<< Предыдущая

стр. 5
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1
?1 ?1 ?1 ?1
2
x2s+3 h1 , x2s+4 x2s+3 , x2s+5 x2s+3 , . . . , xn x2s+3 ;
2??1 ? arctg((yz ? ? ? 1)(2x0 )?1 ),
L16 :
2? n?1 ?1 ? arctg((yz ? ? + 1)(2xn )?1 ), ((yz ? ? ? 1)2 + 4x2 )(4h1 )?1 ,
0
2

h2 h?1 , h3 h?1 , . . . , h n?1 h?1 , ?1 ?1 ? ?2 , ?2 ?1 ? ?3 , . . . ,
1 1 1
2

?1 ? ?
? ;
n?3 n?1
2 2

L17 : 2? n?1 ?1 ? arctg((yz ? ? + 1)(2xn )?1 ), (yz ? ? ? 1)x?1 , ?1 ?1 ? ?2 ,
0
2

?2 ?1 ? ?3 , . . . , ? n?3 ?1 ? ? n?1 , h2 h?1 , h3 h?1 , . . . , h n?1 h?1 , h1 x?2 .
1 1 1 0
2 2 2
20 W.I. Fushchych, L.F. Barannik, V.I. Lagno

Values of numerical parameters are given in expression (4).
In order to prove the theorem it is sufficient to verify that each CSI satisfies the
equation (3).

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
3. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 304 с.
4. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Однопараметрические подгруппы обобщенной группы Пуанкаре
P (1, n) и их инварианты, Укр. мат. журн., 1989, 41, № 9, 1169–1172.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
6. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах конформной группы пространства
Минковского R(1, n), Препринт № 88.34, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988, 48 c.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 21–30.

Системи нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь
другого порядку, iнварiантнi вiдносно
алгебри Галiлея та її розширень
В.I. ФУЩИЧ, Р.М. ЧЕРНIГА
New classes of systems of nonlinear evolution equations are constructed which are
invariant in regard to the Galilei algebra and its extentions (including operators of
scale and projective transformations). New nonlinear generalisation of the Sch?dinger
o
equation are proposed which retain Galilean symmetry of the linear equation.

Нижче розглядаються системи нелiнiйних двовимiрних параболiчних рiвнянь
вигляду
(1) (2)
= A11 ?xx + A12 ?xx + B (1) ,
(1) (2)
= A21 ?xx + A22 ?xx + B (2) ,
(1) (2)
(1)
? 1 ?t ?2 ?t
(1) (2) (1) (2)
де Anm = Anm (? (1) , ? (2) , ?x , ?x ), B (n) = B (n) (? (1) , ? (2) , ?x , ?x ) — довiльнi
комплекснi або дiйснi функцiї, неперервно диференцiйованi за всiма змiнними,
(n) (n) 2 (n)
(n) (n) (n)
?n ? C, ?t = ?? , ?x = ?? , ?xx = ? ?x2 , ? (n) = ? (n) (t, x) — шуканi
?
?t ?x
комплекснi або дiйснi функцiї, iндекси n i m скрiзь набувають значень 1, 2.
Система рiвнянь (1) узагальнює практично всi вiдомi двовимiрнi системи ево-
люцiйних рiвнянь другого порядку, якими описуються найрiзноманiтнiшi процеси
у фiзицi, хiмiї, бiологiї (досить згадати процеси тепломасопереносу, фiльтрацiї дво-
фазної рiдини, дифузiї при хiмiчних реакцiях, руху популяцiї в природi тощо) [1].
У випадку комплексних функцiй ? = ? (1) = ? ?(2) , C = A11 = A?22 , D =
A12 = A?21 , B = B (1) = B ?(2) , ?1 = ?? = i система рiвнянь (1) перетворюється на
2
пару комплексно спряжених рiвнянь, якi iнтерпретуватимемо як клас нелiнiйних
узагальнень рiвняння Шредiнгера, а саме:
?
(2a)
i?t = C?xx + D?xx + B,

?i?t = C ? ?xx + D? ?xx + B ?
? ? ?
(2b)

(нижче комплексно спряженi рiвняння (2b) скрiзь опущено). Очевидно, що при
C = k ? R, D = B = 0 рiвняння (2a) перетворюється на класичне рiвняння
Шредiнгера з нульовим потенцiалом
0 = k ? R. (3)
i?t = k?xx ,
Шляхом вiдповiдного вибору функцiї B(?, ? ? , ?x , ?x ) можна одержати найрiзно-
?

манiтнiшi нелiнiйнi узагальнення рiвняння (3), якi зустрiчаються в лiтературi
[2, 4].
Вiдомо, що лiнiйне рiвняння (3) iнварiантне вiдносно узагальненої алгебри
Галiлея AG2 (1, 1) з базовими операторами [3, 4]
(4a)
P t = ?t , Px = ?x ,
Доповiдi АН України, 1993, № 8, С. 44–51.
22 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

x
J, J = i(??? ? ? ? ??? ),
Gx = t?x ? (4b)
2k
D = 2t?t + x?x + ?(??? + ? ? ??? ), (4c)
x2 1
? = tD ? t2 ?t ? ?=? , (4d)
J,
4k 2
? ? ? ?
де ?t = ?t , ?x = ?x , ?? = ?? , ??? = ??? .
Алгебру, утворену операторами (4a), (4b), називають алгеброю Галiлея
AG(1, 1), а її розширення за допомогою оператора (4с) позначимо AG1 (1, 1). Вiд-
значимо, що симетрiя багатовимiрних систем рiвнянь (1) при Anm = Anm (? (1) ,
? (2) ), A12 = A21 = 0 дослiджена в роботi [4]. Проте для математичного мо-
делювання деяких процесiв необхiдно вимагати, щоб A1 2 = 0, A21 = 0 (див.,
наприклад, [2, 5]). З iншого боку, в останнi роки запропоновано деякi нелiнiй-
нi рiвняння Шредiнгера [6, 7], якi, згiдно з висновками роботи [4], не зберiга-
ють галiлеївську симетрiю лiнiйного рiвняння (3). Це пiдкреслює необхiднiсть
побудови систем рiвнянь вигляду (1), iнварiантних вiдносно ланцюжка алгебр
AG(1, 1) ? AG1 (1, 1) ? AG2 (1, 1).
Розглянемо алгебру Галiлея з зображенням (4а) i
x
Gx = t?x ? J? , J? = ?1 ? (1) ??(1) + ?2 ? (2) ??(2) . (5)
2
Теорема 1. Система нелiнiйних рiвнянь (1) iнварiантна вiдносно алгебри Галi-
лея з зображенням (4а), (5) тодi i тiльки тодi, коли вона має вигляд
1) у випадку ?1 ?2 = 0
(1) (2)
(?x )2 (1)
(?x )2
12 ?
(1)
? ?
11 (1) (2)
? 1 ?t =g ?xx +g ?xx +
? (1) ? (2) ? (2)
? ?
2
(1)
?x
+ ? (1) ?f (1) + ?,
? (1)
(6)
(1) (2)
(2)
(?x )2 (?x )2
?
(2)
?xx ? ?xx ?
= g 21 (1)
+ g 22 (2)
? 2 ?t +
(1) ? (1) ? (2)
?
? ?
2
(2)
?x
+ ? (2) ?f (2) + ?,
? (2)

де g nm = g nm (v, vx ), f (n) = f (n) (v, vx ) — довiльнi функцiї,
(1) (2)
?v ?x ?x
(2) ??1
? ?2 (1) ? ?1 (2)
(1) ?2
v = (? ) (? ) , vx = v;
?x ? ?
2) у випадку ?1 = 0, ?2 = ? = 0
(2)
(1)
(?x )2
12 ?
?
11 (1) (2)
+ ? (1) f (1) ,
0=g ?xx +g ?xx
? (2) ? (2)
? ? (7)
2
(2) (2)
(2)
(?x )2
? ?x
+ ? (2) ?f (2) + ?,
(2)
?xx ?
= g 21 ? (1) + g 22 (2)
??t (1) xx ? (2) ? (2)
?
Системи нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого порядку 23

(1) (1)
де g nm = g nm (? (1) , ?x ), f (n) = f (n) (? (1) , ?x ) — довiльнi функцiї.
Доведення теореми 1, як i теорем 2, 3, грунтується на класичнiй схемi Лi, ре-
алiзацiя якої для знаходження галiлей-iнварiантних систем наведена в роботi [8].
Оскiльки викладки досить громiздкi, ми їх опускаємо.
Наслiдок 1. В класi нелiнiйних рiвнянь (2) алгебру AG(1, 1) (4a)–(4b) лiнiйного
рiвняння Шредiнгера (3) зберiгають тiльки такi:

(? ? )2
2
(?x )2
i ? ?x
?
?t = g (1) ?xx ? ? x?
(2)
, (8)
+g ?xx +? f +
??
k ? ? ?

v
?? ? , |?|x =
де g (n) = g (n) (|?|, |?|x ), f = f (|?|, |?|x ) — довiльнi функцiї, |?| =
?|?|
?x .

Легко помiтити, що рiвняння (8) при g (1) = 1, g (2) = 0 i f = a|?|? , ? ? R
перетворюється на вiдоме рiвняння Шредiнгера зi степеневою нелiнiйнiстю, а при
g (1) = 0, g (2) = ?1, f = ?4|?|2 |?|?6 + a|?|2 , a ? C — на рiвняння
x


|?x |2
i ??
?t = ? ? ?xx + a?|?|2 ? 2? (9)
,
|?|2
k ?

яке за структурою нагадує рiвняння [6, 7]

|?x |2
i?t = c1 ?xx + a?|?| ? c? c1 , c ? C.
2
(10)
,
|?|2

Вiдзначимо, що рiвняння (10), на вiдмiну вiд (9), не iнварiантне вiдносно алгебри
Галiлея, оскiльки воно не належить класу (8).
Розглянемо алгебри AG1 (1, 1) i AG2 (1, 1), якi є розширеннями алгебри Галiлея
AG(1, 1) (4а), (5), за допомогою операторiв

(11a)
D = 2t?t + x?x + I? ,


x2
? = t ?t + tx?x ? J? + tI? ,
2
(11b)
4

де I? = ?1 ? (1) ??(1) + ?2 ? (2) ??(2) , ?n ? C (для рiвняння Шредiнгера (3) ?1 = ?2 =
?, ?1 = ?? = k ). Виявляється, що класифiкацiя систем рiвнянь, iнварiантних
i
2
вiдносно алгебр AG1 (1, 1) i AG2 (1, 1), суттєво залежить вiд значення визначника
?1 ?2

<< Предыдущая

стр. 5
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>