<< Предыдущая

стр. 8
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

|?|ab = ,
?xa ?xb
??
?|?|2 ? 4|?|a |?|a
?a ?a ? ?a ?a
?? ? ?
?? ? ?
+? ?,
?? |?|2
? ?
??
?a ?b ? ?a ?b ?
?
?ab ? ? ? |?|a |?|b |?|2 ? 4(|?|a |?|a )2
+? ?ab .
?? |?|2
ab
? ?
На закiнчення вiдзначимо, що наслiдки 1–3 можна одержати шляхом констру-
ювання рiвнянь (8), (12), (13) за допомогою диференцiальних iнварiантiв алгебр
AG(1, 1), AG1 (1, 1), AG2 (1, 1), повний набiр яких описано в роботi [9].
Детальнiшому розгляду деяких конкретних еволюцiйних систем, описаних у
теоремах 1–3, у випадку дiйсних функцiй ? (1) , ? (2) буде присвячена окрема пу-
блiкацiя.
1. Хенри Д., Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений, М., Мир, 1985,
376 с.
2. Dodd R.К., Fordy A.P., Prolongation structures of complex quasi-polinomial evolution equations,
J. Phys. A: Math. Gen., 1984, 17, № 16, 3249–3266.
3. Niederer U., The maximal kinematical invariance group of the free Schr?dinger equation, Helv.
o
Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 808–816.
30 В.I. Фущич, Р.М. Чернiга

4. Фущич В.И., Чернига Р.М., Галилей-инвариантные нелинейные уравнения шредингеровского
типа и их точные решения I, II, Укр. мат. журн., 1989, 41, 1349–4357, 1687–1694.
5. Кричлоу Г.Б., Современная разработка нефтяных месторождений — проблемы моделирования,
М., Недра, 1979, 303 с.
6. Malomed В. A., Stenflo L., Modulational instabilities and soliton solutions of a generalized nonlinear
Schr?dinger equation, J. Phys. A: Math. Gen., 1991, 24, L1149–L1153.
o
7. Doebner H.-D., Goldin G.A., On a general nonlinear Schr?dinger equation admitting diffusion
o
currents, Phys. Lett. A, 1992, 162, 397–401.
8. Фущич В.И., Чернига Р.М., О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений
шредингеровского типа, Препринт № 86.85, Киев, Ин-т математики АН Украины, 1986, 44 с.
9. Фущич В.I., Єгорченко I.А., Диференцiальнi iнварiанти алгебри Галiлея, Доп. АН України,
Сер. А, 1989, № 4, 29–32.
10. Kundu A., Landau–Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear
Schr?dinger type equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 12, 3433–3438.
o
11. Calogero F., De Lillo S., Cauchy problems on the semiline and on a finite interval for the Eckhaus
equation, Inverse Problems, 1988, 4, L33–L37.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2003, Vol. 5, 31–42.

Умовна симетрiя та новi зображення
алгебри Галiлея для нелiнiйних рiвнянь
параболiчного типу
В.I. ФУЩИЧ, В.I. ЧОПИК

An effective method for finding conditional symmetry operators is constructed for a class
of Galilei noninvariant parabolic equations. The obtained operators form a basis of the
Galilei algebra. The additional conditions, under which the extension of a symmetry is
possible, are obtained. For the equations under consideration, the anti-reduction is carri-
ed out and some exact solutions are found by using the conditional Galilei-invariance of
its differential consequences.

Для класу Галiлей-неiнварiангних рiвнянь параболiчного типу запропоновано кон-
структивний метод знаходження операторiв умовної симетрiї, якi утворюють базис
алгебри Галiлея. Описанi додатковi умови, при яких можливе розширення симетрiї.
Проведено антиредукцiю, а також знайденi деякi точнi розв’язки розглядуваного не-
лiнiйного рiвняння, виходячи з умовної галiлей-iнварiантностi його диференцiальних
наслiдкiв.

Вступ. В роботi [1] вказано на такий парадоксальний факт: серед нелiнiйних
рiвнянь теплопровiдностi

(1)
u0 + ?a (f1 (x, u)ua ) = f2 (x, u),

де

u0 = ?/?x0 , x0 ? t, ?a = ?/?xa , ua = ?/?xa , x = (x1 , . . . , xn ), a = 1, n,

якi широко застосовуються в рiзних областях математики та фiзики, немає жодно-
го рiвняння, для якого б виконувався принцип вiдносностi Галiлея. З симетрiйної
точки зору це значить, що рiвняння (1) нi при яких f1 , f2 таких, що f1 = const,
f2 = const одночасно, не допускає алгебри Галiлея. Але виявляється, що з мно-
жини розв’язкiв рiвняння (1) можна видiлити пiдмножини, якi залишаються iн-
варiантними при перетвореннях Галiлея. Природньо постає питання знаходження
цих розв’язкiв. Цi пiдмножини розв’язкiв можна знаходити, використовуючи опе-
ратори умовної симетрiї рiвняння [2], а також, як буде показано нижче, оператори
умовної галiлей-iнварiантностi його диференцiйних наслiдкiв.
Iснує конструктивний метод для знаходження операторiв Q-умовної симет-
рiї [2]. Основним недолiком цих операторiв є те, що вони не утворюють алгебри
Лi. В роботах [3, 4] побудовано деякi оператори умовної симетрiї для рiвнянь ти-
пу (1), якi утворюють алгебру разом з базисними операторами симетрiї Лi, цього
рiвняння. Зауважимо, що алгоритмiчного методу знаходження операторiв умовної
симетрiї, якi утворювали б алгебру Лi, до цього часу не iснує.
Укр. мат. журн., 1993, 45, № 10, С. 1433–1443.
32 В.I. Фущич, В.I. Чопик

В данiй роботi на прикладi нелiнiйного рiвняння

(?0 + ua ?a )h(x, u) ? ?u = F (u), (2)

де

? = ? 2 /?xa ?xa ,
hu = 0, a = 1, n,

n — число просторових змiнних, запропоновано конструктивний метод знаходже-
ння алгебри умовної iнварiантностi. Цей метод грунтується на вимозi того, щоб
оператори симетрiї Лi рiвняння разом з операторами умовної симетрiї утворювали
базис алгебри Галiлея. Причому розглядаються рiзнi зображення алгебри Галiлея,
якi допускає рiвняння типу (2). Завдяки цьому вдається описати додатковi умови,
при яких можливi такi розширення симетрiї.
Процес знаходження алгебри умовної iнварiантностi ми розiб’ємо на кiлька
етапiв: перший етап — видiлення з класу рiвнянь (2) рiвняння, для якого можливе
розширення симетрiї до алгебри Галiлея; другий етап — знаходження зображення
алгебри Галiлея, iнварiантнiсть вiдносно якого ми будемо вимагати вiд видiленого
нами рiвняння; третiй етап — знаходження умов, при яких наше рiвняння умовно
галiлей-iнварiантне.
Очевидно, що наша робота буде мати змiст лише у тому випадку, коли одержа-
на перевизначена система рiвнянь буде сумiсною. У цiй статтi питання сумiсностi
ми окремо дослiджувати не будемо, але наведемо деякi нетривiальнi розв’язки
одержаних перевизначених систем.
1. Iнварiантнiсть вiдносно перетворень типу Галiлея. Опишемо всi дiйснi
функцiї h, F такi, при яких рiвняння (2) iнварiантне вiдносно операторiв

(3)
Xa = f (x0 )?a + g(x0 )xa ?u , ?u = ?/?u,

якi породжують такi скiнченнi перетворення:
x0 > x0 = x0 , xa > xa = xa + va f (x0 ),
u > u = u + (xa ?a + (1/2)v 2 f (x0 ))g(x0 ).

Зауважимо, що цi перетворення при f (x0 ) = x0 спiвпадають з перетвореннями
Галiлея.
За формулами Лi (див., наприклад, [2]) знайдемо друге продовження операто-
рiв (3):
(2)
X = X + (g xa ? f ua )?u0 + g?ua , де ?u0 = ?/?u0 , ?ua = ?/?ua ,

i подiємо ним на рiвняння (2). В результатi одержимо такi умови:

(4)
huu gxa + hua f = 0, a = 1, n,

?f hu + 2ghu + f haa + gxa hau = 0, (5)

g hu xa + ha g ? F gxa = 0. (6)

Для знаходження розв’язку системи рiвнянь (4)–(6) розглянемо два таких випад-
ки: hu = const та hu = const.
Умовна симетрiя та новi зображення алгебри Галiлея 33

Випадок 1: hu = const. Не зменшуючи загальностi, можна прийняти, що hu =
1. У цьому випадку рiвняння (4) виконується тотожньо. Оскiльки h = h(u, x),
а функцiї f i g залежать тiльки вiд x0 то рiвняння (5) розпадається на такi
рiвняння:
f ? 2g = ?f, ? ? R. (7)
haa = ?,
Диференцiюючи рiвняння (6) по u, одержуємо умову на F :
F = 0 ? F = ?u + ?1 , {?, ?1 } ? R. (8)
Враховуючи (7), (8), пiсля диференцiювання рiвняння (6) по xa маємо
g + (? ? ?)g = 0 ? g = ? exp{(? ? ?)x0 }. (9)
Пiдставляючи (9) в (7), одержуємо умову на f (x0 ):
f ? ?f = 2? exp{(? ? ?)x0 }.
Розв’язок останнього рiвняння знаходиться у виглядi f = A(x0 ) exp{?x0 }, де
A(x0 ) задовольняє рiвняння
A = 2? exp{(? ? ?)x0 }.
Iнтегруючи це рiвняння, маємо
?
? 2? exp{(? ? 2?)x } + ? при ? = 2?,
0 1
A = ? ? 2?
?
2?x0 + ?1 при ? = 2?.
Остаточно одержуємо
?
? 2? exp{(? ? 2?)x } + ? exp{?x } при ? = 2?,
0 1 0
f = ? ? 2? (10)
?
2?x0 exp{?x0 } + ?1 exp{?x0 } при ? = 2?.
Пiдсумовуючи попереднi результати, одержуємо, що рiвняння
u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u = ?u, ? ? R, (11)
допускає оператори Xa , що визначаються (3), (9), (10) (використовуючи замiну
u = u ? ?1 /?, константу ?1 в (8) можна прирiвняти до нуля).
Зауваження 1. Рiвняння (11) при ? = ?/2 ? 1 спiвпадає з рiвнянням ренорм-групи
(RG) Вiльсона [5, 6]. Симетрiя Лi цього рiвняння знайдена в [7]. Пiдкреслимо,
що випадок ? = 2? не виконується для рiвняння RG Вiльсона.
2. При ? = 0 рiвняння (11) замiною
(12)
u = ln v,
зводиться до нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi
v0 ? ?v = ?v ln v. (13)
Симетрiйнi властивостi цього рiвняння дослiдженi в роботi [4]. Далi ми покажемо,
що рiвняння (13) може допускати ще одне зображення алгебри Галiлея.
34 В.I. Фущич, В.I. Чопик

Знайдемо максимальну алгебру iнварiантностi (МАI) рiвняння (11).
Теорема 1. МАI рiвняння (11) задається таким набором базисних операторiв:
Xa = exp{?x0 }?a Jab = xa ?b ? xb ?a , M = exp{?x0 }?u ,
(1)
1) P 0 = ?0 ,
(14)
2
= exp{(? ? ?)x0 }
(2)
при ? = 2?;
Xa ?a + xa ?u
? ? 2?

Xa = exp{?x0 }?a , M = exp{2?x0 }?u ,
(1)
2) P0 , Jab ,
(15)
Xa = exp{?x0 }{2x0 ?a + xa ?u } при ? = 2?.
(2)


(1) (2)
Доведення теореми проводиться за схемою Лi [2]. Оператори Xa , Xa одер-
жуються iз Xa при ? = 0 та ?1 = 0 вiдповiдно. Базиснi оператори (14) задоволь-
няють такi комутацiйнi спiввiдношення:
(1) (1)
[P0 , Xa ] = ?Xa , [P0 , M ] = ?M,
(2)
при ? = ?, ? = 2?,
cXa
(2)
[P0 , Xa ] =
0 при ? = 2?,
(1) (1) (1) (2) (2)
[P0 , Jab ] = [Xa , M ] = [Jab , M ] = [Xa , Xb ] = [Xa , Xb ] = 0,
(1) (2) (1) (1) (1)
? ?ab Xb ,
[Xa , Xb ] = ?ab M, [Xa , Jbc ] = ?ab Xc
(2) (2) (2)
[Xa , Jbc ] = ?ab Xc ? ?ac Xb ,
[Jab , Jcd ] = ?ac Jbd + ?bd Jac ? ?bc Jad ? ?ad Jbc , c ? R.
З цих спiввiдношень випливає, що у кожному з випадкiв: 1) ? = 0; 2) ? = ?;
3) ? = ?; ? = 2?; рiвнянню (11) вiдповiдає iнша алгебра Лi. Жодна з цих алгебр
не є алгеброю Галiлея (про алгебру Галiлея див. [2, 8]).
Для випадку, коли ? = 2?, оператори (15) задовольняють спiввiдношення
(1) (1) (2) (2) (1)
[P0 , Xa ] = ?Xa , [P0 , Xa ] = ?Xa + 2Xa , [P0 , M ] = 2?M,
(1) (1) (1) (2) (2)
[P0 , Jab ] = [Xa , M ] = [Jab , M ] = [Xa , Xb ] = [Xa , Xb ] = 0,
(1) (2) (1) (1) (1)
? ?ac Xb , (16)
[Xa , Xb ] = ?ab M, [Xa , Jbc ] = ?ab Xc
(2) (2) (2)
[Xa , Jbc ] = ?ab Xc ? ?ac Xb ,
[Jab , Jcd ] = ?ac Jbd + ?bd Jac ? ?bc Jad ? ?ad Jbc .
З (16) випливає, що при ? = 0 алгебра, що породжується операторами (15), за-
довольняє стандартнi комутацiйнi спiввiдношення алгебри Галiлея AG(1, n). Але
цей випадок не викликає зацiкавлення, оскiльки при ? = 2? = 0 рiвняння (11)
замiною (12) зводиться до лiнiйного рiвняння теплопровiдностi (13) (? = 0). На-
далi при ? = 2? ми розглядатимемо тiльки випадок, коли ? = 0. У цьому випадку
з (16) випливає, що рiвняння (11) також не допускає алгебри Галiлея.
Випадок 2: hu = const. Для цього випадку розв’язок системи (4)–(6) задається
так:
hu = d1 (u ? ?x2 /2), ha = ?d1 xa (5?x2 ? u) + d2 , dk ? R,
F = ?,
а функцiї f i g iз (3) мають вигляд
f = d exp{?x0 }, g = ?d exp{?x0 }, d ? R.
Умовна симетрiя та новi зображення алгебри Галiлея 35

<< Предыдущая

стр. 8
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>