<< Предыдущая

стр. 33
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?2 = ??2 + m?2 ?2 .
? ?

In the above formulae ? is a separation constant, ? = 1 (x + t), ? = 1 (x ? t).
2 2
As a direct check shows, the above coordinate systems do not satisfy (23). Conse-
quently, they are non-orthogonal.
4. Conclusion
Let us say a few words about the intrinsic characterization of SV in (1). It is
well known that the solution of the second-order linear PDE with separated variables
is a joint eigenfunction of mutually-commuting symmetry operators of the equation
under study (for more detail, see [13, 14]). Below, we construct the second-order
symmetry operator of (1) such that solution with separated variables is its eigenfunc-
tion and parameter ? is an eigenvalue.
Making in (1) the change of variables (29), we obtain
u?1 ?1 ? u?2 ?2 = V (? + ?)[F (?)G(?)]?1 u.
? ?

Provided (1) admits SV, by virtue of (33) there exist functions g1 (F +G), g2 (F ?G)
such that
V (? + ?)[F (?)G(?)]?1 = g1 (F + G) ? g2 (F ? G).
? ?
138 R.Z. Zhdanov, I.V. Revenko, W.I. Fushchych

Since F + G = ?1 , F ? G = ?2 , equation (36) takes the form

u?1 ?1 ? u?2 ?2 = [g1 (?1 ) ? g2 (?2 )]u

or

X = ??1 ? ??2 ? g1 (?1 ) + g2 (?2 ).
2 2
Xu = 0,

Clearly, the operators Qi = ??i ? gi (?i ), i = 1, 2 commute with the operator X,
2

i.e. they are symmetry operators of (1) and, what is more, the relations

Qi u = Qi ?1 (?1 )?2 (?2 ) = ??1 (?1 )?2 (?2 ) = ?u, i = 1, 2

hold.
It should be noted that V.N. Shapovalov carried out classification of potentials V (x)
such that (1) admitted a non-trivial second-order symmetry operator [15] but he lost
cases (4) and (9) from Theorem 1.
It was shown by Osborne and Stuart [16] that the method of SV could be applied
to nonlinear PDE. In [8] we suggested a regular approach to SV in nonlinear par-
tial differential equations. In future publications we intend to apply this approach to
separate variables in the nonlinear wave equation utt ? uxx = F (u).

1. Bocher M., Die Reihentwickelungen der Potentialtheorie Leipzig, Teubner, 1894.
2. Darboux G., Lecons sur les Systemes Orhogonaux et les Coordonnees Curvilignes, Paris, Hermann,
1910.
3. Eisenhart L.P., Ann. Math., 1934, 35, 284.
4. Stepanov V.V., Matemat. Sbornik, 1942, 11(53), 204.
5. Olevsky M.N., Matemat. Sbornik, 1950, 27(69), 379.
6. Kalnins E., Miller W., J. Math. Phys., 1974, 15, 1025.
7. Zhdanov R.Z, Revenko I.V. and Fushchych W.I., Doklady AN Ukrainy, Ser. A, 1993, № 1, 27.
8. Zhdanov R.Z., Revenko I.V., Fushchych W.I., Ukrain. Mat. Zh., to appear.
9. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645.
10. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Phys. Lett. A, 1989, 141, 113.
11. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Yegorchenko I.A., Math. Anal. Appl., 1991, 161, 352.
12. Miller W., Symmetry and separation of variables, Addison-Wesley, 1977.
13. Koornwinder T.H., Lecture Notes in Math., 1980, 810, 240.
14. Kalnins E., Miller W., J. Math. Phys., 1976, 17, 369.
15. Shapovalov V.N., Izv. Vuzov. Fizika, 1969, 9, 64.
16. Osborn A., Stuart A., J. Math. Phys., 1978, 19, 1573.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 139–150.

Редукция многомерного уравнения
Даламбера к двумерным уравнениям
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

a classification of the maximal subalgebras of rank n ? 1 for the extended
We give
?
algebra AP (1, n), which is realized on the set of solutions of the d’Alembert
Poincar?
e
k
2u + ?u = 0. These subalgebras are used for constructing the anzatses
equation
reducing this equation to differential equations with two invariant variables.

Проведена класифiкацiя максимальних пiдалгебр рангу n ? 1 розширеної алгебри
?
Пуанкаре AP (1, n), яка реалiзується на множинi розв’язкiв рiвняння Даламбера
k
2u+?u = 0. Одержанi пiдалгебри використано для побудови анзацiв, що редукують
це рiвняння до диференцiальних рiвнянь з двома iнварiантними змiнними.


1. Введение. В настоящей статье изучается редукция нелинейного уравнения
Даламбера

2u + ?uk = 0 (1)

к двумерным уравнениям. Здесь u = u(x) — скалярная функция переменной u =
(x0 , x1 , . . . , xn ), k — произвольное вещественное число, отличное от 1, а

?2u ?2u ?2u
2u = ? ? ··· ? 2 .
?x2 ?x2 ?xn
0 1

В [1, 2] установлено, что алгеброй инвариантности уравнения (1) является ал-
? ?
гебра Ли AP (1, n) расширенной группы Пуанкаре P (1, n), базис которой образуют
такие векторные поля:

J0a = x0 ?a + xa ?0 , Jab = xb ?a ? xa ?b , Pµ = ? µ ,
2
D = ?xµ ?µ + u?u ,
k?1
где
? ?
?µ = , ?u = , a, b = 1, . . . , n, µ = 0, 1, . . . , n.
?xµ ?u
?
Это позволяет использовать подалгебры алгебры AP (1, n) для проведения реду-
кции уравнения (1) к диференциальным уравнениям с меньшим числом перемен-
ных.
Если ?1 (x), . . . , ?m (x), ?m+1 (x, u) — полная система инвариантов некоторой
?
подалгебры L алгебры AP (1, n), то анзац

(2)
?m+1 = ?(?1 , . . . , ?m )
Укр. мат. журн., 1994, 46, № 6, С. 651–662.
140 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

преобразует уравнение (1) в уравнение, содержащее только ?, ?1 , . . . , ?m и прои-
зводные от ? по ?1 , . . . , ?m . Число m связано с рангом r алгебры L соотношением
m = n + 1 ? r.
Случай m = 1 исследован в [1–6]. Случай m = 2 для n ? 3 рассматривался в
[1–3], а для произвольного n такое исследование с привлечением подалгебр алге-
бры Ли AP (1, n) группы Пуанкаре P (1, n) проведено в [7]. Поэтому для заверше-
ния изучения случая m = 2 необходимо выполнить редукцию по тем подалгебрам
?
ранга n ? 1 алгебры AP (1, n), которые имеют ненулевую проекцию на D .
?
В данной статье с точностью до P (1, n)-эквивалентности найдены все макси-
?
мальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n), имеющие ненулевую проекцию
на D , для каждой из них построен анзац (2), посредством которого проведена
редукция уравнения (1) к дифференциальному уравнению с двумя переменными.
2. Основные обозначения и некоторые общие замечания. Базисные элемен-
?
ты алгебры AP (1, n) связаны следующими коммутационными соотношениями:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? .
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , [P? , P? ] = 0, [D, J?? ] = 0, [D, P? ] = P? .

где g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1, g?? = 0 при ? = ?, ?, ?, ?, ? = 0, 1, . . . , n. Ал-
?
гебра AP (1, n) содержит алгебру Пуанкаре AP (1, n), порожденную J?? и P? , ор-
тогональную алгебру AO(n) = Jab | a, b = 1, . . . , n , псевдоортогональную алгебру
AO(1, n) = J?? | ?, ? = 0, 1, . . . , n , коммутативный идеал V = P0 , P1 , . . . , Pn .
?
Важной подалгеброй алгебры AP (1, n) является нормализатор N изотропного про-
?
странства P0 + Pn в алгебре AP (1, n). Нетрудно получить

N = M, T, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? D, J0n ),
?

где
M = P0 + Pn , T = (P0 ? Pn )/2, Ga = J0a ? Jan , a = 1, . . . , n ? 1,
AO(n ? 1) = Jab | a, b = 1, . . . , n ? 1 .

Алгебра N содержит расширенную изохронную алгебру Галилея
?
AG(0, n ? 1) = M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 + AO(n ? 1).
?

В работе будут использованы еще и такие обозначения:

AO[r, s] = Jab | a, b = r, . . . , s , r ? s;
AE[r, s] = Pr . . . , Ps , + AO(r, s), r ? s;
?
AE1 [r, s] = Gr . . . , Gs , + AO(r, s), r ? s;
?
V [1, n ? 1] = G1 , . . . , Gn?1 , W [1, n ? 1] = P1 , . . . , Pn?1 ;

? — проектирование N на D, J0n . Если s > r, то, по определению, AO[r, s] = 0,
AE[r, s] = 0.
?
Для проведения редукции уравнения (1) по подалгебрам алгебры AP (1, n) необ-
?
ходимо описать подалгебры этой алгебры с точностью до P (1, n)-эквивалентности.
? ?
Две подалгебры K1 , K2 алгебры AP (1, n) называются P (1, n)-эквивалентными,
?
если с точностью до P (1, n)-сопряженности они имеют одни и те же инварианты.
Редукция многомерного уравнения Даламбера к двумерным уравнениям 141

Среди подалгебр, имеющих одну и ту же полную систему инвариантов, существу-
ет одна (максимальная) подалгебра, содержащая все остальные подалгебры. Будем
?
называть ее i-максимальной подалгеброй алгебры AP (1, n). Две i-максимальные
?
подалгебры K1 и K2 алгебры AP (1, n) эквивалентны тогда и только тогда, ко-
?
гда K1 и K2 P (1, n)-сопряжены. Таким образом, для нахождения с точностью
?
до P (1, n)-сопряженности всех анзацев, редуцирующих уравнение (1) к диферен-
циальным уравнениям с двумя инвариантными переменными, требуется описать
? ?
i-максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) с точностью до P (1, n)-
сопряженности.
При доказательстве излагаемых результатов нам понадобится следующая лем-
ма.
?
Лемма 1. Пусть L — максимальная подалгебра алгебры AP (1, n), K1 — по-
далгебра L. Тогда в L существует подалгебра K2 , удовлетворяющая таким
условиям:
?
1) K2 — i-максимальная подалгебра алгебры AP (1, n);
2) K1 ? K2 ;
3) K1 и K2 имеют одни и те же инварианты.
Доказательство. Пусть ?1 , . . . , ?s — полная система инвариантов подалгебры K1 .
?
Обозначим через K2 i-максимальную подалгебру алгебры AP (1, n), имеющую пол-
ную систему инвариантов ?1 , . . . , ?s . Докажем, что K2 ? L. Действительно, пусть
f — произвольный инвариант алгебры L. Так как K1 ? L, то f является инвари-
антом подалгебры K1 и в силу теоремы об универсальном инварианте получаем
?
f = f (?1 , . . . , ?s ). Так как L — i-максимальная подалгебра алгебры AP (1, n), то
отсюда вытекает, что K2 ? L. Лемма доказана.
Из результатов, изложенных в п. 3 [7], следует, что задача построения инва-
?
риантов произвольной подалгебры алгебры AP (1, n) сводится к задаче построе-
ния инвариантов неприводимых подалгебр ортогональной алгебры AO(k) для всех
k ? n. Последняя же задача в общем случае, видимо, неразрешима в квадрату-
рах. В связи с этим ограничимся рассмотрением только тех подалгебр алгебры
AP (1, n), проекции которых на AO(1, n) являются под прямыми суммами алгебр
вида AO[r, s].
3. Максимальные подалгебры ранга n ? 1, не содержащие P0 и
P0 + Pn . В следующих ниже леммах L обозначает максимальную подалгебру
?
алгебры AP (1, n), имеющую ненулевую проекцию на D и не содержащую P0 и
P0 + P n .
Лемма 2. Если проекция L, на AO(1, n) не имеет в пространстве V инвариан-
тных изотропных подпространств, то L сопряжена с одной из таких алгебр:

L1 = (AO[0, d] ? AO[d + 1, m] ? AO[m + 1, q] ? AE[q + 1, n]) + D , ?
d = 2, . . . , n ? 2, m = d + 1, . . . , n ? 2, q = m + 1, . . . , n ? 1,
2n ? d + q, n ? 4;
L2 = (AO[0, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) + D + ?Jn?1,n ,
?
m = 2, . . . , n ? 2, n ? 4, ? > 0;
L3 = (AO[1, m] ? AO[m + 1, q] ? AE[q + 1, n]) + D , ?
m = 2, . . . , n ? 2, q = m + 2, . . . , n, 2m ? q, n ? 2.
142 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Доказательство. Если D ? L то L = K + D , где K — максимальная по-
?
далгебра ранга n ? 2 алгебры AP (1, n), относящаяся к классу 0 и являющаяся
расщепляемой. Отсюда на основании теоремы 4 [7] получаем, что L сопряжена
с L1 или L3 . Если D ? L, то в силу леммы 1 L = N + D + ?Jn?1,n , ? > 0
?
где N — максимальная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AP (1, n ? 2). В силу [4]
алгебра N сопряжена с AO[0, m] ? AE[m + 1, n ? 2], 2 ? m ? n ? 2, n ? 4. Лемма
доказана.
Лемма 3. Если L ? N и ?(L) = D, J0n , то L сопряжена с одной из таких
алгебр:
L4 = (AE[1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) + Jn?2,n?1 + cJ0n , D + ?J0n ,
?
m = 1, . . . , n ? 3, n ? 4, c > 0, ? ? 0;
L5 = (AO[1, m] ? AO[m + 1, q] ? AE[q + 1, n ? 1]) + D, J0n ,

<< Предыдущая

стр. 33
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>