<< Предыдущая

стр. 41
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

диться до iнтегрування лiнiйного рiвняння дифузiї з джерелом.
Зауваження 1. Одержанi вище теореми 1–3 справедливi i для випадку СР (3)
з комплексними функцiями, тому вони є нетривiальним узагальненням вислiдiв
роботи [6] на багатовимiрний випадок.
Зауваження 2. Для запису всiх побудованих вище галiлей-iнварiантних СР можна
скористатися тотожностями
Uab Ua Ub Vab Va Vb
? ?
(ln U )ab = , (ln V )ab = .
U2 V2
U V
Такий запис, очевидно, буде корисним при фiзичному iнтерпретуваннi одержаних
СР.
Галiлей-iнварiантнi системи нелiнiйних рiвнянь 169

? ?
3. Звернемо увагу на те, що локальна замiна U = M (U ), V = N (V ), де M , N
— довiльнi диференцiйованi функцiї, зводить будь-яку СР з симетрiєю AG(1, n),
AG1 (1, n) чи AG2 (1, n) до локально-еквiвалентної системи з такою ж симетрiєю,
але з iншим представленням операторiв Q? i I? , а саме:
?1 ?1
dM ? dN ?
?
Q? = ?1 M + ?2 N ,
? ? ? ?
dU dU dV ?V
?1 ?1
dM ? dN ?
?
I? = ?1 M + ?2 N .
? ? ? ?
dU dU dV ?V
Зокрема, у випадку M = exp U , N = exp V одержуємо
? ? ? ?
? ? (11)
Q? = ?1 + ?2 , I? = ?1 + ?2 .
? ? ? ?
?U ?V ?U ?V
В цьому випадку клас СР, iнварiантних вiдносно алгебри AG2 (1, n) з представ-
ленням (2), (11), у випадку ? = 0 має вигляд
? ? ? ? ??
?1 Ut = ?1 ?U + A(? )(?2 ?U ? ?1 ?V ) + Ua Ua + ?a ?a B1 (? ) +
? ?? ?
?a ? b
?? ? ?
(?2 Uab ? ?1 Vab ),
+ C(? )
?
?a1 ?a1
??
(12)
? ? ? ? ??
?2 Vt = ?2 ?V + D(? )(?2 ?U ? ?1 ?V ) + Va Va + ?a ?a B2 (? ) +
? ?? ?
?a ? b
?? ? ?
(?2 Uab ? ?1 Vab ),
+ E(? )
?
?a1 ?a1
??
де ? = ?2 U ? ?1 V , ?a = ?2 Ua ? ?1 Va .
? ?
У випадку ?1 = ?2 = 0, A = B = C = D = E = 0 СР (12) зводиться до систем
вигляду (нижче знак опущено)

?1 Ut = Ua Ua + B1 (?)?a ?a ,
(13)
?2 Vt = Va Va + B2 (?)?a ?a , ?1 · ?2 = 0.

СР (13) природньо назвати узагальненням незачепленої СР Гамiльтона–Якобi (Г–
Я)

?1 Ut = Ua Ua ,
(14)
?2 Vt = Va Va .

На вiдмiну вiд симетрiї одного рiвняння Г–Я [7, 8] локальна симетрiя СР
(14) вичерпується алгеброю AG2 (1, n) (2), (11) при ?1 = ?2 = 0 з додатковими
операторами

D1 = ?t?t + U ?U + V ?V . (15)
PV = ?V ,

Таким чином, СР (13) вичерпуються всi нелiнiйнi узагальнення вигляду

?1 Ut = Ua Ua + B1 (U, V, U1 , . . . , Un , V1 , . . . , Vn ),
(16)
?2 Vt = Va Va + B2 (U, V, U1 , . . . , Un , V1 , . . . , Vn )

системи Г–Я, якi зберiгають її симетрiю AG2 (1, n).
170 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

У випадку B1 = 0 симетрiя СР (13) розширюється за допомогою операторiв
??
? ? = ?2 /(1 + ?2 ),
PV = B2 ?V , 1 1
?2 ?? ?
?
D1 = ?t?t + U ?U + U ? B2 B2 d? ?V .
?1

Аналогiчнi додатковi оператори з’являються в алгебрi симетрiй СР (13) i при
деяких конкретних функцiях B1 B2 = 0. Зокрема, для B1 = ?1/?2 одержуємо
1
AG2 (1, n)-iнварiантну систему

?1 2
Ut = ? Va Va + Ua Va ,
?2 ?2
2
?2 2
Vt = ? 2 Ua Ua + Ua Va
?1 ?1

з додатковими операторами (15).
Виявляється, серед нелiнiйних узагальнень системи Г–Я (13) iснує СР з унi-
кальними симетрiйними властивостями, а саме, при B1 = B2 = ?1/?2 (нижче
1
?1 = 1, ?2 = ?).
Теорема 4. Максимальна (в розумiннi Лi) алгебра iнварiантностi СР

Ut = Ua Ua ,
(17)
Vt = ??Ua Ua + 2Ua Va

породжується базовими операторами

Jab , Q? = ??U ? ?V , X = W (?U ? V )?V ,
Pt , Pa ,
1
Ga = tPa ? xa Q? , D = 2tPt + xa Pa ,
2
|x|2 1
? = t2 Pt + txa Pa ? Q? , G1 = U Pa ? xa Pt ,
a (18)
4 2
|x|2
D1 = 2U ?U + xa Pa , ?1 = U ?U + U xa Pa ?
2
Pt ,
4
12
Ka = xa tPt ? |x| + 2tU Pa + xa xb Pb + xa U Q? ,
2

де W — довiльна диференцiйована функцiя.
Зазначимо, що наявнiсть в алгебрi iнварiантностi СР (17) оператора X з довiль-
ною функцiєю W є природньою, оскiльки друге рiвняння системи лiнiйне вiдносно
функцiї V . Значно цiкавiшим є те, що СР (17) можна вважати узагальненням кла-
сичного рiвняння Г–Я на випадок двох шуканих функцiй, адже оператори (18) при
W = 1 породжують таку ж алгебру, що й рiвняння Г–Я. Вважаємо,що це дуже
важливий факт, оскiльки тривiальне узагальнення згаданого рiвняння до СР (14)
не зберiгає симетрiю рiвняння Г–Я.
4. Розглянемо нелiнiйну систему еволюцiйних рiвнянь вигляду

?1 Ut = ?U + f (U, V ),
(19)
?2 Vt = ?V + g(U, V ),
Галiлей-iнварiантнi системи нелiнiйних рiвнянь 171

де f , g — довiльнi диференцiйованi функцiї. Системи рiвнянь реакцiї дифузiї
вигляду (21) в останнiй час iнтенсивно дослiджуються (див., напр. [3, 9]). Як ви-
пливає з теорем 1–3, клас СР (19) мiстить системи з широкою симетрiєю. Зокрема,
iнварiантними вiдносно алгебри Галiлея будуть всi СР рiвнянь вигляду

?1 Ut = ?U + U f (?),
(20)
? = U ?2 · V ??1 .
?2 Vt = ?V + V g(?),

У випадку f = ?1 ? ?2/? , g = ?2 ? ?2/? , ?k ? R матимемо iнварiантнiсть вiдносно
алгебри AG1 (1, n). Нарештi при ? = n (?1 ? ?2 ), тобто ?1 = ? = ?n/2, одержуємо
2

?1 Ut = ?U + ?1 U 1+?2 ? V ??1 ? ,
?2 Vt = ?V + ?2 U ?2 ? V 1??1 ? ,

де ? = 4/n/(?2 ? ?1 ), ?1 = ?2 , ?k ? R, яка зберiгає AG2 (1, n) симетрiю лiнiйної
СР (1).
Зауваження 3. Дифузiйна СР (18) при ?1 = ??2 = ? замiною

V = Y ? Z, (21)
U = Y + Z, Y = Y (t, x), Z = Z(t, x)

зводиться до СР
?Y ?
? = ?Z + f (Y, Z),
?t
?Z
? = ?Y + g (Y, Z),
?
?t
iнварiантнiсть якої вiдносно ланцюжка алгебр AG(1, n) ? AG1 (1, n) ? AG2 (1, n)
? ?
з одиничним оператором Q? = ? Y ?Z + Z ?Y описується шляхом застосування
замiни (21) до СР вигляду (18) з вiдповiдною симетрiєю.
На закiнчення наведемо ще одну цiкаву систему рiвнянь вигляду (19), а саме

?Ut = ?U + ?1 U 2 /V,
(22)
?k ? R.
?Vt = ?V + ?2 U, ?1 = ?2 ,

Максимальна алгебра iнварiантностi СР (22) є узагальненою алгеброю Галiлея з
базовими операторами (2a), (2b) та
n ?2
D = 2tPt + xa Pa ? 2U ?U ? + Q? ,
?1 ? ?2
2 (23)
|x|2
?
? = tD ? t2 Pt ? Q? ? V? .
?1 ? ?2 U
4
Мiж iншим, серед СР вигляду (18) у випадку ?1 = ?2 = ? не iснує AG2 (1, n)-
iнварiантних зi стандартним представленням (2). Проективний оператор (23) по-
роджує групу скiнченних перетворень

t = t/(1 ? pt), xa = xa /(1 ? pt), p ? R,
?p|x|2 ?2
U U
?
n
?
= (1 ? pt)2+ 2 +? exp ? A(t) , ?= ,
4(1 ? pt) ?1 ? ?2
V V
172 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

?p
1 (1?pt)(?2 ??1 )
де матриця A(t) = не дiагональна, а в перетвореннях генеро-
?2
(1 ? pt)
0
ваних оператором (2d) аналогiчна матриця дiагональна [5].
Деякi класи точних розв’язкiв СР (22) одержано в роботi [10].

1. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential
equations, J. Phys. A.: Math and Gen., 1985, 18, № 18, 3491–3503.
2. Фущич В.И., Чернига Р.М., Галилей-инвариантные нелинейные уравнения шредингеровского
типа и их точные решения. I, Укр. мат. журн., 1989, 41, № 10, 1349–1357.
3. Aris R., The theory of reaction and diffusion in permeable catalysts, Oxford, 1975, 300 p.
4. Вiльгельмссон Г. (Wilhelmsson H.), Коливання та встановлення рiвноваги за умов взаємозв’язку
температури та густини у термоядерних плазмах, Укр. фiз. журн., 1993, 38, № 1, 44–53.
5. Фущич В.И., Чернига Р.М., О точных решениях двух многомерных уравнений шредингеровско-
го типа, Препринт № 87.16, Киев, Ин-т математики, 1987, 44 c.
6. Фущич В.I., Чернiга Р.М., Системи нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого порядку, iнварiан-
тнi вiдносно алгебри Галiлея та її розширень, Доповiдi АН України, 1993, № 8, 44–51.
7. Boyer C.P., Penafiel M.N. Conformal symmetry of the Hamilton–Jacobi equation and quantization,
Nuovo Cim. B, 1976, 31, № 2, 195–210.
8. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
9. Fife P.C., Mathematical aspects of reacting and diffusing systems, Berlin, Springer, 1979, 285 p.
10. Чернига Р.М., О точных решениях одной нелинейной системы диффузионного типа, в сб. Сим-
метрийный анализ и решения уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики, 1988,
49–53.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 173–179.


Симетрiйна редукцiя i деякi точнi розв’язки
рiвняння Монжа–Ампера

В.I. ФУЩИЧ, В.М. ФЕДОРЧУК, О.С. ЛЕЙБОВ

For the Monge–Amper? equation the ansatzes which reduce this equation to differential
e
equation with a less number of the independent variables have been constructed. Some
exact solutions of the equation under investigation have been found.

<< Предыдущая

стр. 41
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>