<< Предыдущая стр. 19(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
of nonlinear ordinary differential equations. On solving it we arrive at the formulae
(6), (7).
Thus, there exists up to the equivalence relation (5) only one nonlinear represen-
tation of the algebra AP (2, 2). Applying the Lie method one can prove that the only
first-order PDE admitting algebra (7) is the eikonal equation
u2 1 + u2 2 ? u2 3 ? u2 4 = 0.
x x x x
78 W.I. Fushchych, V.I. Lagno, R.Z. Zhdanov

Using results of subalgebraic analysis of the algebra AP (2, 2) obtained in [5], one
can construct broad classes of exact solutions of the nonlinear PDE (8) by symmetry
reduction procedure.
Theorem 2. There exist only three unequivalent representations of the conformal
algebra AC(2, 2):
P? , J?? are of the form (6),
1.
(8)
D = x? ?? + ?(u)?u ,
K? = 2g?? x? D ? (g?? x? x? )?? ,

P? , J?? are of the form (6),
2.
(9)
D = x? ?? + u?u ,
K? = 2g?? x? D ? (g?? x? x? )?? ± u2 ?? ,

P? , J?? are of the form (7), D = x? ?? ,
3.
K1 = 2x1 D ? (g?? x? x? )?1 + 2(x2 + x3 cos u ? ?x4 sin u)?u ,
K2 = 2x2 D ? (g?? x? x? )?2 + 2(?x1 + x3 sin u + ?x4 cos u)?u , (10)
K3 = ?2x3 D ? (g?? x? x? )?3 + 2(?x4 ? x1 cos u ? x2 sin u)?u ,
K4 = ?2x4 D ? (g?? x? x? )?4 + 2(??x3 + ?x1 sin u ? ?x2 cos u)?u .

Representation of the form (9) is realized on the set of solutions of the nonlinear
wave equation
? ? R1
g?? ux? x? = ?u3 ,
under ?(u) = ? 3 u.
2
As shown in [6] the system of nonlinear PDE
g?? ux? x? = ±3u?3 , g?? ux? x? = ±1
is invariant under the conformal algebra having basis operators (10).
A detailed study of the second-order PDE admitting conformal the algebra with
basis operators (7), (11) will be the topic of our future papers.
In conclusion, we adduce some generalizations of the above assertions.
Theorem 3. An arbitrary representation of the generalized Poincar? AP (n, m) with
e
max{n, m} ? 3 in the class of the operators (2) is equivalent to the standard repre-
sentation
J?? = g?? x? ?? ? g?? x? ?? , (11)
P? = ? ? , ? ?
where g?? is the metric tensor of the pseudo-Euclidean space M (n, m), ?, ?, ?, ? =
?
1, 2, 3, . . . , n + m.
Consequently, only the algebras AP (1, 1) [2], AP (1, 2), AP (2, 1) [3] and AP (2, 2)
have the nonlinear representation.
Theorem 4. An arbitrary representation of the conformal group C(n, m) with
max{n, m} ? 3 is equivalent either to (9) or to (10) (where one must replace
tensor g?? by g?? ). ?
On nonlinear representation of the conformal algebra AC(2, 2) 79

1. Гельфанд Я.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я., Представления группы вращений и группы Лорен-
ца, М., Физматгиз, 1958, 368 с.
2. Rideau G., Winternitz P., Nonlinear equations invariant under the Poincar?, similitude and conformal
e
groups in two-dimensional space-time, J. Math. Phys., 1990, 31, № 9, 1095–1105.
3. Yegorchenko I.A., Nonlinear representation of the Poincar? algebra and invariant equations, in
e
Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1992,
62–65.
4. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Conditional symmetry and reduction of partial differential equations,
Ukr. Math. J., 1992, 44, № 7, 970–982.
5. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры Пуанкаре AP (2, 3) и симметрийная
редукция нелинейного ультрагиперболического уравнения Д’Аламбера, Укр. мат. журн., 1988,
40, № 4, 411–416.
6. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Yegorchenko I.A., On the reduction of the nonlinear multidimen-
sional wave equations and compatibility of the d’Alambert–Hamilton system, J. Math. Anal. Appl.,
1991, 161, № 2, 352–360.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 80–88.

Нелокальные анзацы и решения
нелинейной системы уравнений
теплопроводности
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, Т.К. АМЕРОВ
Нелинейная система теплопроводности нелокальной подстановкой сведена к скаляр-
ному нелинейному уравнению теплопроводности. Лиевская и условная инвариан-
тность скалярного уравнения использована для нахождения нелокальных анзацев,
которые редуцируют исходную систему к системам обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений

u0 = f (v)u11 ,
(1)
v0 = u11 ,

где u = u(x), v = v(x), x = (x0 , x1 ) ? R2 , v0 = ?v/?x0 , u0 = ?u/?x0 , u11 =
? 2 u/?x2 , которая часто встречается в теории тепломассопереноса. Нелокальная
1
замена

(2)
u = w0 , v = w11

сводит систему (1) к одному уравнению

(3)
w00 = f (w11 )w110 .

Проинтегрировав (3) по x0 , будем иметь

(4)
w0 = F (w11 ),

где F — первообразная функции f . Дважды продифференцировав (4) по x1 , полу-
чим

(5)
w001 = ?1 (f (w11 )w111 ).

После замены

(6)
w11 = z

имеем уравнение

(7)
z0 = ?1 (f (z)z1 ).

Таким образом, система уравнений (1) свелась к нелинейному уравнению диффу-
зии (7).
Укр. мат. журн., 1993, 45, № 2, С. 293–302.
Нелокальные анзацы и решения нелинейной системы уравнений 81

Лиевская симметрия уравнения (7) исчерпывающе изучена Л.В. Овсяннико-
вым [1], а условная симметрия (7) исследована в [2, 3]. В настоящей статье при-
ведены лиевские анзацы, редуцирующие уравнение (7) к обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям (ОДУ). Путем преобразования лиевских и некоторых
нелиевских анзацев, посредством замен (2) и (6), описаны нелокальные анзацы,
редуцирующие систему (1) к системе ОДУ. Построены семейства точных решений
системы (1).
С использованием лиевской симметрии получены следующие неэквивалентные
анзацы для уравнения (7).
A. f (z) — произвольная гладкая функция:
?1/2
z = ?(?), ? = x1 x0 ;
(8)
z = ?(?), ? = ?0 x0 + ?1 x1 .
Б. f (z) = ez :
= ?(?) + (2 + ??1 ) ln x1 , ? = x1 x? ;
z 0
?1
z = ?(?) + ? x1 , ? = x1 + ? ln x0 ;
= ?(?) ? ln x0 , ? = x1 ; (9)
z
= ?(?) + 2 ln x1 , ? = x1 e?x0 ;
z
z = ?(?) + ln x1 , ? = x0 .
С. f (z) = z k , k — произвольная постоянная, отличная от нуля:
1
? k (2?+1)
? = x1 x? ;
z = ?(?)x0 , 0
?1/k
z = ?(?)x0 , ? = x1 + ?1 ln x0 ;
(10)
? 2? x0 ?x0
z = ?(?)e , ? = x1 e ;
k

2/k
z = ?(?)x1 , ? = x0
Д. f (z) = z ?4/3 :
z = ?(?)(x2 + ?1 )?3/2 , ? = x0 ;
1
?3/2
z = ?(?)x1 , ? = x0 ;
x1
z = ?(?)(x2 + ?2 )?3/2 , ? = x0 + ? arctg
;
1
?
x1
z = ?(?)(x2 ? ?2 )?3/2 , ? = x0 + ? Arth ;
1
?
?3 ?1
z = ?(?)x1 , ? = ?x0 + x1 ;
(11)
3
2 ?x0 ?x0
z = ?(?)e , ? = x1 e ;
3 x1
z = ?(?)x0 (x2 + ?2 )? 2 ,
3/4
? = x0 e? arctg ;
?
1
3 x1
z = ?(?)x0 (x2 ? ?2 )? 2 ,
3/4
? = x0 e? Arth ;
?
1

z = ?(?)x0 x?3 , ? = ? ln x0 + x?1 ;
3/4
1 1
3
(?+ 1 )
? = x1 x? ,
2 2
z = ?(?)x0 , 0

где ?0 = const, ?1 = const, ?0 = const = 0, ? = const = 0. Некоторые из анза-
цев (8)–(11) посредством преобразований (6) и (2) преобразуются в нелокальные
анзацы для системы (1).
82 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

А. f (v) — произвольная гладкая функция:
?
1) u = ?1 (?) ? ?1 (?) + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
?
2
?1/2
v = ?1 (?), ? = x1 x0 ;
?
?0
2) u = 2 ?1 (?) + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
?1
v = ?1 (?), ? = ?0 x0 + ?1 x1 ;
?
?1 (x0 ) 2
?
x1 + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
3) u =
2
1
v = ? (x0 ).
Б. f (v) = ev :
u = ?2?x?2??1 ?1 (?) + ?x1 x0 ???1 1
? (?) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
4) ?
0
v = (2 + ??1 ) ln x1 + ?1 (?), ? = x1 x? ;
? 0
u = ??1 (?)x?1 + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
5) 0
?1
v = x1 ? + ?1 (?), ? = x1 + ? ln x0 ;
?
12
u=? x1 + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
6)
2x0
v = ? ln x0 + ?1 (x1 );
u = ?2?e?2?x0 ?1 (?) + ?x1 e??x0 ?1 (?) + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
7) ?
v = 2 ln x1 + ?1 (?), ? = x1 e?x0 ;
?
x2
u = 1 ?1 (x0 ) + x1 ?2 (x0 ) + ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
8) ?
2
v = ln x1 + ?1 (x0 ).
С. f = v k , k — произвольная постоянная (k = 0):
1
1 ?(2?+1)( k +1) 1
 << Предыдущая стр. 19(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>