<< Предыдущая

стр. 95
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

переменным t, x не выше второго порядка. С учетом этого факта вышеуказанная
система уравнений легко интегрируется. Подставляя ее общее решение в формулы
(8), (9) и совершая замену (6), приходим к следующему выводу: произвольный
оператор симметрии первого порядка уравнения (1) является линейной комбина-
цией операторов (4), что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произвольный оператор симметрии (2) уравнения (1) при m = 0
может быть представлен в виде линейной комбинации следующих операторов:
M2 = iI, T? = ?1 (?0 + ?4 ) + i?1 (?0 + ?4 ),
1
M1 = I, 1 2
1
D? = ?2 ?t + ?2 (1 ? ?0 ?4 ),
1
?
2
1 1
A? = ?3 (xa ?a + 1) + ?3 ?0 ?4 + ?3 (?0 + ?4 )?a xa ,
?
2 2
1
G? = ?4 ?a + (?0 + ?4 )?a ?4 ,?a (10)
a
2
1 1
J? = ?abc ?5 xc ?b + ?b ?c + (?0 + ?4 )?a ?5 (?b xb ),
?a
a
4 2
W? = (?0 + ?4 )(?6 ?t + ?6 ?a ),
a a
1
S? = ?7 ((?0 + ?4 )?a ?t + ?0 ?4 ?a ) + (?0 + ?4 )?a ?7 ,
?a
a
2
О нелиевской симметрии галилеевски-инвариантного уравнения 403

1
T? = ?8 (2?a ?t ? (?0 + ?4 )?a ) + (2?a + ?abc ?b ?c )?8 ,
2
?a
a
4
D? = ?9 (?0 + ?4 )xa ?a ,
2

1 1
R? = ?10 ?abc ((?0 + ?4 )xb ?c + ?0 ?4 xb ?c ) + ?a ? (?0 + ?4 )?a ?10 (?b xb ),
?a
a
2 2
1 1
N? = ?11 (?0 + ?4 )?a xa ?t + ?0 ?4 xa ?a + (1 + ?0 ?4 ) + ?11 (?0 + ?4 )?a xa ,
?
2 2
K? = ?12 (?(?0 + ?4 )xb xb ?a + 2xa (?0 + ?4 )xb ?b +
a
+ 2xa (?0 + ?4 ) ? ?abc xb ?c (?0 + ?4 )),
1
?? = ?abc ?13 (?0 + ?4 ) xb ?c + ?b ?c ,
a
4
где ?N — произвольные гладкие действительные функции от t, точкой обо-
a
значено дифференцирование по t.
Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что и доказа-
тельство теоремы 1.
Таким образом, операторы симметрии первого порядка уравнения (1) при m = 0
образуют 35-мерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Это
пространство не замкнуто относительно операции
Q1 , Q2 > Q3 = [Q1 , Q2 ]
и, следовательно, не является алгеброй Ли. Однако оно содержит подпространс-
тва, на которых можно ввести структуру алгебры Ли (простейший пример — это
тринадцатимерная обобщенная алгебра Галилея с базисными элементами P0 , Pa ,
Jab , Ga , D, A, M2 из (4)).
Коэффициенты операторов W0 , Wa , Sa , Ta , R0 , Ra , N0 , Na , Ka являются матри-
цами, не кратными единичной матрице, вследствие чего эти операторы симметрии
в принципе не могут быть получены методом Ли (для их нахождения следует
применять обобщенный метод Ли — метод Ли–Бэклунда [3, 15]).
Построим в качестве примера группу преобразований, генерируемую нелиев-
ским оператором симметрии Q = ?a Wa , ?a ? R1 . Для этого согласно [9, 10]
необходимо вычислить экспоненту
?
1
exp{?a Wa } = (?a Wa )n . (11)
n!
n=0

Ряд в правой части равенства (11) нетрудно просуммировать, если заметить, что
операторы Wa на множестве решений уравнения (1) представляются в следующем
эквивалентном виде:
1
Wa = (?0 + ?4 )?a ? im?a .
2
Используя тождество (?a Wa )2 = m2 ?a ?a I, имеем
12 1
exp{?a Wa } = I + ?a Wa + m ?a ?a I + m2 ?a ?a (?b Wb ) + · · · =
2! 3!
? ?
m2k (?a ?a )k m2k+1 (?a ?a )k+1/2
?1 ?1/2
= I +m (?a ?a ) ? b Wb =
(2k)! (2k + 1)!
k=0 k=0
404 Р.З. Жданов, В.И. Фущич

= I ch m? + m?1 ??1 ?a Wa sh m?,

где ? = (?a ?a )1/2 .
Следовательно, нелиевский оператор ?a Wa генерирует группу преобразований
вида
t = t, xa = xa ,
? (t , x ) ? exp{?a Wa }?(t, x) = (ch m? ? i??1 ?a sh m?)?(t, x) +
(12)
??(t, x)
+ (2m?)?1 (sh m?)(?0 + ?4 )?a .
?xa
Поскольку закон преобразования компонент функции ?(t, x) содержит первые
производные от нее, (12) — это группа преобразований Ли–Бэклунда. Можно
непосредственной проверкой убедиться в том, что группа преобразований (12) пе-
реводит множество решений уравнения (1) в себя.
Как установлено в работе [16], из множества операторов симметрии первого и
второго порядков уравнения Дирака можно выделить подмножество, являющееся
супералгеброй Ли. Мы покажем, что аналогичный результат имеет место и для
уравнения (1).
Теорема 3. Операторы P0 , Pa , Jab , Ga , M2 , W0 , Wa образуют базис 15-мерной
супералгебры Ли.
Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что справедли-
вы следующие коммутационные соотношения:

[P0 , Pa ] = [Pa , Pb ] = [P0 , M2 ] = [Pa , M2 ] = [Jab , M2 ] = [Ga , M2 ] = 0,
[P0 , Jab ] = 0, [Pa , Jbc ] = ?ac Pb ? ?ab Pc ,
[Jab , Jcd ] = ?ac Jbd + ?bd Jac ? ?ad Jbc ? ?bc Jad ,
[Ga , Jbc ] = ?ac Cb ? ?ab Gc , [Pa , Gb ] = 2M2 ?ab ,
[P0 , W0 ] = [P0 , Wa ] = [Pa , W0 ] = [Pa , Wb ] = 0, [W0 , Jab ] = 0,
[Wa , Jbc ] = ?ab Wc ? ?ac Wb , [W0 , M2 ] = [Wa , M2 ] = 0, [Ga , W0 ] = ?Wa ,
[Ga , Wb ] = 0, [W0 , W0 ]+ = 2imP0 , [W0 , Wa ]+ = 2imPa ,
[Wa , Wb ]+ = ?iM2 ?ab .

Здесь [Q1 , Q2 ]+ = Q1 Q2 + Q2 Q1 . Из приведенных соотношений вытекает, что
операторы P0 , Pa , Jab , Ga , M2 могут быть выбраны в качестве четных (Ч), а опе-
раторы W0 , Wa — в качестве нечетных (H) элементов некоторой супералгебры,
поскольку выполнены равенства

[Ч, Ч] = Ч, [Ч, H] = H, [H, H]+ = Ч.

Теорема доказана.
Важно подчеркнуть, что симметрия галилеевски-инвариантного уравнения (1)
существенно шире, чем симметрия уравнения Дирака, которое при m = 0 допуска-
ет двадцать шесть линейно независимых операторов симметрии первого порядка,
а при m = 0 — пятьдесят два оператора [7, 10].
Полученные выше результаты по исследованию нелиевской симметрии уравне-
ния (1) могут быть использованы для построения новых интегралов движения с
О нелиевской симметрии галилеевски-инвариантного уравнения 405

помощью обобщенной теоремы Нетер [3, 4] либо в рамках подхода, развиваемого
в [9, 10], а также для разделения переменных.
Следуя [7, 14], решением уравнения (1) с разделенными переменными в коор-
динатах zµ = zµ (t, x), µ = 0, 3, будем называть четырехкомпонентную функцию
0
(13)
?(t, x) = R(t, x) Vµ (zµ ; ?)X
µ=0

(где R, Vµ — невырожденные 4 ? 4-матрицы, ?a — константы, X — произволь-
ный постоянный четырехкомпонентный столбец), которая удовлетворяет (1) то-
ждественно по ?. При этом параметры ?a называют константами разделения.
К настоящему времени не существует сколько-нибудь общих подходов к ре-
шению задачи полного описания решений с разделенными переменными для за-
данной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Однако,
если эта система обладает нетривиальной симметрией (лиевской или нелпевской),
существует конструктивный метод построения таких решений. Он состоит в том,
что решения с разделенными переменными ищутся как решение переопределенной
системы дифференциальных уравнений [7, 14]
(14)
L? = 0, Qa ? = ?a ?, a = 1, 3
где Q1 , Q2 , Q3 — операторы симметрии уравнения L? = 0, коммутирующие друг
с другом, ?a — константы разделения.
В [14] с использованием лиевской симметрии уравнения (1) получены пять си-
стем координат, в которых оно допускает разделение переменных, и построены со-
ответствующие решения вида (13). Используя нелиевскую симметрию уравнения
(1), можно получить новые системы координат, в которых возможно разделение
переменных. Подробный анализ этой проблемы будет проведен в одной из на-
ших последующих публикаций, здесь мы ограничимся тем, что приведем пример
разделения переменных с помощью нелиевской симметрии уравнения (1).
Выбирая в качестве Q1 , Q2 , Q3 операторы P0 , J12 , N0 из (4), переписываем
систему уравнений (14) в виде
{?i(?0 + ?4 )?t + i?a ?a + m(?0 ? ?4 )}? = 0,
P0 ? = ?1 ?, J12 ? = ?2 ?, N0 ? = ?3 ?.
Совершив в этих уравнениях замену переменных
x2 x3
z0 = t, z1 = x2 + x2 + x2 , z2 = arctg , z3 = arctg ,
1 2 3 1/2
x1 (x2 + x2 )
1 2

1 x3
?
?(z0 , z) = exp ? ?1 ?3 arctg ? (15)
1/2
2 (x2 + x2 )
1 2
1 x2
? exp ? ?1 ?2 arctg ?(t, x),
2 x1
после очень громоздких вычислений получаем
? ?
?? ??
? ?
= ??2 ?,
= ?1 ?,
?x0 ?x2
406 Р.З. Жданов, В.И. Фущич

?
?? ?1 ?1 ?
= {?1 (?0 + ?4 )?1 + im(?0 ? ?4 )?1 ? z1 ? ?3 z1 ?0 ?4 }?,
?z1
(16)
?
?? 1
tg z3 + ?2 (cos z3 )?1 ?2 ?3 ? ?3 ?2 ?,
?
=
?z3 2

т.е. переменные “разделились”.
Обозначая символами V1 (z1 ; ?1 , ?2 ), V3 (z3 ; ?2 , ?3 ) матрицанты третьей и четвер-
той систем обыкновенных дифференциальных уравнений из (16), запишем общее
решение уравнений (16) в виде
?(z0 , z) = ei(?1 z0 ??2 z2 ) V1 (z1 ; ?1 , ?3 )V3 (z3 ; ?2 , ?3 )X,
? (17)

где X — произвольный постоянный четырехкомпонентный столбец. Подстановка
полученного результата в формулу (15) даст точное решение исходного уравне-
ния (1) вида (13), где

1 x2 1 x3
R(t, x) = exp ?1 ?2 arctg exp ?1 ?3 arctg ,
1/2
2 x1 2 (x2 + x2 )
1 2
V0 (z0 ; ?) = ei?1 z0 , V1 (z1 ; ?) = V1 (z1 ; ?1 , ?3 ),
V2 (z2 ; ?) = e?i?2 z2 , V3 (z3 ; ?) = V3 (z3 ; ?2 , ?3 ),
Следовательно, собственная функция коммутирующих операторов симметрии
P0 , J12 , N0 является решением уравнения (1) с разделенными переменными в сфе-
рических координатах.

1. Фущич В.И., ДАН СССР, 1979, 246, № 5, 846–850.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
3. Ибрагимов Н.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983.
4. Олвер П., Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1989.
5. Фущич В.И., Штелень В.М, Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наукова думка, 1989.
6. Фущич В.И., ТМФ, 1971, 7, № 1, 3–12.
7. Шаповалов В.П., Экле Г.Г., Алгебраические свойства уравнения Дирака, Элиста, Изд-во Кал-
мыцкого госуниверситета, 1972.
8. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cim., 1976, 16, № 3, 81–85.
9. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наукова думка, 1983.
10. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990.
11. Levi-Leblond J.M., Commun. Math. Phys., 1967, 6, № 4, 286–311.
12. Galindo A., Sanchez С., Amer. J. Phys., 1961, 29, № 9, 582–584.
13. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1981, 12, Вып. 3, 1157–1219.
14. Фущич В.И., Жданов Р.З., Нелинейные спинорные уравнения: симметрия и точные решения,
Киев, Наукова думка, 1991.
15. Жданов Р.З., О применении метода Ли-Бэклунда к исследованию симметрийных свойств урав-
нения Дирака, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Ки-
ев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 70–73.
16. Fushchych W.I., Nikitin A.G., J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, № 4, 537–549.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 407–412.

<< Предыдущая

стр. 95
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>