<< Предыдущая

стр. 13
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


??1 ? ? ?1 ?1 = F (?1 )?1 .
??1 ?2 + 2? 2 ?1 ?2 ? ?1 ?2 = 0, ??2 ? ?2 = 0,
? ?? ? ?2 ? ?

7. Анзац для фазового рiвняння Шредiнгера. Розв’язки рiвняння (22) буде-
мо шукати у виглядi (29). Для знаходження явного вигляду функцiй f1 (x), f2 (x),
?(x), скористаємось тим, що фазове рiвняння Шредiнгера умовно iнварiантне вiд-
носно алгебри A15 (див. теорему 7). Наведемо деякi приклади нелiївської редукцiї
рiвняння (22) до системи ЗДР.
1) По пiдалгебрi корозмiрностi 1 Q(2) + kI, Jab можна побудувати анзац (29),
де

f2 = exp{2?x0 }x2 , ? = exp{2?x0 },
f1 = (x2 )k/2 , (48)

який редукує фазове рiвняння Шредiнгера (22) до системи ЗДР

??1 + ?(2k + n)?1 ?2 = 0,
(49)
??2 + 2??2 = 0, (k 2 + kn ? 2k)(x2 )?1 = 0.
2

Очевидно, ця система сумiсна тiльки тодi, коли k = 0, та k + n ? 2 = 0. Загальний
розв’язок системи редукованих рiвнянь (49) має вигляд
?
?1 = c2 (2?? + c1 )?(2k+n)?/2 , c1 , c2 ? R.
?2 = ,
2?? + c1
Пiдстановка ?1 , ?2 в анзац (29), (48) дає такий розв’язок нелiнiйного рiвнян-
ня (22):
? exp{2?x0 }
u = (x2 )k/2 c2 (c1 + 2? exp{2?x0 })?(2k+n)?/2 exp ix2 ,
2? exp{2?x0 } + c1
де k задовольняє k(k + n ? 2) = 0, n — число просторових змiнних.
2) Анзац (29), де
x2
f2 = (x2 +x2 ) exp{2?x0 }, ?exp{2?x0 },(50)
f1 = (x2 +x2 )k/2 , ? = arctg
1 2 1 2
x1
редукує рiвняння (22) до системи ЗДР

??2 ?1 + 2??1 ?2 ? ??1 + 2??1 ?2 (1 + k) = 0, (51a)
54 В.I. Фущич, В.I. Чопик

??2 + 2??2 ? ??2 = 0, (51b)
2

2?1 + k 2 ?1 = 0. (51c)

З рiвняння (51с) при k = 0 одержуємо ?1 = c1 ? + c2 , c1 , c2 ? R. Загальна розв’язок
рiвняння (51в) має вигляд ?2 = 2??+c3 , c3 ? R. Пiдстановка цих значень функцiй
???

?1 i ?2 в рiвняння (51а) приводить до таких умов: 1) c2 = c3 = 0, ? = 2?;
2) c3 = 2c2 /c1 , ? = 2? = 1.
Таким чином, загальний розв’язок перевизначеної системи рiвнянь (51а)–(51с)
при k = 0 приймає такi значення:
?2 = (4?)?1 при ? = 2?;
1. ?1 = c1 ?,
1
при ? = 2? = 1, c1 = 0.
2. ?1 = c1 ? + c2 , ?2 =
4? + 4c2 /c1
Пiдстановка цих значень ?1 (?), ?2 (?) в анзац (29), (50) задаватиме точний роз-
в’язок (22).
Отже, виходячи з умовної iнварiантностi фазового рiвняння Шредiнгера вiд-
носно алгебри A15 , можна проводити нелiївську редукцiю i знаходити точнi не-
тривiальнi розв’язки цього нелiнiйного рiвняння.
Зауваження 4. Симетрiйним аналогом фазового рiвняння Шредiнгера (22) для
випадку, коли функцiя u дiйсна, є таке нелiнiйне рiвняння теплопровiдностi
?, ? ? R.
u0 + ??u = ?u ln u,
В роботi [11] вказано додаткову умову, при якiй це рiвняння умовно iнварiантне
вiдносно двох рiзних представлень розширеної алгебри Галiлея AG1 (1, n). Заува-
жимо, що вдається знайти загальний розв’язок одержаної перевизначеної системи
рiвнянь. Вiн має вигляд
u = exp{(?a xa ? ?? ?1 ?2 exp{?x0 } + ?0 )} exp{?x0 },
?2 = ?a ?a , a = 1, n, ?µ ? R.
(В цитованiй роботi вказано лише частковий розв’язок даної системи.)
8. Роздiлення змiнних для нелiнiйного рiвняння (11). Розв’язки галiлей-
iнварiантних рiвнянь типу (14) будемо шукати у виглядi
u = f (x0 , x)?1 (? 1 )?2 (? 2 ), ? k = ? k (x0 , x), (52)
k = 1, 2.
Опишемо всi функцiї F (uu? ), f , ? 1 , ? 2 такi, щоб анзац (52) зводив рiвняння (14)
до системи рiвнянь
?k (? k , ?k , ?k , ?k ) = 0, (53)
k = 1, 2,
де ?k — новi комплекснозначнi функцiї, кожна з яких залежить вiд однiєї змiнної
? k , ?k = ??k /?? k , ?k = ? 2 ?k /?(? k )2 .
Пiдставляючи (52) в (14), одержуємо
f0 ?f ? fa k
+ k i?0 + 2? ?a + ??? k +
k
i +?
f f ?k f
?? 1 2 ? kk
+ 2? 1 2 ?a ?a + ? k ?a ?a = F (f f ? ?1 ?? ?2 ?? )
1 2
?1 ?2 ?k
Симметрiя та нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера 55

(тут по iндексах k, що повторюються, проводиться сумування). З останнього рiв-
няння випливає наступна теорема.
Теорема 10. Для того щоб анзац (52) зводив рiвняння (14) до системи рiвнянь
(53), необхiдно, щоб функцiя F (uu? ) задовольняла (5), а також виконувалися
умови:
if0 + ??f ? ?3 f ln(f f ? ) = f (R1 (? 1 ) + R2 (? 2 )),
(54)
fa k
i?0 + 2? ?a + ??? k = Gk (? k ), ?a ?a = 0, ??a ?a = H k (? k ).
k 12 kk
f
При виконаннi умов теореми 10 рiвняння (14) розщеплюється на таких два
рiвняння:
Rk (? k )?k + Gk (? k )?k + H k (? k )?k = ?3 ?k (?k ?? ),
k
де iндекс k приймає значення k = 1, 2.
Розглянемо випадок, коли
? k = ? k (x0 , xk ) (55)
n = 3, f = f (x0 , x3 ),
i функцiя f задовольняє рiвняння Шредiнгера з логарифмiчною нелiнiйнiстю (11).
Наслiдок 9. Анзац (52), (55) розщеплює рiвняння (11) до системи рiвнянь
Gk (? k )?k + H k (? k )?k = ?3 ?k (?k ?? ), (56)
k
де ? k задовольняють систему
i?0 + ??? k = Gk (? k ),
k
??k ?k = H k (? k ),
kk
k = 1, 2.
Для часткового випадку ? k = xk система (56) зводиться до рiвнянь ??k =
?3 ?k (?k ?? ), ?3 = b + ib1 .
k

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук., думка, 1989, 336 с.
2. Chopyk V.I., Symmetry and reduction of multi-dimensional Schr?dinger equation with the logarith-
o
mic nonlinearity, in Symmetry analysis of equations of mathematical physics, Kiev, Institute of
Mathematics, 1992, 54–62.
3. Bialynicki-Birula I., Mucielski J., Nonlinear wave mechanics, Ann. Phys., 1976, 100, № 1–2, 62–93.
4. Schuch D., Chung K.-M., Hartman H., Nonlinear Schr?dinger-type equation for the description
o
of dissipative systems. I. Derivation of the nonlinear field equation and one-dimensional examples,
J. Math. Phys., 1983, 24, № 6, 1652–1660.
5. Br?ll L., Lange H., The Schr?dinger–Langevin equation: special solutions and nonexistence of
u o
solitary waves, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 786–790.
6. Фущич В.I., Чопик В.I., Умовна iнварiантнiсть нелiнiйного рiвняння Шредiнгера, Допов. АН
УРСР, Сер. А, 1990, № 4, 30–33.
7. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 299 с.
8. Burdet G., Patera J., Perrin M., Winternitz P., The optical group and its subgroups, J. Math. Phys.,
1978, 19, № 8, 1758–1786.
9. Clarkson P., Dimensional reductions and exact solutions of a generalized nonlinear Schr?dinger
o
equation, Nonlinearity, 1992, 5, 453–472.
10. Чопик В., Нелiївська редукцiя нелiнiйного рiвняння Шредiнгера, Укр. мат. журн., 1991, 43,
№ 11, 1504–1509.
11. Myronyuk P., Chopyk V., Conditional Galilei-invariance of multi-dimensional heat equation, in
Symmetry analysis of equations of mathematical physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1992,
66–68.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 56–66.

Symmetry analysis and ansatzes
?
for the Schrodinger equations
with the logarithmic nonlinearity
W.I. FUSHCHYCH, V.I. CHOPYK
Symmetry properties of the Schr?dinger equations with the nonlinearity u ln(uu? ) are
o
investigated. It is shown that these equations are invariant with respect to various
extensions of the Galilei algebra AG(1, n). The conditional symmetry of these nonlinear
Schr?dinger equations are investigated. Lie, non-Lie dimensional reduction and reduction
o
by number of dependent variables carried out. The exact solutions of these equations
are constructed.

1. Introduction. Let us consider the Sch?dinger equations with the logarithmic
o
nonlinearity:

Su ? bu ln(uu? ), b?R (1)

and

Su ? (?1 + i?2 )u ln(uu? ), (2)
?2 = 0,
2
where S = i ?x0 + ??, x0 ? t, ? = ?xa ?xa , a = 1, n, ?, ?i ? R, n is the number of
? ?

space variables.
For the case when b is a real constant the equation (1) is equivalent to the equation
suggested by I. Bialynicki-Birula and J. Mycielski [1]. The equation (1) is investigated
by many authors using different methods (see e.q. [2, 3]). For this case the equation
of continuity:
??
+ div j = 0,
?x0
(3)
?u?
?u
? ?
j = (j1 , j2 , . . . , jn ), ja = ?i? u ?u
? = (uu ), , a = 1, n
?xa ?xa
is satisfied.
For the case when ?2 = 0 the equation of continuity (3) is not satisfied and the
formula:
??
+ div j = ?2 ? ln ?
?x0
can be considered instead of condition (3).
For the equation (2) the conditions:
?? ?
ja + Tab = 0,
?x0 ?xb
Preprint LiTH-MAT-R-93-08, Department of Mathematics, Link?ping University, Sweden, 13 p.
o
Symmetry analysis and ansatzes for the Schr?dinger equations
o 57

where Tab is the stress tensor, a, b = 1, n, are not satisfied (in contrast with the case
of the equation (1) [1]).
It will be shown further, that symmetry properties of the equations (1) and (2) are
essentially different.
2. Lie symmetry. It is well-known that the equations (1), (2) are invariant under
the Galilei algebra AG(1, n) generates by operators:
? ?
, Jab = xa Pb ? xb Pa ,
P0 = , Pa =
?x0 ?xa
(4)
? ? xa
? u? ? , Ga = x0 Pa +
Q=i u Q.
?u ?u 2?
However, it appears that the Lie symmetry of the Schr?dinger equations with loga-
o
rithmic nonlinearity are not exhausted by the algebra (4).
Theorem 1. The equation (1) is invariant with respect to the algebra:
(5)
AG3 (1, n) = AG(1, n), B ,
where B = I ? 2bx0 Q, I = u ?u + u? ?u? .
? ?

Theorem 2. The equation (2) is invariant with respect to the algebra:
(6)
AG4 (1, n) = AG(1, n), C ,

where C = exp{2?2 x0 } I ? ?1
, when ?2 = 0.
?2 Q

The above theorems can be proved using the Lie algorithm [4, 5].
The operator C generates the following finite transformations [6]:
x0 > x0 = x0 ,
xa > xa = xa ,
(7)
?1
u > u = exp ? 1 ? i exp(2?2 x0 ) u,
?2
where ? is a group parameter.
Under transformations (7), the equation (2) becomes:
?1
exp(2?2 x0 ) [Su ? (?1 + i?2 )u ln(u u ? )].
exp ?? 1 ? i

<< Предыдущая

стр. 13
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>