<< Предыдущая

стр. 11
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

4)
(10)
коли F = ?i? ln(uu??1 ), ? ? R, ? = 0;
(1)
A5 = P0 , Pa , Jab , Q(1) , Ga , ?I + ?1 Q ,
5)
коли F = ?1 ln(uu? ) ? i? ln(uu??1 ), ?, ?1 ? R;
(1)
A6 = P0 , Pa , Jab , Q(1) , Ga , C (1) ,
6)
коли F = ib1 ln(uu? ) ? i? ln(uu??1 ), ?, b1 ? R;

A7 = P0 , Pa , Jab , I, D(1) , D(1) = 2x0 P0 + xa Pa + dQ, d ? R, d = 0,
7)
коли F = ?4 (uu??1 )i/d , ?4 ? C;
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 45

A8 = P0 , Pa , Jab , kI + dQ , k, d ? R, k = 0, d = 0,
8)
?
коли F = F (u? u?? ), ? = ?1 ? i?2 , k?1 + d?2 = 0;

A9 = P0 , Pa , Jab , I, D(2) , D(2) = 2x0 P0 + xa Pa + kI + dQ, k, d = 0,
9)
?
коли F = F (u? u?? )(uu? )?1 , ? = ?1 ? i?2 , k?1 + d?2 = 0,
де k, d, ?1 , ?2 — довiльнi дiйснi параметри.
Наслiдок 1. З теореми 2 випливає, що рiвняння
iu0 + ??u = ?3 ln(uu? )u, (11)
?3 = b + ib1
iварiантне вiдносно таких скiнченних перетворень:
x0 > x0 = x0 , xa > xa = xa , a = 1, n,
а також:
u > u = exp{?1 (1 ? 2ibx0 )}u при b1 = 0;
1)
u > u = exp{?2 exp{2b1 x0 (1 ? i(b/b1 )}}u при b1 = 0; (12)
2)
u > u = exp{?3 exp{2b1 x0 }}u при b = 0, b1 = 0,
3)
де ?1 , ?2 , ?3 — груповi параметри.
Наслiдок 2. З комутацiйних спiввiдношень для оператора B: [B, P0 ] = c1 Q,
[B, Pa ] = [B, Jab ] = [B, Q] = [B, Ga ] = 0, c1 ? R; та оператора C: [C, P0 ] = c2 C,
[C, Pa ] = [C, Jab ] = [C, Q] = [C, Ga ] = 0, c2 ? R, випливає, що алгебри AG3 (1, n)
та AG4 (1, n) рiзнi. Тобто рiвняння Шредiнгера з логарифмiчною нелiнiйнiстю
(5) допускає два рiзних розширення алгебри Галiлея AG(1, n).
Зауваження 2. Рiвняння (5) при ?3 ? R (b1 = 0) спiвпадає з рiвнянням, за-
пропонованим у роботi [3]. В цiй роботi вказанi перетворення (12) (за винятком
оператора B, що їх породжує). Це рiвняння використовується в ядернiй фiзицi
для опису нуклонiв та альфа-частинок. Дослiдженню цього рiвняння присвяченi
також роботи [2, 4].
Рiвняння
iu0 + ??u = ?i? ln(uu??1 ) + F2 (uu? ), ? ? R, (13)
широко використовується в математичнiй фiзицi i його називають фазовим рiв-
нянням Шредiнгера [4, 5].
Наслiдок 3. З комутацiйних спiввiдношень для алгебри A3 (9):
(1) (1)
[P0 , Pa ] = [P0 , Jab ] = [Pa , Q(1) ] = [Jab , Q(1) ] = [Ga , Gb ] = [Pa , Pb ] = 0,
(1)
[Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb ,
[P0 , Q(1) ] = c1 Q(1) , [P0 , Ga ] = c2 G(1) ,
(1) (1) (1)
[Ga , Jbc ] = ?ab Gc ? ?ac Gb , c1 , c2 ? R
випливає, що базиснi оператори цiєї алгебри не утворюють алгебри Галiлея.
(1)
Оператори Ga породжують такi скiнченнi перетворення:
x0 > x0 = x0 , xa > xa = exp{2?x0 }?a + xa ,
u > u = u exp{i[(?/2?) exp{4?x0 }?2 + exp{2?x0 }xa ?a ]},
де ?a — груповi параметри, ?2 = ?a ?a .
46 В.I. Фущич, В.I. Чопик

3. Умовна симетрiя. Розглянемо рiвняння класу (1)
L1 (u) ? Su ? uF (uu? ) = 0, (14)
iнварiантне вiдносно алгебри Галiлея AG(1, n) (2). Вiдповiдь на питання про iсну-
вання операторiв умовної симетрiї рiвняння (14) випливає з наступних теорем.
Теорема 4. Рiвняння (14) умовно iнварiантне вiдносно таких алгебр:
1) A10 = AG(1, n), Q(2) , Q(2) = xa Pa ? i ln(uu??1 )Q, якщо F = ?F ? , i вико-
нується додаткова умова
|u| = (uu? )1/2 ;
L2 (u) ? ?|u| = 0, (15)
2) A11 = A10 , C (1) , якщо F = ib1 ln(uu? ), b1 ? R, C (1) має вигляд (8) i
виконується (15);
3) A12 = AG(1, n), Q(3) , Q(3) = x0 P0 + xa Pa ? (i/2) ln(uu??1 )Q, якщо функ-
цiя F приймає дiйснi значення (тобто F = F ? ) i виконується додаткова умо-
ва (15);
4) A13 = A12 , B , якщо F = b ln(uu? ), b ? R, оператор B має вигляд (6) i
виконується додаткова умова (15);
5) A14 = AG(1, n), Q(4) , Q(4) = x0 P0 + (i/2) ln(uu??1 )Q i виконуються умови
F ? = F , L2 (u) ? V0 + ?Va Va = 0, 2V = ?i ln(uu??1 ).
Теорема 5 [6]. Рiвняння (14) при
?1 ?1
+ ?2 |u|?2r
F = ?1 |u|2r r, ?1 , ?2 ? R, r = 0, (16)
,
умовно iнварiантне вiдносно оператора
Q(5) = xa Pa + rI ? i ln(uu??1 )Q, (17)
якщо L2 (u) ? ?|u| ? ?3 |u|(r?2)/r = 0, ?3 = ?2 ??1 .
Наслiдок 4. Рiвняння Шредiнгера (14) з нелiнiйнiстю (16) умовно iнварiантне
вiдносно алгебри AG5 (1, n) = AG1 (1, n), Q(5) , якщо виконується одна з умов:
(18)
?1 = 0, r=k
або
r = ?k. (19)
?2 = 0,
Наслiдок 5. Рiвняння (14), (16) умовно iнварiантне вiдносно алгебри AG6 (1, n)
= AG2 (1, n), Q(5) при виконаннi однiєї з умов (18), (19) та умови, що k = ?n/2.
Структура алгебри AG6 (1, n) вивчена в роботах [7, 8].
Наслiдок 6. Оператор Q(5) породжує такi скiнченнi перетворення:
x0 > x0 = x0 , xa > xa = exp(?)xa ,
u > u = exp(r?) exp{exp(2?)}(uu??1 )1/2 |u|,
? — груповий параметр.
Теорема 6. Рiвняння (14) з нелiнiйнiстю
?1 ?1 ?1
F = i?1 |u|?r + ?2 |u|?(1+?)r + ?3 |u|?(1??)r ?j , ?, r ? R, j = 1, 3,(20)
,
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 47

умовно iнварiантне вiдносно оператора
Q(6) = 2x0 P0 + (1 + ?)xa Pa + i? ln(uu??1 )Q + rI, r = 0,
?1
якщо ?|u| = ?4 |u|1?(1+?)r , ?4 = ?2 ??1 .
Наслiдок 7. Оператор Q(6) породжує такi скiнченнi перетворення:
x0 > x0 = exp(2?)x0 , xa > xa = exp((1 + ?)?)xa ,
u > u = exp(r?) exp{exp(?2??)}(uu??1 )1/2 |u|,
? — груповий параметр.
4. Умовна галiлей-iнварiантнiсть фазового рiвняння Шредiнгера. З кому-
тацiйних спiввiдношень для алгебри A3 (9) (див. наслiдок 3) випливає, що всi
оператори цiєї алгебри, за винятком оператора P0 , задовольняють комутацiйнi
спiввiдношення алгебри Галiлея [1].
(1)
Твердження. Якщо оператор P0 має вигляд

= exp{?2?x0 }(P0 ? i? ln(uu??1 )Q),
(1)
(21)
P0
(1) (1)
то оператори P0 , Pa , Jab , Q(1) , Ga утворюють базис алгебри Галiлея, яку
позначатимемо AG(1) (1, n).
Справедливiсть цього твердження випливає з комутацiйних спiввiдношень для
(1)
оператора P0 :
(1) (1) (1) (1)
[P0 , G(1) ] = cPa , c ? R.
[P0 , Pa ] = [P0 , Jab ] = [P0 , Q(1) ] = 0, a

Вимагатимемо iнварiантнiсть фазового рiвняння Шредiнгера
Su + i?u ln(uu??1 ) = 0 (22)
(1)
вiдносно оператора P0 . Результат сформулюємо у виглядi такої теореми.
Теорема 7. Фазове рiвняння Шредiнгера (22) умовно iнварiантне вiдносно ал-
гебри A15 = AG(1) (1, n), P0 , Q(2) , A(1) , I , де
Q(2) = xa Pa ? i ln(uu??1 )Q,
A(1) = exp{2?x0 }(P0 /? + 2xa Pa ? i ln(uu??1 )Q + (?/?)x2 Q ? nI),
якщо виконається додаткова умова
2V = ?i ln(uu??1 ),
L2 = V0 + ?Va Va ? 2?V = 0, (23)
? = 0.
(1)
Оператори P0 , Q(2) породжують такi скiнченнi перетворення:
x0 > x0 = (2?)?1 ln(2??1 + exp{2?x0 }), xa > xa = exp{?2 }xa ,
?1 + exp(2?x0 )(2?2 + ln((4i?)?1 ln(uu??1 )))
u > u = exp 2i? exp |u|,
2??1 + exp(2?x0 )
де ?1 , ?2 — груповi параметри.
Наслiдок 8. Алгебра A15 iзоморфна алгебрi умовної iнварiантностi вiльного
(1) (1)
рiвняння Шредiнгера [6]. Тобто оператори P0 , Pa , Jab , P0 , Q(2) , Q(1) , Ga ,
48 В.I. Фущич, В.I. Чопик

A(1) , I реалiзують нове представлення алгебри AG6 (1, n), доповненої операто-
ром I.
Дослiдимо симетрiйнi властивостi рiвняння (13) при додатковiй умовi (23).
Теорема 8. Рiвняння (13) умовно iнварiантне вiдносно таких алгебр Галiлея:
1) A16 = AG(1) (1, n), P0 , якщо функцiя F (uu? ) дiйсна;
2) A17 = A16 , D(1) , якщо F = ?1 |u|?2/k , ?1 , k ? R, k = 0, де D(1) = Q(2) +
2P0 + kI;
3) A18 = A17 , A(1) , якщо F = ?2 |u|4/n , ?2 ? R, k = ?n/2.
Додаткова умова має вигляд (23).
Алгебра A18 iзоморфна алгебрi AG6 (1, n). Це випливає з комутацiйних спiв-
вiдношень для цих алгебр [6–8].
Таким чином, доведено, що фазове рiвняння Шредiнгера умовно iнварiантне
вiдносно алгебри Галiлея у нестандартному представленнi.
Сформулюємо ще одну теорему про умовну iнварiантнiсть рiвняння (13).
Теорема 9. Рiвняння (13) умовно iнварiантне вiдносно таких алгебр:
1) A19 = A3 , Q(2) , якщо функцiя iF (uu? ) дiйсна;
2) A20 = A6 , Q(2) , якщо F = ib2 ln(uu? ), b2 ? R, при додатковiй умовi на
модуль функцiї u (15).
5. Доведення теорем. Повне доведення наведених теорем досить громiздке,
тому ми вкажемо тiльки основнi етапи його, опускаючи деталi.
Позначимо через X довiльний оператор з алгебри iнварiантностi рiвняння (1).
Для доведення теорем 1–3 необхiдно скористатися алгоритмом Лi.
(2)
1. Побудувати за формулами Лi друге продовження X операторiв (див., на-
приклад, [1]).
(2)
2. Подiяти операторами другого продовження X на многовид (1) i знайти ди-
ференцiальне рiвняння для функцiї F (u, u? ). Розв’язавши це рiвняння, одержимо
явний вигляд функцiй F (u, u? ), при яких рiвняння (1) має ту чи iншу симетрiю.
Для доведення теорем 4–9 потрiбно використати критерiй умовної iнварiант-
ностi. В розглядуваному випадку цей критерiй має вигляд [1, 6]
(2) (2)
(24)
X L1 = g11 L1 + g12 L2 = X L1 = 0,
L1 = 0
L2 = 0

(2) (2)
(25)
X L2 = g21 L1 + g22 L2 = X L2 = 0,
L1 = 0
L2 = 0

де g11 , g12 , g21 , g22 — взагалi кажучи, деякi оператори. Розв’язавши систему (24),
(25), одержимо умови на u i u? при яких рiвняння (1) iнварiантне вiдносно опера-
тора X.
Наведемо доведення теореми 5 про умовну iнварiантнiсть рiвняння (14) вiднос-
но оператора Q(5) = X.
(2)
Дiючи оператором X на многовид L1 (u), одержимо
(2)
?1
+ 2F ? r(uFu + u? Fu? ),
X L1 (u) = 2L1 ? 4??|u||u| (26)
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 49

де Fu = ?F/?u, Fu? = ?F/?u? . Отже,

L2 (u) = ?4??|u||u|?1 + 2F ? r(uFu + u? Fu? ). (27)
(2)
Дiючи оператором X на многовид L2 (u), одержимо
(2)
? ?2 ?
X L2 = ?2L2 + 4F ? r (uFu + u Fu? + u Fuu + u Fu? u? + 2uu Fuu? ).
2 2
(28)

З (26), (29) випливає, що рiвняння (14) iнварiантне вiдносно Q(5) при додатковiй
умовi L2 (u) = 0, при чому нелiнiйнiсть F (|u|) повинна задовольняти умову

4F ? r2 (uFu + u? Fu? + u2 Fuu + u?2 Fu? u? + 2uu? Fuu? ) = 0,

де Fuu = ? 2 F/?u2 , Fu? u? = ? 2 F/?u?2 , Fuu? = ? 2 F/?u?u? . Всi iншi теореми про
умовну симетрiю доводяться по наведенiй схемi.
6. Нелiївська редукцiя рiвняння (14). Будемо шукати розв’язки чотириви-
мiрного рiвняння (14) з нелiнiйнiстю (16) у виглядi [6]

(29)
u(x) = u(x0 , x1 , x2 , x3 ) = f1 (x)?1 (?) exp{if2 (x)?2 (?)}.

Пiдставивши (29) у рiвняння (14), (16), одержимо

f10 ?1 + f1 ?1? ?0 + 2?f1a f2a ?1 ?2 + ?f1 f2 ?a ?a (2?1? ?2? + ?1 ?2?? ) +
+ 2?f1a f2 ?1 ?2? ?a + 2?f1 f2a ?1? ?2 ?a + ?f1 ?f2 ?1 ?2 +
+ ?f1 f2 ?1 ?2? ?aa + 2?f1 f2a ?1 ?2? ?a = Im F,
(30)
??f1 ?1 + ?f1 ?1? ?aa + ?f1 ?1?? ?a ?a + 2?f1? ?0 ? f1 f20 ?1 ?2 ?
? f1 f2 ?1 ?2? ?0 ? ?f1 f2a f2a ?1 ?2 ? ?f1 f2 ?2? ?a ?a ?
2
2 2
? 2?f1 f2 f2a ?1 ?2 ?2? ?a = Re F (f1 ?1 ),
де
fjµ = ?fj /?xµ , ?j? = ??j /??, ?µ = ??/?xµ ,
? = (?1 , ?2 , ?3 ), µ = 0, 3, j = 1, 2.

Дiйснi функцiї f1 (x), f2 (x) повиннi бути так визначенi, щоб з (30) випливала
система рiвнянь для функцiй ?1 (?), ?2 (?), в яку входять тiльки змiннi ? =
(?1 , ?2 , ?3 ). Тому функцiї f1 , f2 , ?1 , ?2 , ?3 повиннi задовольняти деяку систе-
му рiвнянь, яку будемо називати умовами peдукцiї. Бiльш детально про метод
редукцiї див. [9]. Отже, проблема редукцiї чотиривимiрного рiвняння (14), (16)
зводиться до розв’язання складної системи нелiнiйних рiвнянь (умов редукцiї).

<< Предыдущая

стр. 11
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>