<< Предыдущая

стр. 94
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

всевозможных произведений, пронумерованный произвольным образом, ?a =
(?) (?) (?) (?) (?) (?) (?) (1) (2) (?) (?)
2 ?abc ?b ?c , {?B } = {?4 ?0 ?a , ?4 ?a , ?0 ?0 ?4 ?a }, B = 1, 2, . . . , 24,
i ?
(1) (2)
(?, ?, ?) = 1, 2, {?ab } (C = 1, 2, . . . , 8) — набор матриц вида ?C ?a ?b , где {?C } =
C
(?) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (?) (1) (2) (1) (2)
{?0 , ?4 , ?4 , I, ?0 ?0 , ?4 ?4 ?0 , ?0 ?0 ?4 ?4 }, VA , VB , VC — произволь-
ные функции от x.
Формула (4.3) определяет общий вид потенциала V , при котором уравнение
(4.1) сохраняет инвариантность относительно группы O(3) и преобразования про-
(1) (2)
странственной инверсии (1.8) (при этом r = ?0 ?0 ). Такой потенциал включает
как частные случаи (получаемые специальным выбором функций VA , VB и VC )
квазирелятивистский потенциал Брейта [3], релятивистский потенциал двухчас
тичного уравнения Барута–Коми [4], а также потенциалы, используемые в кварцо-
вых моделях мезонов [5–7]. Соответствующие уравнения (4.1) интерпретируются
как двухчастичные уравнения в системе центра масс [7].
Для уравнения (4.1) с произвольным потенциалом вида (4.3) существует оче-
видный векторный интеграл движения — оператор полного момента (1.3), где
i (?) (?)
(1) (2) (?)
(4.4)
Sa = Sa + S a , Sa = ?abc ?b ?c , ? = 1, 2.
4
Оказывается, однако, что, как и для рассмотренных выше одночастичных реляти-
вистских уравнений, можно указать дополнительный интеграл движения уравне-
ния (4.1), который имеет вид
(1) (2)
(4.5)
Q = ?0 ?0 d1 ,

где d1 задается формулами (3.14), (1.3), (4.4).
398 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Как можно убедиться прямой проверкой, оператор (4.5) коммутирует с гамиль-
тонианами H (1) и H (2) (4.2) с любым потенциалом вида (4.3). Такую проверку
?
несложно осуществить, воспользовавшись следующим представлением для Q:
(1) (2)
?
Q = ?0 ?0 ([Q(1) , Q(2) ]+ ? 1/2), (4.6)

где Q(?) — операторы, явный вид которых может быть получен из (3.13) заменой
S > S (?) (S (?) заданы в (4.4), J — в (1.3), (4.4)). Эти операторы удовлетворяют
условиям

[Q(?) , ? (?) · p]+ = ? (? ) · p, [Q(?) , ? (?) · x]+ = ? (? ) · x,
[Q(?) , ? (? ) · p] = [Q(?) , ? (? ) · x] = [Q(?) , x] = 0, ? = ?.
Таким образом, для любого двухчастичного уравнения вида (4.1) существует
дополнительный интеграл движения, задаваемый формулами (4.5), (4.6). Можно
показать, что в пространстве квадратично интегрируемых функций спектр опера-
тора (4.5) дискретен и задается формулой (2.8).
Укажем еще новый интеграл движения для трехчастичного уравнения Кроли-
ковского [8]:
(1) (2) (3)
Q = ?0 ?0 ?0 d3/2 .
(1) (1) (2) (2) (3) (3) (1)
+ ?b ?c ), {?µ },
i
Здесь d3/2 — оператор (3.14) для Sa = 4 ?abc (?b ?c + ?b ?c
(2) (3)
{?µ }, {?µ } — три набора коммутирующих матриц Дирака размерности 64 ? 64.
5. Заключение
Мы убедились, что дополнительпые интегралы движения типа Дирака суще-
ствуют для широкого класса одночастичных и двухчастичных уравнений. Найден-
ные интегралы движения могут быть использованы при решении соответствующих
уравнений методом разделения переменных, при построении ортогональных бази-
сов и для других целей.
При выводе новых интегралов движения существенно использовалась симме-
трия рассматриваемых уравнений относительно группы O(3) и преобразования
пространственной инверсии P . Полученные результаты могут быть обобщены па
случай произвольных O(3)- и P -инвариантных уравнений, не обязательно удов-
летворяющих условию релятивистской инвариантности. В частности, такие инте-
гралы движения могут быть получены для галилеевски-инвариантных волновых
уравнений [24–26, 16] и для уравнений вида (2.1) с произвольным O(3)- и P -
инвариантным потенциалом A0 .
Следует еще раз отметить, что найденные интегралы движения в принципе не
могут быть получены методами классического группового анализа дифференци-
альных уравнений. Существеннно “нелиевскими элементами” используемого нами
подхода являются высокий порядок операторов дифференцирования, входящих в
операторы симметрии, и сведение задачи к нахождению общего решения антиком-
мутационных соотношений (3.6).
Многочисленные примеры нелиевской симметрии основных уравнений кванто-
вой теории приведены в [16].
Нелиевские интегралы движения для частиц произвольного спина 399

1. Дирак П.А.М., Принципы квантовой механики, М., Мир, 1979.
2. Johnson М.Н., Lippman В.А., Phys. Rev., 1950, 77, № 3, 702.
3. Breit G., Phys. Rev., 1929, 34, № 4, 553–573.
4. Barut А.О., Коmу S., Forts. Phys., 1985, 33, № 6, 309–318.
5. Krolikowski W., Rzewuski I., Acta Physica Polonica, 1976, 7, № 7, 481–496.
6. Хелашвили А.А., ТМФ, 1982, 51, № 2, 201–210.
7. Childers R.W., Phys. Rev. D, 1982, 26, № 10, 2902–2915.
8. Krolikowski W., Acta Physica Polonica В, 1984, 15, № 10, 927–944.
9. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
10. Ибрагимов Н.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983.
11. Олвер П., Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1989.
12. Фущич В.И., ДАН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
13. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1983, 14, Вып. 1, 5–57.
14. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel, 1987
(Сокращенный вариант: Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев,
Наукова думка, 1983).
15. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповая структура групп Галилея и Пуан-
каре и редукция в нелинейных уравнениях, Киев, Наукова думка, 1991.
16. de Amaral М.L., Zagury N., Phys. Rev. D, 1982, 26, № 11, 3119–3122.
17. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990.
18. Stucelberg E., Helv. Phys. Acta, 1938, 11, 225.
19. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я., Представления группы вращений и группы Лорен-
ца, М., Физматгиз, 1958.
20. Rarita, Schwinger J., Phys. Rev., 1941, 60, № 1, 61–62.
21. Боте Г., Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, М., Физматгиз,
1960.
22. Dirac Р.А.М., Рrос. Roy. Soc. London A, 1936, 155, 447–459.
23. Fierz M., Pauli W., Рrос. Roy. Soc. London A, 1939, 173, 211–232.
24. Kraicik R.A., Nieto M.M., Phys. Rev. D, 1974, 10, № 12, 4049–4060.
25. Levy-LebIond J.-M., Comun. Math. Phys., 1967, 6, № 4, 286–311.
26. Hurley W.J., Phys. Rev. D, 1971, 3, № 10, 2339–2347.
27. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1980, 44, № 1, 34–46.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 400–406.

О нелиевской симметрии
галилеевски-инвариантного уравнения
для частицы со спином s = 1/2
Р.З. ЖДАНОВ, В.И. ФУЩИЧ
Исследована симметрия одного галилеевски-инвариантного спинорного уравнения в
классе дифференциальных операторов первого порядка. Установлено, что множество
операторов симметрии первого порядка содержит супералгебру, которая является
суперрасширением алгебры Галилея.
Symmetry of a Galilei-invariant spinor equation in a class of first-order matrix differen-
tial operators is studied. It is established that a set of the first-order symmetry operators
contains a subalgebra which is a superextension of the Galilei algebra.

Под термином “нелиевская симметрия”, введенным в [1], будем понимать сим-
метрию уравнения, которая не может быть получена в рамках классического под-
хода Софуса Ли (см., например, [2–5]).
Нелиевская симметрия уравнения Дирака исследована в работах [6–8]. Анало-
гичные результаты получены и для пуанкаре-инвариантных уравнений движения
для частиц произвольного спина [9, 10]. В то же время нелиевская симметрия
уравнений движения, инвариантных относительно группы Галилея, совершенно не
исследована.
В настоящей работе полностью изучена нелиевская симметрия в классе диф-
ференциальных операторов первого порядка простейшего спинорного галилеевс-
ки-инвариантного уравнения (1)
{?i(?0 + ?4 )?t + i?a ?a + m(?0 ? ?4 )}?(t, x) = 0, (1)
где ?0 , ?1 , . . . , ?4 — матрицы Дирака размерности 4 ? 4, ?(t, x) — четырехкомпо-
нентная комплекснозначная функция-столбец,
? ?xa
?t = , ?a = , a = 1, 3, m = const.
?t ?t
Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам предполагается суммирование
от 1 до 3.
Уравнение (1) предложено рядом авторов [11, 12] для описания галилеевской
частицы с массой m и спином s = 1/2 (более подробно об этом см. [10, 13]).
Определение. Линейный дифференциальный оператор
(2)
Q = H0 (t, x)?t + Ha (t, x)?a + H(t, x),
где H0 , Ha , H — переменные матрицы размерности 4 ? 4, называется опера-
тором симметрии уравнения (1), если существует такой дифференциальный
оператор X, что выполнено соотношение (3)
[L, Q] ? LQ ? QL = XL. (3)
Теор. и мат. физика, 1991, 89, № 3, C. 413–419.
О нелиевской симметрии галилеевски-инвариантного уравнения 401

Здесь символом L обозначен оператор уравнения (1).
Операторное равенство (3) следует понимать следующим образом: дифферен-
циальные операторы, стоящие в левой и правой частях (3), при действии на прои-
звольное решение уравнения (1) дают одинаковый результат.
Если в (2) матрицы H0 , Ha пропорциональны единичной матрице, то опера-
тор (2) генерирует локальную группу Ли преобразований [5, 10]. Отметим, что
максимальной локальной группой инвариантности уравне ния (1) является 13-
параметрическая группа Ли [5, 11, 14].
Теорема 1. Произвольный оператор симметрии (2) уравнения (1) при m = 0
может быть представлен в виде линейной комбинации следующих операторов:
1
Jab = xb ?a ? xa ?b + ?a ?b ,
P 0 = ?t , Pa = ?a ,
2
1 1
Ga = t?a + 2imxa + (?0 + ?4 )?a , D = 2t?t + xa ?a + 2 ? ?0 ?4 ,
2 2
1
A = tD ? t2 ?t + imxa xa + (?0 + ?4 )?a xa , M1 = I, M2 = iI,
2
1 im
W0 = (?0 + ?4 )?t ? (?0 ? ?4 ),
2 2
1 1
Wa = ?abc (?0 + ?4 )(?b ?c ? ?c ?b ) + im?b ?c ,
2 2
Sa = ?0 ?4 ?a + (?0 + ?4 )?a ?t ? im(?0 ? ?4 )?a ,
(4)
1 1
Ta = ?abc (?0 ? ?4 )(?b ?c ? ?c ?b ) + ?b ?c ?t ,
2 2
3
R0 = tW0 + xa Wa + (?0 + ?4 ),
4
1 3
Ra = 2tTa + 2xa W0 + ?abc xb Sc + ?b ?c + ?a ,
2 2
N0 = xa Sa + ?0 ?4 , Na = tSa + 2?abc xb Wc + (?0 + ?4 )?a ,
Ka = 2xa R0 ? (xb xb )Wa +
t 3t
+ ?abc txb Sc + ?b ?c + (?0 + ?4 )xb ?c + t2 Ta + ?a ,
2 2
матрица 4 ? 4,
где I — единичная
?
? 1, (a, b, c) = цикл (1, 2, 3),
?
?1, (a, b, c) = цикл (2, 1, 3),
?abc =
?
?
в остальных случаях.
0,

Доказательство сформулированного утверждения существен упрощается, если
переписать уравнение (1) в эквивалентном виде, умножив его на несингулярную
матрицу i?3
?
L? ? {(?0 + ?4 )?3 ?t + ?3 ?1 ?1 + ?3 ?2 ?2 + ?3 + im(?0 ? ?4 )?3 }?(t, x), (5)

и исключить в операторе (2) производную ?3 по правилу

?3 = ?(?0 + ?4 )?3 ?t ? ?3 ?1 ?1 ? ?3 ?2 ?2 ? im(?0 + ?4 )?3 . (6)
402 Р.З. Жданов, В.И. Фущич

? ? ? ? ?
Подставляя L и Q = H0 ?t + H1 ?1 + H2 ?2 в соотношение (2), имеем
?? ? (7)
[L, Q] = X L.
Вычисляя коммутатор в левой части равенства (7) и приравнивая коэффициенты
при операторе ?3 , приходим к выводу, что X = 0. Следовательно, задача постро-
ения операторов симметрии вида (2) уравнения (1) сводится к нахождению всех
операторов
? ? ? ? ? (8)
Q = H0 ?t + H1 ?1 + H2 ?2 + H,
?
коммутирующих с L.
? ? ? ?
Разлагая матрицы H0 , H1 , H2 , H по базису из 16 линейно независимых ?-
матриц с коэффициентами, зависящими от t, x, имеем
(?) (?) (?)
?
H? = a(?) + b0 ?0 + b(?) ?a + C0a ?0 ?a + Cab ?a ?b +
a
(?)
+ d0 ?0 ?4 + +d(?) ?4 ?a + e(?) ?4 , (9)
a
?
H = a + b0 ?0 + ba ?a + C0a ?0 ?a + Cab ?a ?b + d0 ?4 + da ?4 ?a + e?4 ,
(?)
где a(?) , b0 , . . . , e(?) , a, . . . , e — произвольные комплекснозначные функции от t,
x, ? = 0, 2.
?
Вычисляя коммутатор (7), где X = 0, а оператор Q задается формулами (8),
(9), и приравнивая нулю коэффициенты при линейно независимых операторах
?t , ?t ?a , ?a ?b , ?t , ?a , a, b = 1, 2, a ? b, получаем переопределенную систе-
2

му линейных дифференциальных уравнений в частных производных на функции
(?)
a(?) , b0 , . . . , e(?) , a, b0 , . . . , e содержащую более 80 уравнений. Мы не приводим
эти уравнения из-за недостатка места.
Анализ полученной системы показывает, что все третьи производные от фун-
(?)
кций a(?) , b0 , . . . , e(?) , a, b0 , . . . , e равны нулю, т.е. они являются полиномами по

<< Предыдущая

стр. 94
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>