<< Предыдущая

стр. 7
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1) xx
? ?

де hnn = hnn (?0 ), W (n) = W (n) (?0 ) — довiльнi функцiї (?0 — див. теорему 2),
якщо ?1 = 0 або, якщо ?1 = 0

0 = h11 ?xx + ? (1) (?x )2 W (1) ,
(1) (1)
(14a)
(2)
(2)
(?x )2
22 ?
(2)
?
? (1) (2)
+ (1 + 2?2 ) (2) + ? (2) (?x )2 W (2) ,
(1)
(14b)
??t =h 2?2 ?xx
(1) xx
? ?

де hnn = hnn (? (1) ), W (n) = W (n) (? (1) ) — довiльнi функцiї.
Варто зауважити, що для AG2 (1, 1)-iнварiантних систем рiвнянь (13), (14) зна-
чно простiше вирiшується питання їх iнтегрування. Дiйсно, завдяки вiдсутностi
шуканої функцiї ? (2) у перших рiвняннях цих систем, вони перетворюються на
звичайнi диференцiальнi рiвняння другого порядку. Загальний розв’язок рiвняння
(14a) для довiльних функцiй h11 , W (1) у неявному виглядi записується так:

W (1) /h11 d? (1) d? (1) + e?a(t) ? (1) = x + b(t),
exp

Проiнтегрувавши цi рiвняння i пiдставивши знайденi розв’язки ? (1) (t, x) в (13b)
i (14b), одержимо рiвняння для знаходження функцiї ? (2) , якi лiнеаризуються
замiною ? = (? (2) )?1/2?2 , ?2 = 0.
Таким чином, для вiдшукання функцiї ?(t, x) в обох випадках одержуємо лi-
нiйне рiвняння вигляду
?2?
??
= ?2?2 2 + ?F (t, x),
?
?t ?x
Системи нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого порядку 27

для iнтегрування якого можна вибрати той чи iнший класичний метод залежно
вiд конкретного значення функцiї
? 22
?
? (? (1) )?2/?1 W (2) ? W (1) h
? , ? (1) (t, x) — розв’язок (13a),
? 11
h
F (t, x) =
? 22
?
? (? (1) )2 W (2) ? W (1) h
? ? (1) (t, x) — розв’язок (14a).
,
x 11
h
Наслiдок 3. В класi нелiнiйних рiвнянь (2) алгебру AG2 (1, 1) лiнiйного рiвняння
Шредiнгера (3) зберiгають тiльки такi рiвняння:
?
(?x )2 (?x )2
i ? ?
?t = h ?xx ? + (h ? 1) ? ?
?xx +
??
k ? ?
(15)
2
?x
+ ? |?|4 W + ,
?

де h = h |?|x |?|?3 , W = W |?|x |?|?3 — довiльнi функцiї.
У випадку h = 1, W = 0 рiвняння (15) переходить у лiнiйне рiвняння (3), а при
h = 1 — у рiвняння [4, 8]
i?t = k?xx + ?|?|4 W,
яке в свою чергу при W = ?1 + ?2 |?|x |?|?3 , ?1 , ?2 ? C зводиться до [10]
i?t = k?xx + ?1 ?|?|4 + ?2 ?|?||?|x . (15 )
Зауважимо, що при k = ?1, ?1 = ?1, ?2 = ?4 рiвняння (15 ) вiдоме в лiтературi
як рiвняння Екгауса [11], проте, наскiльки нам вiдомо, досi нiхто не вказував на
такий факт:
Наслiдок 4. Рiвняння Екгауса i?t +?xx +?|?|4 +4?|?||?|x = 0 зберiгає симетрiю
лiнiйного рiвняння Шредiнгера, тобто алгебру з базовими операторами (4).
Разом з тим клас рiвнянь (15) мiстить таке нетривiальне узагальнення рiвняння
(3), що зберiгає його симетрiю, як
?
2 2
?? ?x ?x
i?t = ?k ? ?xx + k? (16)
+ .
??
? ?

Зазначимо, що в рiвняннi (16) потенцiал
?
2 2
?x ?x
= 2 2|?|2 ? |?x |2 /|?|2
V= +
?? x
?
— дiйсна функцiя.
2
При h = 0, W = ?4 |?|x |?|?3 + a рiвняння (15) зводиться до рiвняння
|?x |2
i ??
?t = ? ? ?xx + a?|?|4 ? 2? (17)
.
|?|2
k ?
Рiвняння (17) поряд з (9), (10) логiчно iнтерпретувати як нелiнiйнi рiвняння Шре-
дiнгера. Проте на противагу рiвнянням (9), (10), рiвняння (17) повнiстю зберiгає
симетрiю, тобто алгебру iнварiантностi AG2 (1, 1) лiнiйного рiвняння (3).
28 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

Виявляється, що вислiди, одержанi в теоремах 1, 2, 3, неможливо тривiальним
чином узагальнити на багатовимiрний випадок. Про це свiдчить
Теорема 4. В класi нелiнiйних (n + 1)-вимiрних еволюцiйних систем
(k) (1) (2)
= Ak1 (? (1) , ? (2) , ? (1) , ? (2) )?ab + Ak2 (? (1) , ? (2) , ? (1) , ? (2) )?ab +
? k ?t ab ab
1 1 1 1
(18)
(k) (1) (2) (1) (2)
+B (? ,? ,? ,? ),
1 1

? (k)
(k) (k) (k) (k)
де k = 1, 2, ? (k) = ? (k) (t, x1 , . . . , xn ), ? (k) = (?1 , . . . , ?n ), ?a ?xa ,
= ?ab =
1
? 2 ? (k)
Akk1 ,
B (k) — достатньо гладкi функцiї вiд 2(n + 1) аргументiв, iнварi-
?xa ?xb , ab
антними вiдносно алгебри Галiлея AG(1, n) [4] є тiльки системи вигляду
(k) (k) (k1 ) (k1 )
? (k)
?a ?a ?a ?a
(k)
? ?
+ (k ) Akk1
Akk (k) (k1 )
? k ?t = ?? ?? +
0
?1 0
? (k) ? (k1 )
(k) (k)
?a ?b
?v ?v (k)
?
kk
+A ?ab +
? (k)
?xa ?xb
(19)
(k ) (k )
?a 1 ?b 1
(k)
? ?v ?v (k )
?ab1 ?
Akk1
+ +
(k1 ) ? (k1 )
?xa ?xb
?
(k) (k)
?a ?a
(k)
(k)
+? B0 + , k, k1 = 1, 2, k = k1 ,
? (k)

де Ak1 k2 , Ak1 k2 , B0 — довiльнi функцiї аргументiв v = (? (1) )?2 (? (2) )??1 , ? =
(k)
0
?v ?v
?xa ?xa . За iндексами a, b, що повторюються, слiд пiдсумовувати вiд 1 до n,
k2 = 1, 2.
Наслiдок 5. У випадку, коли система рiвнянь (19) являє собою пару комплексно
спряжених рiвнянь, одержуємо клас нелiнiйних узагальнень рiвняння Шредiн-
гера
??
?a ?a ? (2) ?a ?a ?a ?a
?
?? ? ?? ?
(1)
i?t = A + ?A + ?B + +
??
? ? ?
(20)
?? ??
?a ?b ?
+ A(3) (?? ? )a (?? ? )b + ? A(4) (?? ? )a (?? ? )b ?ab ? a ? b
?
?ab ? ,
? ? ?

якi зберiгають алгебру AG(1, n) лiнiйного (n + 1)-вимiрного рiвняння Шредiн-
гера.
У рiвняннях (20) A(j) , j = 1, 2, 3, 4, B — довiльнi функцiї вiд двох аргументiв
?
?? ? , (?? ? )a (?? ? )a , (?? ? )a ? ?(?? ) . Зокрема, клас рiвнянь (20) мiстить такi
?xa
нетривiальнi узагальнення рiвняння Шредiнгера, якi не мають аналогiв у класi
двовимiрних рiвнянь (2), як

?a ?b
i?t = k?? + ?|?|? |?|a |?|b ?ab ? ,
?
Системи нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого порядку 29

|?|a |?|b ?a ?b
?ab ?
i?t = k?? + ? ,
|?|a1 |?|a1 ?
??
?a ?b ? ?a ?b
?
i?t = k?? + ?|?|a |?|b ?ab ? ?ab ?
+? ,
??
? ?

де iндекси a, a1 , b = 1, 2, . . . , n, |?|2 ? (?? ? )a , ?, ? ? C, k ? R.
a
Серед класу рiвнянь (20) вдається видiлити пiдклас рiвнянь вигляду
??
?a ?a ? ?a ?a
?? ? ?
i?t = ?? + A0 ?? ? + ?|?|4/n B0 +
+?
??
? ?
(21)
?? ??
|?|a |?|b ?a ?b ? ?
A ?ab ? ?ab ? a ? b
+ +? ,
|?|2+4/n ? ? ?
якi зберiгають симетрiю AG2 (1, n) лiнiйного (n + 1)-вимiрного рiвняння Шредiнге-
ра. В рiвняннi (21) A0 , A i B0 — довiльнi функцiї вiд аргумента |?|a |?|a |?|?2?4/n ,
який є диференцiальним iнварiантом узагальненої алгебри Галiлея AG2 (1, n) [4].
Наведемо кiлька прикладiв AG2 (1, n)-iнварiантних узагальнень рiвняння Шредiн-
гера, якi не мають аналогiв у класi двовимiрних рiвнянь (2), а саме:
|?|a |?|b |?|2
ab
i?t = k?? + ? ?,
|?|a1 |?|a1 |?|2
|?|a |?|b
?|?|2
? + ? 4+4/n |?|2 ?, (22)
i?t = ?? + ?
|?|2 |?| ab

??
|?|a |?|b |?|2
? ?a ?a ?a ?a
i?t = ?k ? ?? ? + k ab
+ ?2 ?+? ?.
|?|a1 |?|a1 |?|2
?2
? ?
Для побудови рiвнянь (22) було використано тотожностi
? 2 (?? ? )

<< Предыдущая

стр. 7
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>