<< Предыдущая

стр. 34
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
m = 1, . . . , n ? 2, q = m + 1, . . . , n ? 1, 2m ? q, n ? 3;
L6 = AE[3, n ? 1] + J12 + cJ0n , D + ?J0n , c > 0, ? ? 0, n ? 3.
?
Доказательство. Согласно геореме IV.3.4 [6] алгебра L сопряжена с алгеброй
(U1 + U2 ) + F , где U1 ? V [1, n ? 1], U2 ? W [1, n ? 1], а F ? AO(n ? 1) ? D, J0n . В
?
силу леммы 1 L = K + D + X1 , J0n + X2 , где X1 , X2 ? AO(n ? 1), а K —
?
?
максимальная подалгебра ранга n ? 3 алгебры AG(0, n ? 1). Поскольку алге-
?
бра AE1 [1, m] + J0n , имеющая ранг m + 1, сопряжена с подалгеброй алгебры
AO[0, m + 1], не являющейся в ней максимальной, то по лемме 1 получаем, что
X2 = 0 при U1 = 0. В этом случае согласно предложению 2 [6] алгебра L со-
пряжена с L4 . Если U1 = 0, то на основании этого же предложения 2 алгебра L
сопряжена с L5 или L6 . Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть L ? N, ?(L) = D + ?J0n и L — расщепляемая алгебра при
? = ±1. Тогда L сопряжена с одной из таких алгебр:
L7 = (AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + D + ?J0n ,
?
d = 1, . . . , n ? 2, m = d + 1, . . . , n ? 1, n ? 4, ? ? 0;
L8 = (AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + D + ?J0n ,
?
m = 1, . . . , n ? 1, n ? 2, ? ? 0;
L9 = ( G1 + 2T ? AO[2, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + 2D ? J0n ,
?
m = 2, . . . , n ? 1, n ? 3.
Доказательство. Если ? ? {0, ±1, ?1/2}, то в силу теоремы IV.3.4 [6] алгебра
L сопряжена с алгеброй (U1 + U2 ) + F , где U1 ? V [1, n ? 1], U2 ? W [1, n ? 1],
?
а F ? AO(n ? 1) ? D + ?J0n . По лемме 1 L = K + ? D + ?J0n + X , где
?
X ? AO(n ? 1), а K — максимальная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AG(0, n ? 1).
Согласно теореме 1 [7] алгебра K совпадает с точностью до сопряженности с одной
из алгебр
AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1],
1 ? d ? n ? 2, d + 1 ? m ? n ? 1, n ? 3;
AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], 1 ? m ? n ? 1, n ? 2.
Так как [X, K] ? K, то X принадлежит проекции L на AO(n ? 1), а значит, можно
предполагать, что X = 0, и мы получаем алгебры L7 , L8 .
Редукция многомерного уравнения Даламбера к двумерным уравнениям 143

Пусть ? = ?1/2. Тогда согласно теореме IV.3.4 [6] алгебра L сопряжена с
алгеброй (U1 + U2 ) + F , где U1 ? V [1, n ? 1] + T (как пространство), U2 ?
?
W [1, n ? 1], а F является подалгеброй алгебры AO(n ? 1) ? 2D ? J0n . Если
проекция U1 на T равна 0, то L совпадает с L7 или L8 . Допустим, что проекция
U1 на T совпадает с T . Если G1 +2T, G2 ? L, то L содержит [G1 +2T, G2 ] = 2P2 ,
[P2 , G2 ] = M , что противоречит предположению относительно L. Отсюда вытекает
U1 = G1 + 2T . Если U2 = 0, то по теореме Витта U2 = Pm+1 , . . . , Pn , n ? 2, а
значит, L сопряжена с алгеброй L9 .
В силу теоремы 1V.3.4 [6] случаи, когда ? = ±1 и L — расщепляемая алгебра,
не отличаются от рассмотренного случая ? ? {0, ±1, ?1/2}. Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть L — нерасщепляемая подалгебра алгебры N и ?(L) = D+J0n .
Тогда L сопряжена с одной из таких алгебр:

L10 = (AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + D + J0n + M ,
?
d = 1, . . . , n ? 2, m = d + 1, . . . , n ? 1, n ? 3;
L11 = (AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + D + J0n + M ,
?
m = 1, . . . , n ? 1, n ? 2;
L12 = (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) + Jn?2,n?1 + ?M, D + J0n + M ,
?
m = 1, . . . , n ? 3, n ? 4, ? ? 0;
L13 = (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) + Jn?2,n?1 + M, D + J0n ,
?
m = 1, . . . , n ? 3, n ? 4;
L14 = AE[3, n ? 1] + J12 + ?M, D + J0n + M , ? ? 0, n ? 3;
?
L15 = AE[3, n ? 1] + J12 + M, D + J0n , n ? 3.
?

Доказательство. Согласно теореме IV.3.4 [6] алгебра L, сопряжена с алгеброй
(U1 + U2 ) + F , где U1 ? V [1, n ? 1], U2 ? W [1, n ? 1], а L ? AO(n ? 1) ?
?
D + J0n , M . Легко убедиться, что алгебры G2j?1 , G2j , G2j?1,2j и G2j?1 , G2j
являются эквивалентными. Поэтому если D +J0n +?M +?Jn?2,n?1 ? L и ? = 0, то
по лемме 1 U1 ? V [1, n ? 3] и U2 ? W [1, n ? 3]. В этом случае Jn?2,n?1 + ?M ? L, а
?
следовательно, алгебра L, сопряжена с K + Jn?2,n?1 +?M, D +J0n +?M , где K
?
— максимальная подалгебра ранга n ? 3 алгебры AG(0, n ? 3). Нетрудно получить,
что с точностью до сопряженности K совпадает с AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3],
1 ? m ? n ? 3, n ? 4, или AE[1, n ? 3], n ? 3, а потому L сопряжена с одной
из алгебр Lj , j = 12, . . . , 15. В оставшихся случаях в силу предложения 2 [7]
алгебра L сопряжена с L10 или L11 . Лемма доказана.
Для выделения оставшихся алгебр нам необходимы дополнительные обозначе-
ния. Для любых двух натуральных чисел r и s, r ? s, положим

? ? ? R.
?(r, s, ?) = Gr + ?1 Pr , . . . , Gs + ?Ps + AO[r, s],

Пусть, далее, ?d,q = U + F , где F — диагональ в AO[1, d] ? AO[d + 1, 2d] ? · · · ?
?
AO[(q ? 1)d + 1, qd], а U — коммутативная алгебра, имеющая базис

G1 + ?1 P1 + ?1 P(q?1)d+1 , . . . , Gd + ?1 Pd + ?1 Pqd ,
Gd+1 + ?2 Pd+1 + ?2 P(q?1)d+1 , . . . , G2d + ?2 P2d + ?1 Pqd ,
······················································
144 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

G(q?2)d+1 + ?q?1 P(q?2)d+1 + ?q?1 P(q?1)d+1 , . . . ,
G(q?1)d + ?q?1 P(q?1)d + ?q?1 Pqd ,
0 ? ?1 < ?2 < · · · < ?q?1 , ?1 > 0, ?2 > 0, . . . , ?q?1 > 0.
Лемма 6. Если L — нерасщепляемая подалгебра алгебры N и ?(L) = D ? J0n ,
то L сопряжена с алгеброй L , для которой ?(L ) = D + J0n , или с одной из
алгебр
L16 = (?d,q ? AE[dq + 1, n ? 1]) + D ? J0n , d = 2, n ? 5;
?
L17 = (?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? ?(d1 + 1, d2 , ?2 ) ? . . . ? ?(dt?1 + 1, dt , ?t ) ?
? AO[dt + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) + D ? J0n ,
?
где d0 = 0, ?1 < ?2 < · · · < ?t , t > 1, m = 1, . . . , n ? 2, n ? 3;
L18 = (?d,q ? ?(dq + 1, l1 , µ1 ) ? ?(l1 + 1, l2 , µ2 ) ? · · ·
· · · ? ?(lt?1 + 1, lt , µt ) ? AE[lt + 1, n ? 1]) + D ? J0n ,
?
где µ1 < µ2 < · · · < µt , t ? 1, l0 = dq.
?
Доказательство. В силу теоремы IV.3.4 [6] алгебра L, сопряжена с алгеброй U +
F , где U ? V [1, n?1]+W [1, n?1] (как пространство), а F ? AO(n?1)? D?J0n , T ,
причем если проекция L, на T является ненулевой, то [T, U ] ? U . Посколь-
ку [T, Ga ] = 2Pa , [Pa , Ga ] = M и M ? L, то в последнем случае проекция U
на V [1, n ? 1] является нулевой. Но тогда применим O[1, n]-автоморфизм алге-
?
бры AP (1, n), соответствующий матрице diag [?1, 1, . . . , 1], который преобразует
?J0n , M . Поэтому можно предполагать, что проекция L на T является нуле-
вой.
Согласно лемме 1 L = K + D?J0n +X , где X ? AO(n?1), а K — максималь-
?
?
ная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AG(0, n ? 1). Последнее обстоятельство по-
зволяет воспользоваться перечнем таких подалгебр, приведенным в теореме 1 [7].
Учитывая, что [D ? J0n , K] ? K, нетрудно получить, что L, сопряжена с одной из
алгебр L16 , L17 , L18 . Лемма доказана.
?
Теорема. Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n), имеющие
ненулевую проекцию на D и не содержащие P0 и P0 + Pn , исчерпываются
?
с точностью до P (1, n)-сопряженности алгебрами L1 , . . . , L18 , описанными в
леммах 2–6.
4. Редукция по подалгебрам, не содержащим P0 и P0 + Pn . Подалгебра
Lj , j = 1, . . . , 18, имеет полную систему инвариантов вида ?1 (x), ?2 (x), uf (x)?1 .
Поэтому для каждой из этих подалгебр анзац (2) удобно представить в виде [1, 2,
6]
(3)
u = f (x)?(?1 , ?2 ),
где ? — неизвестная функция. Легко видеть, что
2u = ?2f + 2?1 (?f ??1 ) + 2?2 (?f ??2 ) + f {?11 (??1 ??1 ) +
(4)
+ 2?12 (??1 ??2 ) + ?22 (??2 ??2 ) + ?1 2?1 + ?2 2?2 },
где
?2? ?2? ?2? ?? ??
?11 = 2, ?12 = , ?22 = 2, ?1 = , ?2 = ,
??1 ??1 ??2 ??2 ??1 ??2
Редукция многомерного уравнения Даламбера к двумерным уравнениям 145

?g ?h ?g ?h ?g ?h
?g?h = ? ? ··· ? .
?x0 ?x0 ?x1 ?x1 ?xn ?xn

Редукцию уравнения (1) удобно проводить с использованием формулы (4), по-
скольку она сводит нахождение 2u к менее громоздким вычислениям производных
от функций f , ?1 , ?2 .
Редуцированное уравнение, соответствующее анзацу (3), имеет вид

a11 (x)?11 + a12 (x)?12 + a22 (x)?22 + b1 (x)?1 + b2 (x)?2 + c(x, ?) = 0.

Ниже для каждой подалгебры Lj , j = 1, . . . , 18 указываем соответствующие ей
функции f , ?1 , ?2 , a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c.
1. Алгебра L1 :

f (x) = (x2 2 1/(1?k)
m+1 + xq ) ,
x2 + · · · + x2
x2 ? x2 ? · · · ? x2 m
?2 = d+1
?1 = 0 2 1 d
, ,
xm+1 + · · · + xq xm+1 + · · · + x2
2
2
q
a11 = 4?1 (1 ? ?1 ), a12 = ?8?1 ?2 , a22 = ?4?2 (1 + ?2 ),
2q ? 2m ? (2q ? 2m ? 8)k
b1 = 2(d + 1) + ?1 ,
1?k
2q ? 2m ? (2q ? 2m ? 8)k
b2 = 2(d ? m) + ?2 ,
1?k
2(m ? q) + (2q ? 2m ? 4)k
? + ??k .
c=
(1 ? k) 2


2. Алгебра L2 :

f (x) = (x2 + x2 )1/(1?k) ,
n?1 n
x2 ? x2 ? · · · ? x2
xn
?1 = ? ln(x2 + x2 ) ? 2 arctg m
, ?2 = 0 21 ,
n?1 n 2
xn?1 xn?1 + xn
a11 = 4(?2 + 1), a12 = ?8??2 , a22 = 4?2 (?2 ? 1),
8? 4(k + 1) 4
?2 ? 2m ? 2, c = ? ? ??k .
b1 = , b2 =
1?k k?1 (1 ? k)2


3. Алгебра L3 :

x2 + · · · + x2
+ ··· + m
?1 = 1
(x2 x2 )1/(1?k) ,
f (x) = ,
1 m 2
x0
m+1 + · · · + xq
x2 2
a11 = 4?1 (?2 ? 1),
2 2
?2 = , a12 = 8?1 ?2 ,
x2
0
8?1
a22 = 4?2 (?2 ? 1), b1 = ? + (6?1 ? 2m)?1 ,
2
1?k
?2m + 2(m ? 2)k
b2 = (6?2 ? 2q + 2m)?2 , ? + ??k .
c=
(1 ? k)2


4. Алгебра L4 :

f (x) = (x2 + x2 )1/(1?k) ,
n?2 n?1
146 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

xn?1
?1 = 2 ln(x0 ? xn ) ? (1 + ?) ln(x2 + x2 ) ? 2c arctg ,
n?2 n?1
xn?2
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
m n
0 1
a11 = 4[c2 + (1 + ?)2 ],
?2 = ,
2 2
xn?2 + xn?1
8(1 + ?)
a12 = 8[(1 + ?)?2 ? 1], a22 = 4?2 (?2 ? 1), b1 = ,
k?1
4(k + 1)?2 ? (2m + 4)(k ? 1) 4
? ? ??k .
b2 = , c=
k?1 (k ? 1)2


5. Алгебра L5 :

m+1 + · · · + xq
x2 2

<< Предыдущая

стр. 34
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>