<< Предыдущая

стр. 21
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?3 (x ) = c e?2?( k +1)x0 ;
? 0 2
1
13) ? (x0 ) = 0,
?
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = ?1 (x0 )[?1 (x0 )]?2 ;
? ?
?1 (x0 ) = 0,
14) ?
?2 (x0 ) = ?1 (x0 )[?1 (x0 )]?2 ,
? ?
?3 (x0 ) = 0;
?
k2
1
= [?1 (x0 )]k ?1 (x0 ),
15) ? (x0 )
? ?
(2 + k)(2 + 2k)
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = 0;
?
?1 (x0 )
?
= [?1 (x0 )]?4/3 ?1 (x0 ),
16) ?
?2
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = 0;
?
???2 ?1 (x0 ) = [?1 (x0 )]?4/3 ?1 (x0 ),
17) ? ?
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = 0;
?
?1 (x0 ) = 0,
18) ?
?2 (x0 ) = [?1 (x0 )]?4/3 ?1 (x0 ),
? ?
?3 (x0 ) = 0;
?
?4?1 (x0 ) = [?1 (x0 )]?4/3 ?1 (x0 ),
19) ? ?
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = 0;
?
86 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

?1 (x0 ) = 2[?1 (x0 )]?4/3 ?1 (x0 ),
20) ? ?
?2 (x0 ) = 0,
?
?3 (x0 ) = 0;
?
?2 ?1 (?) ? ?[?1 (?)]?4/3 ?1 (?) + c1 ? + c2 = 0,
21) ? ? ?
?2 (x0 ) = ???3 (x0 )x0 + c2 ,
? ?
?3 (x0 ) = c1 ;
?
3
...
?? ?1 (?)[?1 (?)]?4/3 + ?[?1 (?)]?1/3 ? ?2 ? 2 ?1 (?) ?
22) ? ? ?
2
? ?1 (?) ? c1 ? ? c2 = 0,
?
?2 (x0 ) = c1 e 2 x0 ,
?
?3 (x0 ) = c2 e? 2 x0 ;
?
?
?2 (x0 ) = 0,
23) ?
?3 (x0 ) = 0;
?
3 ? 3 ...
? ?1 (?) + ?1 (?) + ??1 (?) ? (?1 (?))?4/3 ?1 (?) + ??1 (?) +
24) ? ? ? ?
16 2 4
+ c1 ? + c2 = 0,
5/4
x0 ?3 (x0 ) = c1 ,
?
5/4
x0 [?2 (x0 ) ? ? ln x0 ?3 (x0 )] = c2 ;
? ?
?3 ?1 ?
? ?1 (?) + ? ?1 (?) + ?2 ? 2 ?1 (?) +
25) + ? ?
2 4 2 4 2
3 3 ...1 ...
(? (?))?1/3 ? ??[?1 (?)]?4/3 ?1 (?) + c1 ? + c2 = 0,
+ ?+ ?
2 4
(?/2)?(5/4)
?2 (x0 ) = c1 x0
? ,
?(?/2)?(5/4)
?3 (x0 ) = c2 x0
? ;
3 ? 3 ...
? ?1 (?) + ?1 (?) + ?2 ?1 (?) ? [?1 (?)]4/3 ?1 (?) + ??1 (?) +
26) ? ? ? ?
16 2 4
+ c1 ? + c2 = 0,
?5/4
?2 (x0 ) = c1 x0
? ,
?5/4
?3 (x0 ) = c2 x0 + ? ln x0 ?2 (x0 );
? ?
1
[?1 (x1 )]?1/3 + ?1 (x1 ) + c1 x1 + c2 = 0,
27) ?
4
3
5/4
x0 ?2 (x0 ) = c1 ,
?
4
3
5/4
x0 ?3 (x0 ) = c2 ,
?
4
где c1 , c2 — произвольные постоянные.
Если проинтегрировать приведенные выше уравнения и подставить их решения
в соответствующие анзацы, то получим решения системы (1). Приведем некоторые
из них:
c1
А. u = x2 + c3 x1 + f (c1 x0 + c2 )dx0 + c4 , v = c1 x0 + c2 ;
21
Нелокальные анзацы и решения нелинейной системы уравнений 87

12 c1
x1 + x1 ? + c3 ? c2 x?1 + c4 ,
u=?
Б. 0
2x0 x0
x2
v = ? ln x0 + ln ? 1 ? c1 x1 ? c2 ;
2
2
x
u = 1 (c1 x0 + c2 ) + x1 (ec1 x0 +c2 + c3 ) + c4 ,
2
v = ln x1 + c1 x0 + c2 ;
u = ?c1 ln x1 + c3 x1 ? (c1 x0 + c2 )?1 + c4 ,
C.
v = (c1 x0 + c2 )x?2 , k = ?1;
1
u = c1 [x1 ln x1 ? x1 ] + x1 [?(c1 x0 + c2 )?1 + c3 ] + c4 ,
v = (c1 x0 + c2 )x?1 , k = ?2;
1
1
? k ?1
1 (2 + k)(2 + 2k) 2+2k
?x0
u= + c1 x1 + x1 c2 + c3 ,
k

k+1 k(k + 1)
? 1 ?1
(2 + k)(2 + 2k) 2
k
v = ?x0 x1 , k = 0, ?1, ?2;
+ c1 k

k(k + 1)
u = (x2 + ?2 )1/2 3(?4?2 x0 + c1 )?1/4 + c2 x1 + c3 ,
Д. 1
v = (x2 + ?2 )?3/2 (?4?2 x0 + c1 )3/4 ;
1
u = ?3(x2 ? ?2 )1/2 (4?2 x0 + c0 )?1/4 + x1 c2 + c3 ,
1
v = (x2 ? ?2 )?3/2 (4?2 x0 + c1 )3/4 ;
1
c1
+ x1 [?3(c1 x0 + c2 )?1/3 + c3 ] + c4 ,
u=
2x1
v = x?3 (c1 x0 + c2 );
1

u = ?x1 48(16x0 + c1 )?1/4 + x1 c2 + c3 ,
1/2

?3/2
(16x0 + c1 )3/4 ;
v = x1
u = ?3x2 (?8x0 + c1 )?1/4 + x1 c2 + c3 ,
1
v = (?8x0 + c1 )3/4 ;
u = c1 x1 + c2 ,
? = ?1 (x1 ), ?1 — произвольная гладкая функция;
?1/4 v ?1/4 ?1/4
u = 3x0 ( x1 ? c1 x1 ? c2 ) + x1 [?3c1 x0 + c4 ] + [?3c2 x0 + c5 ],
?3/2
3/4
v = x0 (?x1 ),

где ci = const, i = 1, 5.
В работе [2] для уравнения (7) приведены условно инвариантные анзацы,
используя которые, можно построить нелокальные анзацы для системы (1). При-
ведем два таких анзаца для случая, когда f (v) = ?ev .
По анзацам для уравнения (7):
z = ln(?(x0 ) ? x1 ) + ln(?(x0 ) + x1 ) ? ln(2?x0 );
а)
(12)
z = 2 ln(?(x0 ) + x1 ) ? ln(?2?x0 )
б)
находим анзацы для системы (1):
u = ?1 [(?1 ? x1 ) ln(?1 ? x1 ) + (?1 + x1 ) ln(?1 + x1 ) + ?1 ] ?
а) ?
88 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

x2
? 1
+ x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 ),
?
2x0
v = ln(?1 ? x1 ) + ln(?1 + x1 ) ? ln 2?x0 ,
где ?1 = ?1 (x0 ); (13)
x2
u = 2? (x1 + ? )[ln(x1 + ? ) ? 1] ? 1 + x1 ?2 + ?3 ,
1 1 1
б) ?
2x0
v = 2 ln(x1 + ? ) ? ln(?2?x0 ),
1


которые редуцируют систему (1) к следующим системам ОДУ:
?(?1 )2
??1 x?2 ,
1 2 3
а) ? = 0,
? ?=
? ?=
? ;
0
2x2 0
(?1 )2
?2 = ?1 x?2 ,
?1 = 0, ?3 =
б) ? ? ? .
0
2x20

Решив редуцированные системы, по формулам (13) найдем точные решения систе-
мы (1):
c2 + x2 c1
u = ? 1 2 1 + x1 c2 + c3 + x1 ,
а)
2x0 x0
c ? x1
2 2
v = ln 1 ;
2?x0
x2 c2
c1
u=? + c2 ? x1 ? 1 + c3 ,
1

<< Предыдущая

стр. 21
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>