<< Предыдущая

стр. 36
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? ??k .
c=
(1 ? k)2


18. Алгебра L18 :
q?1
1
(x2 2
f (x) = (i?1)d+1 + . . . + xid ) +
x0 ? xn + ?i
i=1
Редукция многомерного уравнения Даламбера к двумерным уравнениям 149

1/(1?k)
t
1
(x2r?1 + . . . + x2r ) ? (x0 ? xn )
+ ,
x0 ? xn + µr l l
i=1
y1 + y2 + · · · + yd
2 2 2
?1 = x0 ? xn , ?2 = ,
f (x)1/(1?k)
где
q?1
?i x(i?1)d+j
? x(q?1)d+j ,
yj = j = 1, . . . , d,
x0 ? xn + ?i
i=1
q?1
?2 4
i
a11 = 0, a12 = 4, a22 = 1 + ?2 , b1 = ,
1?k
(?1 + ?i )2
i=1
q?1 t
?2 ? ?2 (?1 + ?i ) (lr ? lr?1 )?2
?2
i
b2 = 2d + 2d ,
(?1 + ?i )2 ?1 + µr
r=1
i=1
q?1 t
lr ? lr?1
2d 1 2
? ? ??k .
c= +
1?k 1?k
?i + ?i ?1 + µr
i=1 i=1

5. Редукция по подалгебрам, содержащим P0 или P0 + Pn . В настоящем
пункте проведем редукцию уравнения (1) к дифференциальным уравнениям с дву-
?
мя инвариантными переменными, используя подалгебры алгебры AP (1, n), содер-
жащие P0 или P0 + Pn .
?
Пусть L — некоторая подалгебра алгебры AP (1, n). Если P0 ? L, то любое
решение u = u(x) уравнения (1), инвариантное относительно L, не зависит от x0
и потому является решением уравнения
?2u + ?uk = 0 (5)
евклидовом пространстве En , где
?2u ?2u
2u = + ··· + 2 . (6)
?x2 ?xn
1
?
Уравнение (5) инвариантно относительно расширенной алгебры Евклида AE(n)
?
= P1 , . . . , Pn , J12 , . . . Jn?1,n + D1 , генераторы которой имеют вид
2
Jab = xb ?a ? xa ?b , D1 = ?xa ?a +
Pa = ?a , u?u , a, b = 1, . . . , n.
k?1
Аналогично, если P0 + Pn ? L, то любое решение уравнения (1), инвариантно
относительно L, имеет вид u = u(x0 ? xn , x1 , . . . , xn?1 ) и потому является реше-
нием уравнения (5) в евклидовом пространстве En?1 . Поэтому в рассматриваемых
случаях для редукции уравнения (5), а значит, и уравнения (1) к двумерным
уравнениям достаточно классифицировать максимальные подалгебры ранга n ? 2
?
алгебры AE(n), имеющие ненулевую проекцию на D1 .
?
Теорема 2. Максимальные подалгебры ранга n ? 2 алгебры AE(n) имеющие
?
ненулевую проекцию на D1 , исчерпываются с точностью до E(n)-сопряжен-
ности следующими алгебрами:
L19 = (AO[1, d] ? AO[d + 1, m] ? AO[m + 1, q] ? AE[q + 1, n]) + D1 , ?
d = 1, . . . , n ? 2, q = d + 1, . . . , n ? 1, m = q + 1, . . . , n, n ? 3;
150 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

L20 = (AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) + D1 + ?Jn?1,n ,
?
m = 1, . . . , n ? 2, n ? 3, ? > 0;
L21 = (K ? AE[m + 1, n ? 2]) + D1 + ?J ,
?
d
где K — диагональ в AO[1, d] ? AO[d + 1, 2d], J = Ja,a+d , d = 2, . . . , [n/2],
a=1
m = 2d + 1, . . . , 2[n/2], ? ? 0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Подалгебрам L20 , L21 соответствуют следующие анзацы и редуцированные
уравнения.
1. Алгебра L20 :
x2 + · · · + x2
+ ··· + ?1 = 2 1
(x2 x2 )1/(1?k) , d
f (x) = ,
xm+1 + · · · + x2
1 d
q
x2 + · · · + x2m
?2 = d+1 a11 = 4?1 (1 ? ?1 ), a12 = ?8?1 ?2 ,
,
xm+1 + · · · + x2
2
q
2q ? 2m ? (2q ? 2m ? 8)k
a22 = ?4?2 (1 + ?2 ), b1 = 2(d + 1) + ?1 ,
1?k
2q ? 2m ? (2q ? 2m ? 8)k
b2 = 2(d ? m) + ?2 ,
1?k
2(m ? q) + (2q ? 2m ? 4)k
? + ??k .
c=
(1 ? k)2

2. Алгебра L21 :
xn
?1 = ? ln(x2 + x2 ) ? 2 arctg
f (x) = (x2 + x2 )1/(1?k) , ,
n?1 n n?1 n
xn?1
x2 + · · · + x2
, a11 = 4(?2 + 1), a12 = ?8??2 , a22 = ?4?2 (?2 ? 1),
m
?2 = 1 2 2
xn?1 + xn
8? 4(k + 1) 4
?2 ? 2m ? 2, c = ? ? ??k .
b1 = , b2 =
1?k k?1 (1 ? k)2

1. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solution of the nonlinear multi-di-
mensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A.: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
3645–3656.
2. Fushchych W., Sthelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of nonli-
near mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Publ., 1993.
3. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically equati-
ons, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
4. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений. I, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 11, 1552–1559.
5. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений, II, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 12, 1693–1700.
6. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 304 с.
7. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Фущич В.И., Редукция многомерного пуанкаре-инвариантного
нелинейного уравнения к двумерным уравнениям, Укр. мат. журн., 1991, 43, № 10, 1311–1323.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 151–164.

Q-symmetry generators and exact solutions
for nonlinear heat conduction
?
N. EULER, A. KOHLER, W.I. FUSHCHYCH
We investigate conditional invariance by considering Q-symmetry generators of the
nonlinear heat equation ?u/?x0 ? ?? 2 u/?x2 = f (u), where ? is a real constant and
1
f an arbitrary differentiable function. With the obtained Q-generators we construct
exact solutions by the use of similarity ansatze and reductions to ordinary differential
equations. A generalization to m-space dimensions is performed.

1. Introduction
Most nonlinear partial differential equations are not integrable and cannot be
treated via the inverse scattering transform, nor its generalization. Such equations
are mostly treated by numerical methods. Interesting qualitative and quantitative
features are however often missed in this manner and it is of great value to be
able to obtain exact analytic solutions of nonintegrable equations. The application
of Lie transformation groups, whereby a transformation is obtained that leaves the
differential equation invariant, is useful in finding exact solutions (see [1–8]). If an
equation is invariant under some Lie transformation group, the equation is said to
have a symmetry. It is known that the integrability and the existence of symmetries
is connected. This was studied in connection with the Painlev? test (see [1–3]). Many
e
important nonintegrable partial differential equations have no significant symmetries.
In this article we consider conditional symmetries of partial differential equations as
introduced in [9–13]. We make use of these conditional symmetries to obtain exact
solutions. The following equation is studied:
?2u
?u
? ? 2 = f (u), (1)
?x0 ?x1
where x0 indicates time, ? is a real constant, and f an arbitrary differentiable function.
For nonlinear functions f this equation plays an important role in nonlinear heat
transfer processes.
Before we consider conditional symmetries of (1), let us briefly describe the classi-
cal Lie approach and introduce our notation [1]. We are concerned with a partial
differential equation of order r with m + 1 independent variables (x0 , x1 , . . . , xm ) and
one field variable u, i.e. an equation of the form
?ru
?u
(2)
F x0 , . . . , xm , u, ,..., = 0,
?xj1 · · · ?xjr
?x0
where 0 ? j1 ? j2 ? · · · ? jr ? m, j = 0, . . . , m. The submanifold Rr of the r-jet
bundle J r (M, 1) is determined by the constrained equation

(3)
F (x0 , . . . , xm , u, u0 , . . . , uj1 ···jr ) = 0,
Physica Scripta, 1994, 49, P. 518–524.
152 N. Euler, A. K?hler, W.I. Fushchych
o

where the dimension of the differential manifold M is m. A Lie transformation group
that leaves (3) invariant is generated by a Lie (point) symmetry generator Z, defined
by
m
? ?
(4)
Z= ?j (x0 , . . . , xm , u) + ?(x0 , . . . , xm , u) .
?xj ?u
j=0

Zv is the associated vertical form of (4) on J 1 (M, 1), defined by
? ?
m
?
Zv = ?? ? ?j uj ? (5)
,
?u
j=0

where Zv ? = Z ?. Here ? is a differential 1-form, called the contact form on
J 1 (M, 1), defined by
m
? = du ? uj dxj
j=0

with js? ? = 0. Here js? denotes the pull-back map. Equation (3) is called invariant
?
under the prolonged Lie symmetry generator Zv if
(6)
LZv F = 0,
?
?

where = indicates the restriction to solutions of (3) and its prolongations. L denotes
?
?
the Lie derivative. Zv is found by prolonging the vertical generator Zv , i.e.,
m m
? ? ?
? + ··· + + ···,
Zv = U = Dj (U ) Dj1 ···jr (U )
?u ?uj ?uj1 ···jr
j=0 j 1 ,...,jr =0


where
m
U =?? ?j uj ? Zv ?
j=0

and Dj is the total derivative operator. A similarity ansatz for (2) is obtained by
solving the linear partial differential equation

<< Предыдущая

стр. 36
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>