<< Предыдущая

стр. 40
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3. Steeb W.-H., Euler N., Nonlinear evolution equations and Painlev? test, Singaporte, World Scientific
e
Publishing, 1988.
4. Ovsiannikov L.V., Group analysis of differential equations, translation from Russian (edited by
W.F. Ames), New York, Academic Press, 1982.
5. Olver P.J., Applications of Lie groups to differential equations, New York, Springer, 1986.
6. Fushchych W.I., Nikitin, A.G., Symmetries of Maxwell equations, Dordrecht, D. Reidel, 1987.
7. Bluman G.W., Kumei S., Symmetries and differential equations, Applied Mathematical Sciences,
Vol. 81, New York, Springer, 1989.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Kluwer Academic Publishers, 1993.
9. Fushchych W.I., in Symmetry and Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics, Kyiv,
Inst. Math., 1987, 4–16 (in Russian).
10. Fushchych W.I., Ukr. Mat. Zh., 1987, 39, 116.
11. Fushchych W.I., Serov N.I., Chopyk V.I., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, Ser. A, 1988, № 9, 17.
12. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, Ser. A, 1988, № 10, 27.
13. Fushchych W.I., Serov, N.I., in Symmetry and Solutions of Equations of Mathematical Physics,
Kyiv, Inst. Math., 1989, 95 (in Russian).
14. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, Ser. A, 1990, № 7, 24.
15. Steeb W.-H., Lewien D., Algorithms and computations with REDUCE, Mannheim, B.I. Wissen-
schaftsverlag, 1992.
?
16. Hehl F.W., Winkelmann V., Meyer H., Computer Algebra: Ein Kompakturs uber die Anwendung
von REDUCE, Berlin, Springer, 1992.
17. Euler N., Steeb W.-H., Mulser P., J. Phys. Soc. Jpn., 1991, 60, 1132.
18. Shul’ga M.W., in Group-Theoretical Investigations of the Equations of Mathematical Physics, Kyiv,
Inst. Math, 1985 (in Russian).
19. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Phys. Rep., 1989, 46, 325.
20. Fushchych W.I., Chopyk V.I., Myronyuk P.P., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, Ser. A, 1990, № 9, 25.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 165–172.

Галiлей-iнварiантнi системи
нелiнiйних рiвнянь типу Гамiльтона–Якобi
та реакцiї-дифузiї
В.I. ФУЩИЧ, Р.М. ЧЕРНIГА
All systems of (n + 1)-dimensional evolutional second-order equations invariant under
chain of algebras AG(1, n), AG1 (1, n), AG2 (1, n) are described. The obtained results
are illustrated by the examples of reaction-diffusion equations and Hamilton–Jacobi type
systems.

1. Вiдомо, що система (n + 1)-вимiрних рiвнянь дифузiї (теплопровiдностi)
(1.a)
?1 Ut = ?U,

(1.b)
?2 Vt = ?U,

де U (t, x), V (t, x) — шуканi дiйснi функцiї, Ut = ?U , Vt = ?V , x = (x1 , . . . , xn ),
?t ?t
iнварiантна вiдносно узагальненої алгебри Галiлея AG2 (1, n) з базою
(2.a)
P t = ?t , Pa = ?a ,
1
Ga = tPa ? xa Q? , Jab = xa Pb ? xb Pa , (2.b)
Q? ,
2
(2.c)
D = 2tPt + xa Pa + I? ,

|x|2 n
? = t2 Pt + txa Pa ? ?k = ? . (2.d)
Q? + tI? ,
4 2
У спiввiдношеннях (2) i скрiзь далi I? = ?1 U ?U +?2 V ?V , Q? = ?1 U ?U +?2 V ?V ,
?U = ?U , ?V = ?V , ?t = ?t , ?a = ?xa , ?k , ?k ? R1 , а за iндексами a i b, що
? ? ? ?

повторюються, передбачається сумування вiд 1 до n; k = 1, 2.
Алгебра утворена операторами (2a)–(2b) називається алгеброю Галiлея, а її
розширення за допомогою оператора (2c) позначимо AG1 (1, n).
Очевидно, що одиничнi оператори Q? i I? є лiнiйно залежними лише у випадку
?1 ?2
= 0. У зв’язку з цим одержуємо два випадки принципово рiзних
?=
?1 ?2
представлень алгебр AG1 (1, n) та AG2 (1, n) при ? = 0 i ? = 0, чого не було
у випадку одного рiвняння дифузiї (iнварiантнiсть нелiнiйного рiвняння дифузiї
вiдносно низки пiдалгебр алгебри AG2 (1, n) дослiджена в [1]).
Зазначимо, що у випадку,коли система рiвнянь (1) є парою комплексно спря-
жених рiвнянь Шрьодiнгера, тобто U = V ? , ?1 = ?? = i, оператори Q? i I? лiнiйно
2
незалежнi. Це приводить до того, що нелiнiйнi узагальнення рiвняння Шрьодiн-
гера, якi повнiстю зберiгають його симетрiю [2], принципово вiдрiзняються вiд
нелiнiйних узагальнень системи рiвнянь дифузiї (1) при ? = 0.
Доповiдi НАН України, 1994, № 3, P. 31–37.
166 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

Розглянемо систему щонайможливiших квазiлiнiйних узагальнень системи рiв-
нянь (СР) дифузiї (1) вигляду

(3.a)
?1 Ut = Aab Uab + Cab Vab + B1 ,

(3.b)
?2 Vt = Dab Uab + Eab Vab + B2 ,

де Aab , Cab , Dab , Eab , B1 , B2 — довiльнi дiйснi неперервно диференцiйованi фун-
кцiї вiд (2n + 2) змiнних U , V , U1 , . . . , Un , V1 , . . . , Vn . Iндекси a = 1, . . . , n та
b = 1, . . . , n бiля функцiй U i V означають диференцiювання за xa та xb .
СР (3) узагальнює практично всi вiдомi нелiнiйнi системи еволюцiйних рiвнянь
першого i другого порядкiв, якими описуються найрiзноманiтнiшi процеси у фiзи-
цi, хiмiї, бiологiї (досить згадати процеси тепломасопереносу, фiльтрацiї двофазної
рiдини, дифузiї при хiмiчних реакцiях, динамiки руху популяцiй, тощо) [3, 4].
У пропонованiй роботi описанi всi системи еволюцiйних рiвнянь (3), якi iн-
варiантнi вiдносно ланцюжка алгебр AG(1, n) ? AG1 (1, n) ? AG2 (1, n), та про-
iлюстровано одержанi вислiди на прикладах СР реакцiї-дифузiї та систем типу
Гамiльтона–Якобi.
2. В алгебру симетрiй системи рiвнянь дифузiї (1) входять оператори Ga ,
a = 1, . . . , n, якi є диферецiйним вираженням справедливостi принципу вiдно-
сностi Галiлея для них. Також вiдомо [1], що оператори Галiлея тiсно пов’язанi з
фундаментальним розв’язком рiвняння дифузiї. У цьому зв’язку логiчним вигля-
дає пошук у класi систем рiвнянь (3) галiлей-iнварiантних нелiнiйних узагальнень
системи (1).
Теорема 1. Система нелiнiйних рiвнянь (3) iнварiантна вiдносно алгебри Галi-
лея з представленням (2а), (2b) тодi i тiльки тодi,коли вона має вигляд

?1 Ut = ?U + U [A1 ?(ln U ) + C1 ?(ln V ) + B1 ] +
+ U?a ?b [A2 (ln U )ab + C2 (ln V )ab ],
(4)
?2 Vt = ?V + V [D1 ?(ln U ) + E1 ?(ln V ) + B2 ] +
+ V?a ?b [D2 (ln U )ab + E2 (ln V )ab ],

? 2 (ln U )
? (?2 Ua /U ? ?1 Va /V )?, ? = U ?2 · V ??1 , (ln U )ab =
??
де ?a = ?xa ?xb , (ln V )ab =
?xa
2
? (ln V )
?xa ?xb ,
а Ak , Bk , Ck , Dk , Ek — довiльнi функцiї вiд абсолютних iнварiантiв
AG(1, n) ? i ? = ?a ?a , k = 1, 2.
Доведення теореми, як i наступних теорем, грунтується на класичнiй схемi
Лi, реалiзацiя якої для знаходження ґалiлей-iнварiантних систем наведена в [5].
Оскiльки викладки досить громiздкi, то тут вони опущенi.
Зазначимо, що у випадку ?1 = 0, тобто перше рiвняння системи (3) елiптичне,
абсолютнi iнварiанти алгебри Ґалiлея значно спрощуються, а саме ? = U , ? =
Ua Ua .
При побудовi СР вигляду (3) якi володiють AG1 (1, n)- та AG2 (1, n)-iнварiант-
нiстю, структура таких систем суттєво залежить вiд визначника ?.
Теорема 2. Нелiнiйна СР (3) iнварiантна вiдносно алгебри AG1 (1, n) з базовими
операторами (2a)–(2c) тодi i тiльки тодi коли вона має вигляд
Галiлей-iнварiантнi системи нелiнiйних рiвнянь 167

1. Випадок ? = 0

?1 Ut = ?U + U [A1 (?)?(ln U ) + A2 (?)?(ln V ) + ? ?2/? B1 (?)] +
? ? ?
? ?
+ U ? 2/??2 ?a ?b [C1 (?)(ln U )ab + C2 (?)(ln V )ab ],
(5)
?2 Vt = ?V + V [D1 (?)?(ln U ) + D2 (?)?(ln V ) + ? ?2/? B2 (?)] +
? ? ?
? ?
+ V ? 2/??2 ?a ?b [E1 (?)(ln U )ab + E2 (?)(ln V )ab ].

2. Випадок ? = 0
?1 Ut = ?U + U [A1 (?)?(ln U ) + A2 (?)?(ln V ) + ?a ?a B1 (?)] +
?a ? b
+U [C1 (?)(ln U )ab + C2 (?)(ln V )ab ],
?a1 ?a1
(6)
?2 Ut = ?V + V [D1 (?)?(ln U ) + D2 (?)?(ln V ) + ?a ?a B2 (?)] +
?a ? b
+V [E1 (?)(ln U )ab + E2 (?)(ln V )ab ],
?a1 ?a1

?
де Ak , Bk , Ck , Dk , Ek — довiльнi функцiї, k = 1, 2, ? = ?a ?a ? 2/??2 — абсолю-
тний диференцiйний iнварiант першого порядку алгебри (див. теорему 1).
У випадку виродження першого рiвняння СР (3) в елiптичне (?1 = 0) абсолютнi
iнварiанти в системах (5), (6) спрощуються i ? = Ua Ua U 2/?1 ?2 при ? = 0, ? = U
?
при ? = 0.
Теорема 3. У класi СР (3) алгебру iнварiантностi AG2 (1, n) рiвнянь (3) зберi-
гають тiльки такi, якi мають вигляд
1. Випадок ? = 0

?1 Ut = ??U + U A(?)[?2 ?(ln U ) ? ?1 ?(ln V )] + U ? ?2/? B1 (?) +
? ?
?
Ua Ua ?
+ (1 ? ?1 ) + U ? 2/??2 ?a ?b C(?)[?2 (ln U )ab ? ?1 (ln V )ab ],
?
U (7)
?1 Vt = ?2 ?V + V D(?)[?2 ?(ln U ) ? ?1 ?(ln V )] + V ? ?2/? B2 (?) +
? ?
?
Va Va ?
+ (1 ? ?2 ) + V ? 2/??2 ?a ?b E(?)[?2 (ln U )ab ? ?1 (ln V )ab ].
?
V
2. Випадок ? = 0
?1 Ut = ?1 ?U + U A(?)[?2 ?(ln U ) ? ?1 ?(ln V )] + U ?a ?a B1 (?) +
?
Ua Ua ?a ?b
+ (1 ? ?1 ) C(?)[?2 (ln U )ab ? ?1 (ln V )ab ],
? +U
U ??1 ?a1
(8)
?2 Vt = ?2 ?V + V D(?)[?2 ?(ln U ) ? ?1 ?(ln V )] + V ?a ?a B2 (?) +
?
Va Va ?a ?b
+ (1 ? ?2 ) E(?)[?2 (ln U )ab ? ?1 (ln V )ab ],
? +V
V ?a1 ?a1

де A, B1 , B2 , C, D, E — довiльнi функцiї, ?k = ?2?k /n, k = 1, 2 (?k — див.
?
оператор I? ), a1 = 1, 2, . . . , n.
Можна помiтити, що у випадку ?1 · ?2 = 0 СР (7) i (8) локальною замiною
U > U ?1 , V > V ?2 зводяться до систем такої ж структури, але з ?k = 1, тобто
? ?
?
?k = ?n/2. Випадок ?1 = ?2 = 0 — особливий i нище буде розглянутий.
?
168 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

Одержанi класи AG2 (1, n)-iнварiантних СР (7) i (8) мiстять, зокрема, такi не-
лiнiйнi узагальнення СР (1) як
?1 Ut = ?U + e1 U ?(ln ?) + e2 U ? 2/??2 ?a ?b (ln ?)ab ,
?2 Vt = ?V + e3 V ?(ln ?) + e4 V ? 2/??2 ?a ?b (ln ?)ab , ?=0
та
?1 Ut = ?U + e1 U ?(ln ?) + e2 U ?a ?a ? ?2 ,
?2 Vt = ?V + e3 V ?(ln ?) + e4 V ?a ?a ? ?2 , ? = 0,
де e1 , e2 , e3 , e4 , ?1 , ?2 ? R, (ln ?)ab = ?2 (ln U )ab ? ?1 (ln V )ab .
У випадку виродження першого рiвняння системи (3) в елiптичне (?1 = 0)
AG2 (1, n)-iнварiантними є тiльки СР вигляду

? Ua Ub Uab + U 1?2/?1 B1 (?) +
? ?
0 = A1 (?)?U + A2 (?)
Ua1 Ua1
Ua Ub
(ln V )ab , ? = Ua Ua U 2/?1 ?2 ,
? ?
+ U C(?) ?(ln V ) ?
Ua1 Ua1
(9)
V Ua Ub
? ?
?2 Vt = ?2 ?V +
? D1 (?)?U + D2 (?) Uab +
U Ua1 Ua1
Va Va Ua Ub
+ V U ?2/?1 B2 (?) + (1 ? ?2 )
? ?
+ V E(?) ?(ln V ) ?
? (ln V )ab ,
V Ua1 Ua1
якщо ? = 0 та
Ua Ub
0 = A1 (U )?U + A2 (U ) Uab + Ua Ua B(U ) +
Ua1 Ua1
Ua Ub
+ C(U ) ?(ln V ) ? (ln V )ab ,
Ua1 Ua1
(10)
Ua Ub
?2 Vt = ?2 ?V + V D1 (U )?U + D2 (U )
? Uab +
Ua1 Ua1
Va Va Ua Ub
+ V Ua Ua B2 (U ) + (1 ? ?2 ) + V E(U ) ?(ln V ) ?
? (ln V )ab ,
V Ua1 Ua1
якщо ? = 0. У формулах (9), (10) Ak , Bk , Dk , E, C — довiльнi функцiї, ?2 =
?
?2?2 /n.
В роботi [6] показано,що iнтегрування двовимiрних СР вигляду (9), (10) зво-

<< Предыдущая

стр. 40
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>