<< Предыдущая

стр. 42
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



У роботах [1, 2] вивчена симетрiя i на основi спецiальних анзацiв побудованi
класи точних розв’язкiв багатовимiрного рiвняння Монжа–Ампера.
Дана робота присвячена вивченню рiвняння вигляду

(1)
det(uµ? ) = 0,
2
де u = u(x), x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) ? R4 , uµ? ? ?xµ ?x , µ, ? = 0, 1, 2, 3. Результати
?u
?
робiт [1, 2] дають змогу, зокрема, зробити висновок про те, що група iнварiан-
тностi рiвняння (1) мiстить як пiдгрупу узагальнену групу Пуанкаре P (1, 4) —
групу поворотiв та зсувiв п’ятивимiрного простору Мiнковського. Для дослiджен-
ня рiвняння (1) використано пiдгрупову структуру [3–7] групи P (1, 4). На основi
неспряжених пiдгруп групи P (1, 4) побудованi анзаци, якi редукують рiвняння (1)
да диференцiальних рiвнянь iз меншою кiлькiстю незалежних змiнних, проведена
вiдповiдна симетрiйна редукцiя. На основi розв’язкiв редукованих рiвнянь побу-
дованi деякi класи точних розв’язкiв рiвняння Монжа–Ампера.
Нижче виписанi анзаци, якi редукують рiвняння (1) до звичайних диференцi-
альних рiвнянь (ЗДР), одержанi ЗДР та розв’язки рiвняння Монжа–Ампера

u2 = ?2 (?) ? x2 ? x2 ? x2 , ? = x0 ,
1.1. ? = 0,
1 2 3
u = (c1 x0 + c2 ) ? x1 ? x2 ? x2 .
2 2 2
2 3
u2 = ??2 (?) + x2 , ? = (x2 + x2 + x2 )1/2 ,
1.2. ? = 0,
0 1 2 3
u2 = x2 ? (c1 (x2 + x2 + x2 )1/2 + c2 )2 .
0 1 2 3
u = ? (?) + x0 ? x1 ? x2 , ? = x3 , ? = 0,
2 2 2 2 2
1.3.
u2 = x2 ? x2 ? x2 + (c1 x3 + c2 )2 .
0 1 2
u2 = ?2 (?) + x2 ? x2 , ? = (x2 + x2 )1/2 ,
1.4. ? = 0,
0 3 1 2
u2 = x2 ? x2 + (c1 (x2 + x2 )1/2 + c2 )2 .
0 3 1 2
? = (x2 + x2 + x2 ? x2 )1/2 ,
u2 = ?(?),
1.5. ? = 0,
1 2 3 0
u2 = c1 (x2 + x2 + x2 ? x2 )1/2 + c2 .
1 2 3 0


Доповiдi НАН України, 1994, № 1, P. 47–54.
174 В.I. Фущич, В.М. Федорчук, О.С. Лейбов

c
u2 = ?2 (?) + x2 ? x2 ? x2 ,
1.6. ?= x3 + ln(x0 + u),
0 1 2
?
c
? ?2 ? ? ? ? ? ? 3 = 0, x3 + k2 ±
u = k1 exp
?
1/2
2
c
± k1 exp x3 + k2 + x0 ? x2 ? x2 , k1 , k2 , c, ? = const,
1 2
?
c, ? > 0.
u2 = ??2 (?) + x2 ? x2 ? x2 , ? = x3 + ? ln(x0 + u), ? > 0,
1.7. 0 1 2
1 x3
? ?2 ? ? ? ? ? ? 3 = 0, u = k1 exp + k2 ±
? ?
1/2
2
x3
± k1 exp + k2 ? x0 ? x1 ? x2
2 2
, k1 , k2 = const.
?

Анзаци (1.1)–(1.7) можна записати у такому виглядi:

(2)
h(u) = f (x)?(?) + g(x),

де h(u), f (x), g(x) — заданi функцiї; ?(?) — невiдома функцiя; ? = ?(x, u) —
одновимiрнi iнварiанти пiдгруп групи P (1, 4).

12
2x0 ? = ??(?) + x2 + x2 ? x2 , ? ? ? ?? + ? = 0,
2.1 ? = x0 + u,
1 2 3
2
1 1 c1
u = ?x0 ± [(2x0 + c1 )2 + 4c2 (x2 + x2 + x2 )]1/2 ?
1+ .
1 2 3
c2 2c2 2c2
?x2
? 2?x0 = ?(?) ? x2 ? x2 ? x2 + ?x0 , ? = x0 + u, ? > 0,
3
2.2 1 2 3
2?
(2? + ?)2 ? ? 4(2? + ?)? ? 8? = 0,
x2
2(x0 + u) + ?
x2 + x2 ? (x0 + u)x0 ? 3 =
1 2
x0 + u 2
?
= x0 + u + (c1 + c2 (x0 + u)).
2
?x2
+ 2?x0 = ??(?) + x2 + x2 + x2 + ?x0 , ? = x0 + u, ? > 0,
3
2.3 1 2 3
2?
(2? ? ?)2 ? ? 4(2? ? ?)? + 8? = 0,
2(x0 + u) ? ? x2
x1 + x2 ? (x0 + u)x0 ? 3 =
2 2
x0 + u 2
?
= x0 + u ? (c1 + c2 (x0 + u)).
2
2(? 2 ? ?)(? ? x0 ) + ?(x2 + x2 + x2 ) = 2?(?) + x2 + x2 , ? = x0 + u,
2.4 1 2 3 1 2
? (? ? 1) ? ? 2?(2? ? 3? + 1)? + 2(3? ? 3? + 1)? = 0,
2 2 2 2

(x0 + u)x2 x2 x2
? (1 ? (x0 + u)) u(x0 + u) +
3 1
+2=
2 2 2
= (x0 + u)(x0 + u ? 1)(c1 (x0 + u) + c2 ).
2(? 2 + ?)(? ? x0 ) + ?(x2 + x2 + x2 ) = 2?(?) ? (x2 + x2 ),
2.5 ? = x0 + u,
1 2 3 1 2
? 2 (? + 1)2 ? ? 2?(2? 2 + 3? + 1)? + 2(3? 2 + 3? + 1)? = 0,
Симетрiйна редукцiя i деякi точнi розв’язки рiвняння Монжа–Ампера 175

(x0 + u)x2 x2 x2
? (x0 + u + 1) u(x0 + u) + 1 + 2 =
3
2 2 2
= (x0 + u)(x0 + u + 1)(c1 (x0 + u) + c2 ).

Анзаци (2.1)–(2.5) запишемо таким чином:

(3)
h(?, x) = f (x)?(?) + g(x),

де h(?, x), f (x), g(x) — заданi функцiї; ?(?) — невiдома функцiя; ? = ?(x, u)
— одновимiрнi iнварiанти пiдгруп групи P (1, 4). Анзаци (2.1)–(2.5) редукують
рiвняння Монжа–Ампера до лiнiйних ЗДР.
Випишемо анзаци, якi редукують рiвняння (1) до двовимiрних ди ференцiаль-
них рiвнянь з частинними похiдними, i вiдповiднi їм редукованi рiвняння.

u2 = ?2 (?1 , ?2 ) + x2 ? x2 ,
3.1 ?1 = x1 , ?2 = x2 , det ? = 0,
0 3
?2?
? ?12
det ? ? 11 , ?ij ? , i, j = 1, 2.
?21 ?22 ??i ??j
u2 = ?2 (?1 , ?2 ) ? x2 , ?1 = x0 , ?2 = (x2 + x2 )1/2 ,
3.2 3 1 2
??
?2 det ? = 0, ?i ? , i = 1, 2.
??i
u2 = ??2 (?1 , ?2 ) + x2 , ?1 = (x2 + x2 )1/2 ,
3.3 0 1 2
x3 x2
, ? > 0, ?(?1 ?1 det ? ? ?2 ?22 ) = 0.
3
?2 = + arcsin 2
? 2 + x2
x1 2

Анзаци (3.1)–(3.3) можна записати у виглядi (2), де ? = ?(x) = (?1 (x), ?2 (x)) —
двовимiрнi iнварiанти пiдгруп групи P (1, 4).

2x0 ?1 = ??(?1 , ?2 ) + x2 + x2 , ?1 = x0 + u, ?2 = x3 ,
4.1 1 2
?1 det ? + 2?1 ?2 ?12 + 2(? ? ?1 ?1 )?22 ? ?2 = 0.
2
2
2x0 ?1 = ??(?1 , ?2 ) + x2 , ?1 = x0 + u, ?2 = (x2 + x2 )1/2 ,
4.2 3 1 2
?2 [?1 det ? + 2?1 ?2 ?12 + 2(? ? ?1 ?1 )?22 ? ?2 ] = 0.
2 2

? x0 x1 x3
arch ? arcsin = ?(?1 , ?2 ) ? , ?1 = (x2 + x2 )1/2 ,
4.3 1 2
µ ? ?1 µ
?2 1
?2 = (x2 ? u2 )1/2 , ?1 ?2 det ? + 2 3 ?1 ?11 ? 3 ?2 ?22 ?
0
µ ?2 ?1
2
?
? 2 3 3 = 0, ?, µ ? R, ?, µ > 0.
µ ?2 ?2
1 x2
(2(?2 ? µx3 ))1/2 (µx3 + 2?2 ) ? arcsin = ?(?1 , ?2 ) ? x0 ,
4.4
3µ2 ?1
(x0 + u)2
2 2 1/2
?1 = (x1 + x2 ) , ?2 = µx3 + ,
2
µ4 ?1 ?1 ?2 · det ? ? ?1 ?1 ?11 ? µ4 ?2 ?22 + 1 = 0, µ > 0.
3 3

1
(2?2 + x3 )(2(?2 ? x3 ))1/2 = ?(?1 , ?2 ) ? x0 , ?1 = (x2 + x2 )1/2 ,
4.5 1 2
3
(x0 + u)2
, ?1 (?2 det ? ? ?11 ) = 0.
?2 = x3 +
2
176 В.I. Фущич, В.М. Федорчук, О.С. Лейбов

Анзаци (4.1)–(4.5) можна записати у виглядi (3), де ? = ?(x, u) = (?1 (x, u),
?2 (x, u)) — iнварiанти пiдгруп групи P (1, 4).
x2 1
?1 = (x2 + x2 )1/2 ,
sin = ?(?1 , ?2 ) + ln(x0 + u), 1 2
?1 d
1 1 1
?2 = (x2 + u2 ? x2 )1/2 , ?1 ? det ? ?
d > 0, ?2
3 0
d?2 d ?1
1 1 1
? ?2 3?1 ?2 ? d?2 ?1 ?2 + ?1 ? ?11 ?
2
d?2 d?2 ?1 ?2
1 2 1 4 1
?2 d?3 + 2 ?1 + 3 ?22 + ?2 ?2 + 2 ?12 +
1 1
d ?2 ?1 ?1 d?2 ?1
3 1 1 2 1
?2 + 3 ?2 + 2 ?3 +
+ ?2 ?1 + 2 3 2 = 0.
?1 2 ?2 1 d?1 ?2
3 22
d?1 ?2 d ?1 ?2

Iншi анзаци редукують рiвняння (1) до тривимiрних диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними вигляду

A det ? = B1 M11 + B2 M22 + B3 M33 + 2B4 M12 + 2B5 M13 + 2B6 M23 + P,

де

?11 ?12 ?13
? ?23 ? ?13
det ? ? ?21 ?22 ?23 , M11 ? 22 , M22 ? 11 ,
?32 ?33 ?31 ?33
?31 ?32 ?33
?2? ? ?12 ? ?23
, i, j = 1, 2, 3, M33 ? 11 , M12 ? 21

<< Предыдущая

стр. 42
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>