<< Предыдущая

стр. 9
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тобто рiвняння

hu (u0 + ua ua ) + ha ua ? ?u = ?u

iнварiантне вiдносно перетворень типу Галiлея, що породжуються (3). Надалi ми
обмежимося розглядом рiвняння (11).
2. Знаходження потрiбних представлень алгебри Галiлея. З комутацiйних
спiввiдношень для (14), (15) випливає, що всi оператори, за винятком P0 задоволь-
няють комутацiйнi спiввiдношення алгебри Галiлея. В роботi [4] показано, що для
алгебри Лi рiвняння (13) (частковий випадок рiвняння (11)) можна вказати такий
оператор Pt , що
(1) (2) (1)
(17)
[Pt , Xa ] = [Pt , M ] = [Pt , Jab ] = 0, [Pt , Xa ] = c1 Xa .
(1) (2)
Легко бачити, що при виконаннi (17) оператори Pt , Xa , Xa , M , Jab утворюють
базис алгебри Галiлея, яку ми позначатимемо AG(1) (1, n). Нижче ми узагальнимо
цей результат для рiвняння (11) та вкажемо нове зображення алгебри Галiлея
AG(1) (1, n), що визначається спiввiдношеннями, вiдмiнними вiд (17).
Випадок 1. Знайдемо явний вигляд оператора Pt такого, що виконуються спiв-
вiдношення (17). Шукатимемо оператор Pt у виглядi

Pt = ? 0 ?0 + ? a ?a + ??u , ? µ = ? µ (x0 , x, u), (18)
? = ?(x0 , x, u), µ = 0, n.
(1)
З умови [Pt , Xa ] = 0 одержимо такi умови на коефiцiєнтнi функцiї оператора Pt :

?? 0 = ?a ,
a 0 b
(19)
?a = ?a = ?a = 0, a = b.

Аналогiчно одержуємо такi умови на функцiї ? µ , ?:

(? ? ?)? 0 xa + ? a ? xa ?u = 0;
?? 0 = ?u , ? a = xa ?a ,
a 0 a
(20)
?u = ?u = 0,

а також
2 exp{(? ? 2?)x0 }((? ? ?)? 0 ? ?a )/(? ? 2?) = c1 при ? = 2?,
a
(21)
2(?x0 + 1)? 0 ? 2x0 ?a = c1 при ? = 2?, c1 ? R.
a


Розв’язуючи умови (19)–(21), знаходимо явний вигляд оператора Pt . Для випадкiв,
коли ? = 2? та ? = 2?, цей оператор можна записати у єдиному виглядi:

Pt = exp{(2? ? ?)x0 }(?0 + ?xa ?a + (?u + f (x0 ))?u ). (22)

В результатi ми довели таке твердження.
(1) (2)
Лема 1. Оператори Pt , Xa , M , Jab , Xa , що мають вигляд (14), (22) при
? = 2? тa (15), (22) при ? = 2?, задають базис алгебри Галiлея AG(1) (1, n), що
визначається комутацiйними спiввiдношеннями (16), (17).
Випадок 2. Нехай оператор T такий, що виконуються
(2) (1) (2)
(23)
[T, Xa ] = [T, M ] = [T, Jab ] = 0, [T, Xa ] = c1 Xa .
(1) (2)
Легко переконатися, що при виконаннi (23) оператори T , Xa , Xa , M , Jab утво-
рюватимуть базис алгебри Галiлея, яку ми надалi позначатимемо AG(2) (1, n).
36 В.I. Фущич, В.I. Чопик

Оператор T шукатимемо у виглядi (18). З (23) одержимо такi умови на функцiї
µ
? , ?:
0 b 0 a
? a = xa ?a ,
a
(24)
?a = ?a = ?u = ?u = 0, a = b,

а також
?a = ?c2 2 exp{(? ? ?)x0 }/(? ? 2?), (? ? ?)? 0 = ?a ,
a a

(? ? ?)xa ? 0 + ? a ? 2?a /(? ? 2?) ? xa ?u = 0, ?? 0 = ?u , (25)
?a = ?c2 exp{(? ? ?)x0 }xa при ? = 2?,

?a = ?c2 xa , ?x0 ? 0 + ? 0 ? x0 ?a = 0,
a

2?? 0 = ?u , ?? 0 ? ?a = 2c2 x0 ,
a
(26)
?xa ? 0 + ? a ? 2x0 ?a ? xa ?u = 0 при ? = 2?.

З умов (24), (25) одержуємо явний вигляд T при ? = 2?:
2
2x
T = exp{(? ? ?)x0 } ?0 + (? ? ?)xa ?a + ?u + (? ? 2?) + f1 (x0 ) ?u .(27)
4
З (24), (26) випливає

x2
x2 ?0 + 2?x2 u + f2 (x0 ) ?u при ? = 2?. (28)
T= + (?x0 + 1)x0 xa ?a +
0 0
4
(1) (2)
Лема 2. Оператори T , Xa , M , Jab , Xa , що мають вигляд (14), (21) при
? = 2? та (15), (28) при ? = 2?, реалiзують представлення алгебри Галi-
лея AG(2) (1, n). Алгебра AG(2) (1, n) задається комутацiйними спiввiдношення-
ми (16), (23).
3. Умовна галiлей-iнварiантнiсть рiвняння (11).
Випадок 1. Вимагатимемо iнварiантнiсть рiвняння (11) вiдносно алгебри Галi-
лея AG(2) (1, n). Для цього подiємо другим продовженням оператора (22):
(2)
= Pt + exp{(2? ? ?)x0 }[{f + (2? ? ?)(?u + f ) ? ?(2? ? ?)xa ua +
Pt

+ 2(? ? ?)u0 }?u0 + (? ? ?)ua }?ua + (? ? 2?)uaa ?uaa )]

на рiвняння (11). Одержуємо:
(2)
P t {u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} = 2(? ? ?) exp{(2? ? ?)x0 } ?
(29)
? {u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} + exp{(2? ? ?)x0 } ?
? [??u + 2(? ? ?)f + f ].

З (29) випливає, що при ? = 0, 2?f + f = 0 рiвняння (11) iнварiантне (у сенсi
Лi) вiдносно AG(1) (1, n). Але при ? = 0 рiвняння (11) замiною (12) зводиться до
лiнiйного рiвняння

v0 + ?xa va ? ?v = 0,
Умовна симетрiя та новi зображення алгебри Галiлея 37

симетрiя якого нескiнченна [7]. Надалi ми обмежимось розглядом таких ?, що
? = 0.
(2)
Подiємо P t на рiвняння

??u + 2(? ? ?)f + f = 0. (30)

Одержимо
(2)
P t {??u + 2(? ? ?)f + f } = (31)
= (? ? 2?) exp{(? ? 2?)x0 }{??u + 2(? ? ?)f + f },

якщо функцiя f0 (x) задовольняє рiвняння:

f + (4? ? 3?)f + 2(? ? ?)f = 0. (32)

Згiдно з критерiєм умовної iнварiантностi (див., наприклад, [2, 3]), з (29), (31)
випливає, що рiвняння (11) умовно iнварiантне вiдносно оператора Pt (22), якщо
f задовольняє (32), тобто

f = c1 exp{(? ? 2?)x0 } + c2 exp{(? ? ?)x0 }, (33)

причому додаткова умова (30) з урахуванням (33) має вигляд

?u = c1 exp{(? ? 2?)x0 }. (34)

Теорема 2. Рiвняння (11) умовно iнварiантне вiдносно алгебри Галiлея
(1) (2)
AG(1) (1, n) = Pt , Xa , M, Jab , Xa , де оператор Pt задається (22), (33), а опе-
(1) (2)
ратори Xa , M , Jab , Xa мають вигляд (14) при ? = 2? та (15) при ? = 2?.
Додаткова умова має вигляд (34).
Для доведення теореми нам залишається перевiрити iнварiантнiсть додатковї
(1) (2)
умови (34) вiдносно операторiв Xa , M , Jab , Xa . Легко переконатись, що цi
оператори є абсолютними iнварiантами для цього рiвняння. Цей факт пiдтверджує
справедливiсть теореми.
Зауваження 3. Якщо вимагати додатково iнварiантнiсть вiдносно оператора P0 , то
з (34) випливає умова c1 = 0. В роботi [4] знайдено МАI перевизначеної системи
рiвнянь (11), (34) при ? = c1 = 0. Загальний розв’язок цiєї системи має вигляд

u = (d0 + da xa ? d2 ??1 exp{?x0 }) exp{?x0 },

де

dµ ? R,
d2 = da d a , a = 1, n, µ = 0, n.

Випадок 2. Вимагатимемо iнварiантнiсть рiвняння (11) вiдносно алгебри Галi-
лея AG(2) (1, n) при ? = 2?. Для цього подiємо другим продовженням операто-
ра T (27) на рiвняння (11). Одержимо
(2)
T {u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} =
= exp{(? ? ?)x0 }[?{u0 + ua ua + ?xa ua ? ?u ? ?u} + L1 ],
38 В.I. Фущич, В.I. Чопик

де
L1 = ?ua ua + ?(2? ? ?)xa ua ? (? ? ?)?u +
+ (?/4)(? ? 2?)2 x2 ? ?f1 + f1 ? (n/2)(? ? 2?)2 .
Справедлива рiвнiсть
(2)
T {L1 } = exp{(? ? ?)x0 }[2?L1 + L2 ], (35)
причому

L2 = ?(? ? ?)?u + f1 ? ?f1 + 2? 2 f1 + (n/2)(? ? 2?)2 (? + ?). (36)
З (35), (36) випливає, що рiвняня L1 = 0 iнварiантне (у сенсi Лi) вiдносно опера-
тора T лише у таких випадках:
f1 ? ?f1 + 2? 2 f1 + (n/2)(? ? 2?)2 (? + ?) = 0; (37)
1) ? = ?,

(38)
2) ? = 0, f + ?f1 = 0.

Для випадку (38) справедлива теорема.
Теорема 3. Рiвняння (11) при ? = 2? та ? = 0 умовно iнварiантне вiдносно
(1) (2)
алгебри Галiлея AG(2) (1, n) = T, Xa , M, Jab , Xa , де
x2
T = exp{?x0 } ?0 + ?xa ?a + ?u + ?2 (1)
+ f1 (x0 ) ?u , Xa = ?a ,
4 (39)
Jab = xa ?b ? xb ?a , M = exp{?x0 }?u , Xa = exp{?x0 }{(2/?)?a + xa ?u },
(2)


причому додаткова умова має вигляд
L1 = ??u + f1 ? (n/2)?2 = 0, (40)
де функцiя f1 задовольняє лiнiйне рiвняння (38).
При f1 = const рiвняння (11), (40) iнварiантнi вiдносно алгебри AG(2) (1, n)
(39), доповненої оператором P0 .
Наслiдок. Нелiнiйне рiвняння теплопровiдностi (13) умовно iнварiантнe вiдно-
сно таких алгебр:
AG(2) (1, n) = T, Xa , M, Jab , Xa ,
(1) (2)
1)
де
x2
T = exp{?x0 } ?0 + ?xa ?a + ? ln v + ?2 + f1 (x0 ) v?v ,
4
(41)
Jab = xa ?b ? xb ?a , M = exp{?x0 }v?v ,
Pa = ? a ,
Xa = exp{?x0 }{(2/?)?a + xa v?v }
(2)

при
f1 = d1 exp{??x0 } + d2 , {d1 , d2 } ? R;

AG(2) (1, n), P0 при f1 = d2 ,
2)
Умовна симетрiя та новi зображення алгебри Галiлея 39

причому додаткова умова має вигляд

?(v?v ? va va ) ? (?2 n/2 + d1 exp{??x0 } + d2 )v 2 = 0. (42)

Зауважимо, що формули (41), (42) одержуються вiдповiдно з (39), (40) замi-
ною (12).
Зауваження 4. Ми довели, що у випадку 1 рiвняння (11) умовно iнварiантне
вiдносно оператора T при додатковiй умовi L1 = 0. Але при цьому рiвняння
(1)
L1 = 0 не допускає операторiв Xa . Тому у випадку (37) рiвняння (11) не є
умовно iнварiантним вiдносно алгебри AG(2) (1, n).
(2)
Подiємо другим продовженням T на рiвняння L2 = 0, де L2 визначено в (36).
В результатi одержимо
(2)
T {L2 } = exp{(? ? ?)x0 }[(2? ? ?)L2 + F (x0 )],
де

F (x0 ) = f1 + (? ? 2?)f + ?(4? ? ?)f1 + 2? 2 (? ? 2?)2 f1 + n(? ? 2?)2 ? 2 .

Звiдси робимо висновок, що рiвняння (11) при додаткових умовах L1 = 0, L2 = 0
та умовi на функцiю f1 : F (x0 ) = 0, iнварiантне вiдносно оператора T . Але, як i у
випадку (37), рiвняння (11) при цьому не допускає алгебри AG(2) (1, n).
Випадок 3. Вимагатимемо iнварiантнiсть рiвняння (11) вiдносно алгебри Галi-
лея AG(2) (1, n) при ? = 2?. Для цього подiємо другим продовженням операто-
ра T (28) на рiвняння (11). Одержимо:
(2)

<< Предыдущая

стр. 9
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>