<< Предыдущая

стр. 12
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Так, рiвняння (14), (16) редукується до системи ЗДР

?1 ?1 + ?2 ?1 + ??3 ?1 ?2 + ??4 (2?1 ?2 + ?1 ?2 ) +
? ?? ?
+ ??5 ?1 ?2 + 2??6 (?1 ?2 + ?1 ?2 ) = 0,
? ? ?
(r?2)/r
?7 ?1 + ?8 ?1 + ?9 ?1 = ?2 ?1
? ? ,
2/r
?10 ?2 + ?11 ?2 + ??12 ?2 + ??13 ?2 + 2??14 ?2 ?2 = ?1 ?1 ,
? ?2 ?
2
?j = ? 2 ?j /?? 2 , j = 1, 2,
?j = ??j /??,
? ?
50 В.I. Фущич, В.I. Чопик

якщо фукнцiї ?1 , . . . , ?14 задовольняють такi умови редукцiї:
?2/r
?1
f10 = h(x)?1 (?), ?? + 2f1 f1a ?a = ?9 (?)f1 , f1? = h(x)?2 (?),
2/r 2/r
f2 = ?10 (?)f1 , 2f1a f2a + f1 ?f2 = h(x)?3 (?), f2 ?0 = ?11 (?)f1 ,
2/r
(31)
f1 f2 ?a ?a = h(x)?4 (?), f2a f2a = ?12 (?)f1 , f1a f2 ?a = h(x)?5 (?),
2/r 2/r
f2a ?a ?a = ?13 (?)f1 , f1 f2a ?a = h(x)?6 (?), f2 f2a ?a = ?14 (?)f1 ,
(r?2)/r (r?2)/r
?f1 = ?7 (?)f1 , ?a ?a = ?8 (?)f1 ,

де h(x) — довiльна функцiя вiд x, функцiї ?1 , . . . , ?14 залежать вiд ? = ?(x).
Побудувати загальний розв’язок умов редукцiї (31), напевно, неможливо, але
знайти частиннi розв’язки не так важко. Далi наведемо деякi частиннi розв’язки
умов редукцiї (31) i вiдповiднi редукованi системи ЗДР для функцiй ?1 (?), ?2 (?).
?1/2
1. Функцiї f1 = x1 , f2 = x2 , ? = x0 задовольняють систему (31). Редукована
1
система ЗДР має вигляд
4?1 ?2 3?
?2 + 4??2 + (32)
? = 0, ?1 = , ?2 = 0, ??2 > 0.
2
3? 4?2

Загальний розв’язок рiвняння (32) задається виразом
?v v
? v 1 ?2 tg c ? 4 v 1 ?2
? ?
? при ?1 ?2 > 0,
?
?
? 3? 3
? v
? v
??1 ?2
2
v v ? ??1 ?2 при ?1 ?2 < 0, (33)
v
?2 =
? ? 3 1 ? c exp ?4 3?1 ??1 ?2 ?
?
?
?
?
? 1
? при ?1 = 0.
4?? + c
Таким чином, формули (29), (32), (33) визначають однопараметричну сiм’ю роз-
в’язкiв нелiнiйного рiвняння Шредiнгера (14), (16). Використовуючи симетрiю
AG(1, n) рiвняння (14), за цим розв’язком можна побудувати [1] багатопарамет-
ричну сiм’ю розв’язкiв рiвняння (14), (16).
2. Функцiї f1 = x1 , f2 = x2 , ? = x0 , r = 1, ?2 = 0 задовольняють систему (31).
1
Редукована система ЗДР для ?1 i ?2 має вигляд

?2 + 4??2 + ?1 ?2 = 0. (34)
?1 + 6??1 ?2 = 0,
? ? 2 1

Останнi еквiвалентнi системi
1? ? 2?
?2 = ? t ? t2 ? 6??1 exp(2t) = 0. (35)
t, t = ln ?1 (?),
6? 3
В (35) зробимо замiну

t2 = y(t).
? (36)

При цьому система редукованих рiвнянь (34) набуває вигляду
1v 4
?2 = ? y ? y ? 12??1 exp(2t) = 0,
y, ?
6? 3
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 51

звiдки маємо
1v 4
?2 = ? (37)
y, y = 18??1 exp(2t) + c exp t, c = const.
6? 3
З системи (37) випливає

exp 2 t 2
?2 = ? 3
c2 + 18??1 exp t,
6? 3
2
3 c2
?
t= ln 2??1 ? + c1 , ?1 = 0, c1 , c2 = const.
2 18??1
Остаточно маємо такi рiвняння:
1 2/3 2/3
?2 = ? ? c2 + 18??1 ?1 ,
6? 1
(38)
3/2
2 c2
?
?1 = 2??1 ? + c1 , c1 , c2 = const.
18??1
Таким чином, при пiдстановцi ?1 , ?2 з (38) в (29) одержуємо точний розв’язок
нелiнiйного рiвняння (14), (16).
3. При f1 = (x2 )r/2 , f2 = x2 ? x2 + x2 + x2 , ? = x0 система редукованих
1 2 3
рiвнянь набуває вигляду

?2 + 4??2 + ?1 ?2 = 0,
?1 + 10??1 ?2 = 0,
? ? 2 1

якщо ?2 = 0, r = 1.
Якщо ?2 = 0, r = ?3/2, то анзац (29) редукує (14), (16) до ЗДР
3/4
4?1 ?2 15?
4??2
?2 +
? + = 0, ?1 = .
2
15? 4?2
v
4. Функцiї f1 = (x2 + x2 )r/2 , f2 = x2 + x2 , ? = 2 arctg(x2 /x1 ) ? x0 задоволь-
1 2 1 2
няють систему (31). Система редукованих рiвнянь має вигляд:

2??1 ?2 + 4??1 ?2 ? ?1 + 4?(r + 1)?1 ?2 = 0,
? ?? ?
(39)
?2/r
2/r
2??2 ? ?2 + 4??2 + ?1 ?1 2??1 ? r2 ??1 ? ?2 ?1
?2 ? = 0, ? = 0.
2


v 5. Функцiї f1 = (x1 + x2 ) , f2 = x1 + x2 , ? = (x1 + x2 ) exp{2? arctg(x2 /x1 ) ?
2 2 r/2 2 2 2 2

2x0 }, ? ? 0, задовольняють систему (31). Редукованi рiвняння мають вигляд

2(1 + ?2 )? 2 ?1 ?2 + 4(1 + ?2 )? 2 ?1 ?2 + 4? ?1 ?2 +
? ?? ?
1
+ 5 ? 2?2 + 2r ? v ? ?2 ?1 + (1 + 2r)?1 ?2 = 0,
?
2? (40)
v 2/r
4(1 + ?)? 2 ?2 + 8? ?2 ?2 ? 2? ?2 + 4??2 + ?2 ?1 = 0,
?2 ? ? 2
(2?r)/r
4?2 ? ?1 ?1 ? 4?2 ? ?2 + 4(1 + ?2 )? 2 ?2 + 4(1 + r + ?2 )? ?1 ?1 ? ?2 ?1
? ?1 ?1 ? = 0.

Зауважимо, що системи редукованих рiвнянь (39), (40) перевизначенi. Тому, при-
родньо, виникає питання сумiсностi систем ЗДР (39), (40). Для системи (39) при
52 В.I. Фущич, В.I. Чопик

r = ?1 можна вказати такi константи c1 i c2 , що ?1 = c1 , ?2 = c2 . Тодi анзац (29)
задаватиме точний розв’язок системи нелiнiйних рiвнянь (14), (16).
Для знаходження розв’ язкiв нелiнiйного рiвняння
?1 ?1
Su = i?1 |u|?r + ?2 |u|?2r (41)
(частковий випадок рiвняння (14), (20)) скористаємось анзацом [10]
(42)
u = f1 (x)?1 (?) exp{i(f2 (x)?2 (?) + g(x))}.
Вкажемо деякi набори функцiй f1 (x), f2 (x), g(x), ?(x), якi задовольнятимуть
умови редукцiї рiвняння (41) та вiдповiднi редукованi рiвняння.
6. Набiр функцiй f1 = xr , f2 = x?1 , g = x2 /4?x0 , ? = x2 задовольняє умови
0 3
0
редукцiї рiвняння (41). Вiдповiдна система редукованих рiвнянь матиме вигляд
(r?1)/r
??1 ?2 + (r + 1/2)?1 + 2??1 ?2 = ?1 ?1
? ? ,
(43)
?2/r
??2 ? ?2 + ?2 ?1
?2 = 0, ?1 = 0.
?
При пiдстановцi частинного розв’язку системи (43)
?r 2 2
r+1 ?+c r+1
?1 = , ?1 = 0, ?2 = + ?2
?1 4? ?1
в анзац (42) одержуємо однопараметричну сiм’ю розв’язкiв рiвняння (41).
7. При f1 = xr , f2 = x?1 , g = x2 /4?x0 , ? = (x2 + x2 )1/2 анзац (42) редукує
0 3 1 2
0
рiвняння (41) до системи ЗДР

??1 ?1 + ?? ?1 ?1 ?2 + 2??1 ?2 ? ??1 ?2 + r = ?1 ?1
(r?1)/r
? ? ?? ? ,
?2/r
?1 ? ?1 + ? ?1 ?1 = 0.
??2 ? ?2 + ?2 ?1
? = 0, ? ? ?

8. При f1 = xr , f2 = x?1 , g = (x2 + x2 )/4?x0 , ? = x3 система редукованих
0 1 2
0
рiвнянь буде мати вигляд
(r?1)/r
??1 ?1 + 2??1 ?2 + (r + 1)?1 = ?1 ?1
? ?? ,
?2/r
??2 ? ?2 + ?2 ?1
? = 0, ?1 = 0.
?
Для редукцiї рiвняння (14) з нелiнiйнiстю, що задовольняє умову F = ?F ? ,
скористаємось анзацом
(44)
u = ?1 (?) exp{i(f (x)?2 (?) + g(x))}.
Якщо виписати вiдповiднi умови редукцiї, то функцiї
x2 + x2
? = ln ln(uu??1 )1/2i ? ln(x0 (x2 + x2 ))
1 2
f= , g = 0, 1 2
2
x0
задовольнятимуть цi умови. Система ЗДР матиме вигляд
?2 (1 ? 4??2 ) = ?2 (1 ? 4??2 ), 2?2 (2?1 ? ?1 ) = F (?1 )?1 . (45)
? ?
Для рiвняння Шредiнгера з логарифмiчною нелiнiйнiстю
F (uu? ) = ib1 ln(uu? ), b1 ? R, (46)
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 53

частинний розв’язок системи рiвнянь (45)
1 ? c exp(?2?b1 ?)
1
?2 = , ?1 = exp , b1 = 0, c = const,
4? ?b1
при пiдстановцi в анзац (44) задаватиме точний розв’язок (14), (46).
9. Анзац (44), де f = x?1 , g = 0, ? = x3 , редукує рiвняння (14) з дiйсною
0
нелiнiйнiстю (F = F ? ) до ЗДР

??2 ? ?2 = 0, (47)
?1 ?2 + 2?1 ?2 = 0,
? ?2 ??1 = F (?1 )?1 .
?

З (47) випливає, що ?1 = c1 (? + c2 )?1/2 , ?2 = ((? + c2 )/4?)2 при F = (3/4)?|u|8 .
10. Анзац (44), де f = x?1 , g = 0, ? = (x2 + x2 )1/2 , редукує рiвняння (14)
1 2
0
з дiйсною нелiнiйнiстю до ЗДР

<< Предыдущая

стр. 12
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>