степень n = 1, 2, . . . , 2s и решить полученную систему 2s + l линейных
s s
алгебраических уравнений для 2s + l неизвестных B? и N? . При этом согласно
(3.10) уравнения с номерами n = 2k и n = 2k + 1 имеют вид

s k
?2(k+m) (4J 2 + 1)k?m C2k B? ?
G2k 2m s
=
s
m=0
?=?0
k?1
? k ? s;
?2(k+m)?1 (4J 2 + 1)k?m?1 C2k N? ,
2l+1 s

l=0
(3.12)
s k
?2(k+m)+1 (4J 2 + 1)k?m C2k+1 N? ?
G2k+1 = 2m s
s
m=0
?=?0
k?1
? ?2(k+l) (4J 2 + 1)C2k+1 B? ,
2l+1 s
k<s
l=0

a
(Cb — число сочетаний из b элементов по a), а уравнение с номером 2s+1 задается
формулой (3.8).
Пусть S = (m + n)max — максимальное значение квантового числа s, возни-
кающее при редукции представления (3.1) по группе O(3). Приведем решения
уравнений (3.7)–(3.9), (3.12) для d = dS , S ? 2:

d1/2 = 2S · J ? 1/2; (3.13)

d1 = 2(S · J )2 ? 2S · J ? J 2 ; (3.14)

d3/2 = 4/3[g 3 ? g 2 ? (7J 2 + S 2 )g + (4S 2 ? 6)J 2 ] + 3;
(3.15)
g = 2S · J ? 3/2;

d2 = 2/3[(S · J )2 ? 2S · J ? 4J 2 ](S · J ? 1)(S · J ? 3) ?
? J 2 (J 2 ? 2) + (1/3S 2 ? 2)[(4 ? 3J 2 )(S · J )2 + (7J 2 ? 4)S · J ? (3.16)
? 4J 2 + 3/8S 2 (4J 2 + 1).

Здесь J — оператор (1.3), S — матрицы, входящие в соответствующее представ-
ление D (3.1) при S ? 2.
Формулы (3.4), (3.13)–(3.16) задают операторы симметрии для целого класса
релятивистски- и P -инвариантных уравнений вида (2.1), соответствующих S ? 2.
В этот класс входят уравнения, обсуждаемые выше в разделах 1, 2, уравне-
ния Рариты–Швингора [19] в формулировке, приведенной в [20], Дирака–Фирца–
Паули [21, 22], описывающие частицы с фиксированными значениями массы и
спина, а также уравнения Баба [23] для наборов частиц со спинами s ? S и
массами ms . Явный вид соответствующих матриц r и S приведен в [18, 20, 23].
Нелиевские интегралы движения для частиц произвольного спина 397

Отметим еще, что спектр операторов (3.13), (3.14) задается формулами (1.5),
(2.8) (где Q > ds ), а для операторов (3.15), (3.16) получаем с использованием (1.4)
d3/2 ? = ?(2j ? 1)(2j + 1)(2j + 3)?, ? = ±1, j = 1/2, 3/2, . . . ;
d2 ? = ?(j ? 1)j(j + 1)(j + 2)?, ? = ±1, j = 0, 1, . . . .
4. Интегралы движения для двух- и трехчастичных уравнений
Приведенные выше результаты позволяют построить новые интегралы движе-
ния для уравнений, описывающих системы взаимодействующих частиц.
Рассмотрим обобщенное двухчастичное уравнение вида
?
? = (H (1) + H (2) + V )?, (4.1)
i
?x0
где H (1) и H (2) — одночастичные гамильтонианы Дирака
(?) (?)
H (?) = ?0 ?a pa ? ?0 m(?) ,
(?)
(4.2)
? = 1, 2,
(1) (1) (2)
{?0 ?a } и {?0 ? (2) } — коммутирующие наборы матриц Дирака размерности 16?
16, V — потенциал взаимодействия следующего общего вида:

V = VA ?A + VB ?a xa + Vc ?ab xa xb . (4.3)
B c

(1) (2) (1) (2)
Здесь {?A } (A = 1, 2, . . . , 16) — набор матриц {?0 ?0 , ?4 ?4 , ? (1) ? (2) , I} и их
(a)

<< Предыдущая

стр. 93
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>