<< Предыдущая

стр. 10
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

T {u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} =
= 2x0 (?x0 ? 1){u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} + L1 ,
де

L1 = 2?x2 /?u ? 2?f2 + f2 ? n/2. (43)
0

Справедливе рiвняння
(2)
T {L1 } = x0 (f2 ? 2?f2 + ?n).
2


Згiдно з критерiєм умовної iнварiантностi одержуємо, що рiвняння (11) при додат-
ковiй умовi

L1 = 2?x2 ?u ? 2?/f2 + f2 ? n/2 = 0 (44)
0

iнварiантне вiдносно оператора T (28), якщо виконується

f2 ? 2?f2 + ?n = 0. (45)

Загальний розв’язок останнього рiвняння задається так:

f2 (x0 ) = d exp{2?x0 } + nx0 /2 + c, d ? R, c ? R.
40 В.I. Фущич, В.I. Чопик

Теорема 4. Рiвняння (11) при ? = 2? умовно iнварiантне вiдносно алгебри
(1) (2)
Галiлея AG(2) (1, n) = T, Xa , M, Jab , Xa , де
x2
T = x2 ?0 + (?x0 ? 1)x0 xa ?a + + 2?x2 u + nx0 /2 + c ?u , (46)
0 0
4
якщо виконується додаткова умова 2x2 ?u ? nx0 ? 2c = 0.
0
Зауваження 5. Оператор T (46) при ? = c = 0 спiвпадає з стандартним опера-
тором проективних перетворень [2]. У цьому випадку рiвняння (11) iнварiантне
вiдносно оператора (46) у розумiннi Лi.
Аналогом оператора масштабних перетворень для рiвняння (11) при ? = 2? = 0
є оператор
(47)
D = x0 ?0 + (2?x0 + 1)xa ?a + (4?x0 + f2 )?u .
Подiявши другим продовженням оператора (47) на рiвняння (11), будемо мати
(2)
D {u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} =
= 2(2?x0 ? 1){u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} + L1 ,
де
L1 = 4?x0 ?u ? 2?f2 + f2 . (48)
(2)
Виконується рiвнiсть D {L1 } = 2x0 (f2 ? 2?f2 ). Таким чином, ми показали, що
рiвняння (11), (48) при
f2 ? 2?f2 = 0 (49)
iнварiантне вiдносно оператора D що має вигляд (47).
Теорема 5. Рiвняння (11) при ? = 2? умовно iнварiантне вiдносно розширеної
(1) (2)
алгебри Галiлея AG(2) (1, n) = T, Xa , M, Jab , Xa , D , де оператори T i D зада-
ються (46), (47), при виконаннi додаткових умов (44), (45) та умови третього
порядку
(50)
?0 (?u) = 0.
Для доведення теореми достатньо перевiрити, що при диференцiюваннi по x0
додаткова умова (44) спiвпадатиме з (48), (50), а умова на функцiю f2 (45) визна-
чатиме умову (49).
4. Висновки. З використанням запропонованого методу знаходження алгебр
умовної iнварiантностi ми досягли таких результатiв:
1) для нелiнiйного рiвняння (11) знайдено двi рiзних алгебри Галiлея AG(1) (1, n)
та AG(2) (1, n), якi є його алгебрами умовної iнварiантностi (див. теореми 2–4).
Причому кожна з цих алгебр допускає по два рiзних зображення (леми 1, 2);
2) знайдено додатковi умови, при яких наше рiвняння умовно галiлей-iнварi-
антне (див. (34), (40), (44), (50));
3) для редукцiї рiвняння (11) можна скористатися пiдалгебрами алгебр
AG(1) (1, n) та AG(2) (1, n), оскiльки структура алгебр Галiлея досить добре ви-
вчена [8];
Умовна симетрiя та новi зображення алгебри Галiлея 41

4) розв’язки рiвняння можна нетривiальним чином розмножувати по операторах
умовної симетрiї при умовi, що цi розв’язки задовольняють вiдповiднi додатковi
умови.
5. Антиредукцiя нелiнiйного рiвняння (11). Розглянемо такий анзац:

u = ?0 (x0 ) + xa ?a (x0 ) + x2 /4x0 , (51)

де ?µ (x0 ) — довiльнi функцiї вiд x0 , x2 = xa xa , a = 1, n. Пiсля пiдстановки (51) в
рiвняня (11) одержимо
?0 + ?a ?a ? ??0 ? (n/2)x0 + xa (??a + ?a +
+ ?a /x0 ? ??a ) + x2 (2? ? ?)/4x0 = 0.
З останнього рiвняння ми можемо зробити такий висновок: анзац (51) редукує
рiвняння (11) для функцiї u вiд (n+1) змiнної xµ при ? = 2? до системи звичайних
диференцiальних рiвнянь
?a + ?a /x0 ? ??a = 0,
(52)
?0 + ?a ?a ? 2??0 ? n/2x0 = 0,

для (n + 1) функцiї ?µ вiд x0 . Тобто анзац (51) здiйснює при ? = 2? антиредук-
цiю [9] рiвняння (11) до системи (52), що складається iз (n + 1) рiвнянь.
Система рiвнянь (52), на вiдмiну вiд рiвняння (11), легко iнтегрується. Загаль-
ний розв’язок системи (52) має вигляд

?a = da exp{?x0 }/x0 , ?0 = exp{2?x0 }(nF (x0 )/2 + d2 /x0 ), (53)

де

(x0 exp{2?x0 })?1 dx0 , da ? R,
d2 = d a d a ,
F (x0 ) = a = 1, n.

Пiдстановка (53) в анзац (51) задає нам багатопараметричну сiм’ю pозв’язкiв не-
лiнiйного рiвняння (11).
Анзац (51) породжується набором таких операторiв:

(54)
Ga = 2x0 ?a + ?ua , ua = ?u/?xa .

Нелокальнi оператори Ga по змiнних xa породжують стандартнi перетворення
Галiлея xa > xa = xa + va x0 , де va — груповi параметри. Але, як ми вище довели,
рiвняння (11) не допускає цих перетворень (як у розумiннi Лi, так i в термiнах
умовної iнварiантностi).
Оскiльки анзац (51), побудований по операторах (54), редукує рiвняння (11),
то виникає питання про зв’язок цього рiвняння з нелокальними операторами Галi-
лея (54). Справедлива така теорема.
Теорема 6. Диференцiальнi наслiдки рiвняння (11) умовно iнварiантнi вiдносно
нелокальних операторiв Ga (54), причому додаткова умова має вигляд Ga u = 0.
Доведення теореми проведемо для випадку n = 1. Продиференцiюемо рiвнян-
ня (11) по x1 та проведемо у ньому нелокальну замiну

V 1 = u1 . (55)
42 В.I. Фущич, В.I. Чопик

Одержимо рiвняння

V01 + ?x1 V11 + 2V 1 V11 ? V11 + (? ? ?)V 1 = 0,
1
(56)

де

V 1 = V 1 (x0 , x1 ), V01 = ?V 1 /?x0 , V11 = ?V 1 /?x1 .

Пiсля використання (55) оператор G1 набуває вигляду

(57)
G1 = 2x0 ?1 + ?V 1 .

Дiючи другим продовженням оператора G1 (57) на (56), одержуємо
(2)
G 1 {V0 + ?x1 V1 + 2V V1 ? V11 + (? ? ?)V } = ?G1 V
1 1 11 1 1 1
при ? = 2?.

Згiдно з критерiєм умовної iнварiантностi [2, 3] рiвняння (56) Q-умовно iнварi-
антне вiдносно оператора Галiлея (57) при ? = 2?. Враховуючи, що ми провели
замiну (55), переконаємося у справедливостi теореми 6 при n = 1.
Пiдсумовуючи попереднi результати, ми можемо зробити такий важливий вис-
новок: для редукцiї та знаходження точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь важ-
ливо знати симетрiйнi властивостi не тiльки самого рiвняння, а й симетрiю
його диференцiальних наслiдкiв.

1. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1987, 4–16.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И., Условная инвариантность и нелинейные уравнения те-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1988, № 9, 17–20.
4. Myronyuk P., Chopyk V., Conditional Galilei-invariance of multidimensional nonlinear heat equation,
in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics, Kiev, Inst. Math. Ukr. Acad. Sci.,
1992, 66–68.
5. Tokar V.I., A new renormalization scheme in the Landau–Ginzburg–Wilson model, Phys. Lett. A,
1984, 104, № 3, 135–139.
6. Filippov A.E., Breus S.A., On the physical branch of the exact (local) RG equation, Phys. Lett. A,
1991, 158, № 6. 300–306.
7. Shtelen W., Spichak S., Lie and Q-condtoonal symmetry and exact solutions of local Wilson
renormalization group equation, in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics, Kiev,
Inst. Math. Ukr. Acad Sci., 1992, 50–54.
8. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 299 с.
9. Фущич В.И., Серов Н.И., Репета В.К., Условная симметрия, редукция и точные решения нели-
нейного волнового уравнения, Докл. АН Украины, Сер. А, 1991, № 5, 29–34.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 43–55.

Симметрiя та нелiївська редукцiя
нелiнiйного рiвняння Шредiнгера
В.I. ФУЩИЧ, В.I. ЧОПИК
Описанi нелiнiйнi рiвняння типу Шредiнгера, iнварiантнi вiдносно розширених груп
Галiлея. Вивчена умовна симетрiя таких рiвнянь i проведена їх редукцiя, побудованi
класи точних розв’язкiв.

1. Вступ. Розглянемо нелiнiйне рiвняння Шредiнгера
L1 (u) ? Su ? uF (u, u? ) = 0, (1)
де S = i?/?x0 + ??, x0 ? t, ? = ? 2 /?x2 + · · · + ? 2 /?x2 , i2 = ?1, ? ? R, n — число
n
1
просторових змiнних.
Як вiдомо, рiвняння (1) iнварiантне вiдносно алгебри Галiлея AG(1, n) тодi i
тiльки тодi, коли F = F (uu? ). Базиснi оператори алгебри AG(1, n) мають вигляд
P0 = ?/?x0 , Pa = ?/?xa , Jab = xa Pb ? xb Pa , a, b = 1, n,
(2)
Q = i(u?/?u ? u? ?/?u? ), Ga = x0 Pa + (1/2?)xa Q.
Iнших представлень алгебри Галiлея рiвняння (1) не допускає. В [1] описанi всi
нелiнiйнi рiвняння типу (1), iнварiантнi вiдносно таких розширень алгебри Галiлея
AG(1, n):
(3)
1) AG1 (1, n) = AG(1, n), D ,
де оператор масштабних перетворень D має вигляд
I = (u?/?u + u? ?/?u? ), k ? R;
D = x2 P0 + xa Pa + kI,
0

(4)
2) AG2 (1, n) = AG1 (1, n), A ,

де оператор проективних перетворень A має вигляд
n
A = x2 P0 + x0 xa Pa + x2 (4?)?1 Q + x0 I, x2 = xa xa , a = 1, n.
0
2
Узагальнена алгебра Галiлея AG2 (1, n), доповнена оператором I, являється ма-
ксимальною алгеброю iнварiантностi вiльного рiвняння Шредiнгера (1) (F = 0).
Однак, в [1] не дослiджене таке важливе питання: чи iснують рiвняння ти-
пу (1), якi були б iнварiантнi вiдносно алгебри (2) та iнших її розширень?
У данiй роботi дано ствердну вiдповiдь на це питання. Зокрема, доведено,
що рiвняння Шредiнгера з логарифмiчною нелiнiйнiстю u ln(uu? ) допускає два
рiзних розширення алгебри AG(1, n). Вивчена умовна симетрiя рiвнянь типу (1).
Показано, що рiвняння (1) з нелiнiйнiстю u ln(uu??1 ) + uF (uu? ) умовно iнварiант-
не вiдносно алгебри Галiлея у нестандартному представленнi. Здiйснена нелiївська
редукцiя та побудованi класи точних розв’язкiв розглядуваних рiвнянь.
Укр. мат. журн., 1993, 45, № 4, С. 539–551.
44 В.I. Фущич, В.I. Чопик

2. Симетрiя Лi рiвняння (1). Iнформацiя про лiiвську симетрiю рiвняння (1)
мiститься в наступних твердженнях.
Теорема 1 [1]. Рiвняння (1) (F = 0) iнварiантне вiдносно алгебр AG1 (1, n) (3)
та AG2 (1, n) (4) тодi i тiльки тодi, коли
F = ?1 |u|?2/k , |u| = (uu? )1/2 ,
?1 ? C,
F = ?2 |u|4/n , ?2 ? C,
вiдповiдно.
Теорема 2. Серед рiвнянь класу (1) тiльки рiвняння з нелiнiйнiстю
F = ?3 ln(uu? ), ?3 ? C, (5)
?3 = b + ib1
iнварiантне вiдносно алгебр [2]:
при b1 = 0, де B = I ? 2bx0 Q; (6)
1) AG3 (1, n) = AG(1, n), B

AG4 (1, n) = AG(1, n), C при b1 = 0,
2)
(7)
де C = exp{2b1 x0 }(I + i(b/b1 )Q).

Зауваження 1. При b = 0 рiвняння (1), (5) iнварiантне вiдносно алгебри
AG4 (1, n) = AG(1, n), C (1) , де
C (1) = exp{2b1 x0 }I. (8)
Оператор C (1) одержується з (7) при b = 0.
Теорема 3. Рiвняння (1) iнварiантне вiдносно таких алгебр:
коли F = F (uu??1 );
1) A1 = P0 , Pa , Jab , I ,

A2 = P0 , Pa , Jab , C (1) , коли F = ib1 ln(uu??1 ) + F1 (uu??1 ),
2)
а оператор C (1) має вигляд (8);
(1)
A3 = P0 , Pa , Jab , Q(1) , Ga , де
3)
(1)
Q(1) = exp{2?x0 }Q, Ga = exp{2?x0 }(Pa + (?/?)xa )Q, (9)
коли F = ?i? ln(uu??1 ) + F2 (uu? ), ? ? R;
(1)
A4 = P0 , Pa , Jab , Q(1) , Ga , I ,

<< Предыдущая

стр. 10
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>