стр. 1
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

W.I. Fushchych
Scienti?c Works



Volume 6
1996–2000




Editor
Vyacheslav Boyko




Kyiv 2004
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 1–4.

Про новий метод побудови розв’язкiв
нелiнiйних хвильових рiвнянь
В.I. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК
We proposed a new simple method of constructing some classes of exact solutions of
multidimensional nonlinear wave equations.

У статтi пропонується конструктивний i простий спосiб побудови деяких кла-
сiв точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики, який базується
на iдеї редукцiї [1, 2]. Основнi положення нашого пiдходу ми викладатимемо на
прикладах рiвнянь Даламбера i Шродiнгера.
1. Розглянемо нелiнiйне рiвняння Даламбера
2u = F (u), (1)
u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ),
2 — оператор Даламбера, F (u) — нелiнiйна гладка функцiя. Побудовi точних
розв’язкiв рiвняння (1) присвячено багато робiт (див. [2, 3] i цитовану там лiте-
ратуру).
Для побудови розв’язкiв рiвняння (1) використаємо симетрiйний (або умовно-
симетрiйний) анзац [1, 2]. Нехай цей анзац має вигляд
(2)
u = f (x)?(?1 , . . . , ?k ) + g(x)
або
h(u) = f (x)?(?1 , . . . , ?k ) + g(x),
де ?1 = ?1 (x0 , x1 , x2 , x3 ), . . ., ?k = ?k (x0 , x1 , x2 , x3 ) — новi незалежнi змiннi, h(u)
— деяка задана функцiя. Пiдстановка (2) дозволяє побудувати бiльш загальний
анзац, а саме: анзац (2) будемо вважати частинним випадком анзацу
(3)
u = f (x)?(?1 , . . . , ?k , ?k+1 , . . . , ?l ) + g(x)
де ?k+1 , . . . , ?l — невiдомi змiннi, якi необхiдно визначити. Змiннi ?k+1 , . . . , ?l
будемо визначати з умови, що редуковане рiвняння, яке вiдповiдає анзацу (3),
збiгається з редукованим рiвнянням, що вiдповiдає анзацу (2).
Розглянемо, наприклад, симетрiйний анзац u = ?(?1 ), ?1 = x2 ? x2 ? x2 ? x2 .
0 1 2 3
Узагальнений анзац u = ?(?1 , ?2 ) буде редукувати чотивимiрне рiвняння (1) до
рiвняння
4?1 ?11 + 8?1 + 2?12 Aµ B µ + ?2 2?2 + ?22 (Bµ )2 + F (?) = 0,
?2? (4)
??1 ??1 ??
Aµ ? , Bµ ? , ?kl ? , ?k ? .
?xµ ?xµ ?xk ?xl ?xk
Накладемо на рiвняння (4) умову, щоб воно збiгалося з редукованим рiвнянням
(5)
4?1 ?11 + 8?1 + F (?) = 0.
Доповiдi НАН України, 1996, № 10, С. 48–51.
2 В.I. Фущич, А.Ф. Баранник

При цьому припущенi рiвняння (4) розпадається на два рiвняння
(6)
4?1 ?11 + 8?1 + F (?) = 0,

(Bµ )2 ?22 + ?2 2?2 + 2?12 Aµ B µ = 0. (7)

Важливо пiдкреслити, що (6) є звичайним диференцiальним рiвнянням. Очеви-
дно, що якщо знайти таке ?, яке задовольняє систему (6), (7), то ми побудуємо
розв’язок (1). Рiвняння (7) буде виконутуватися для довiльної функцiї ?, якщо
на змiнну ?2 накласти умови
??1 ??2
2?2 = 0, (Bµ )2 = (8)
= 0,
?xµ ?xµ
??1 ??2
Aµ B µ ? (9)
= 0.
?xµ ?xµ

Отже, якщо нову змiнну ?2 вибрати так, щоб задовольнялись умови (8), (9),
то багатовимiрне рiвняння (1) редукується до звичайного диференцiального рiв-
няння (6) i його розв’язки дадуть нам розв’язки рiвняння (1). Проблема редукцiї
зведена до побудови загальних або частинних розв’язкiв системи (8), (9).
Перевизначена система (8) детально вивчена в роботах [4–6]. Рiвняння (8) має
унiкальнi властивостi:
а) загальний розв’язок (8) задається формулою [5]
aµ (?2 )xµ + b(?2 ) = 0, (10)

aµ (?2 )aµ (?2 ) = a2 ? a2 ? a2 ? a2 = 0; (11)
0 1 2 3

б) довiльна функцiя вiд розв’язку (8) є знову розв’язком [6]. Використаємо
формули (10), (11) для побудови у явному виглядi функцiй ?2 . З (9)–(11) випли-
ває, що b(?2 ) = 0. Отже, рiвняння
aµ (?2 )xµ = a0 (?2 )x0 ? a1 (?2 )x1 ? a2 (?2 )x2 ? a3 (?2 )x3 = 0, (12)

a2 ? a2 ? a2 ? a2 = 0, (13)
0 1 2 3

задають умови, коли рiвняння (1) редукується до звичайного диференцiального
рiвняння (6). Розв’язавши систему (12), (13), знаходимо явний вигляд змiнної ?2 .
2. Побудуємо за наведеним способом деякi класи точних розв’язкiв рiвняння
Даламбера
2u + ?uk = 0, (14)
k = 1.
Шукаємо розв’язки (14) у виглядi
?µ ? µ = ?1,
?1 = ?µ xµ , (15)
u = ?(?1 , ?2 ),
?µ — довiльнi параметри.
У цьому випадку система для визначення ?2 має вигляд (10), (11) з додатко-
вою умовою
??2
?µ ? µ = ?1. (16)
?µ = 0,
?xµ
Про новий метод побудови розв’язкiв нелiнiйних хвильових рiвнянь 3

Рiвняння (14) редукується до

d2 ?(?1 ?2 )
? ??k = 0. (17)
2
d?1
Багатопараметрична сiм’я розв’язкiв рiвняння (19) має вигляд
1
?(1 ? k)2 (?µ xµ + ?2 ) 1?k

k = ?1, (18)
u= ,
2(k + 1)
де ?2 — довiльний розв’язок системи функцiональних рiвнянь

a0 (?2 )x0 ? a1 (?2 )x1 ? a2 (?2 )x2 ? a3 (?2 )x3 = 0,
(19)
a2 ? a2 ? a2 ? a2 = 0, aµ (?2 )? µ = 0.
0 1 2 3

Таким чином, формула (18) визначає розв’язок рiвняння (14), якщо ?2 є будь-
яким розв’язком системи (19). Розв’язки (14), якi одержанi в [2] методом симе-
трiйної редукцiї, належать множинi (18).
3. Побудуємо розв’язки (14) за допомогою анзацу

(20)
u = ?(?1 , ?2 , ?3 ).

Задамо функцiї ?1 i ?2 у виглядi [7]

?1 = x2 ? x2 ? x2 , (21)
?2 = x3 .
0 1 2

Анзац (20), (21) редукує (14) до рiвняння

4?1 ?11 + 6?1 ? ?22 + ??k = 0, (22)

якщо
2
??3
2?3 = 0, (23)
= 0,
?xµ

??1 ??3 ??2 ??3
(24)
= 0, = 0.
?xµ ?xµ ?xµ ?xµ

Розв’язок рiвняння (14) задається формулою

?(1 ? k)2 2
x0 ? x2 ? x2 ? (x3 + h(?3 ))2 ,
1?k
(25)
u =
4(k ? 2) 1 2


? = 0, h(?3 ) — довiльна функцiя вiд розв’язку системи (22), (23).
Розв’язки рiвняння Лiувiлля

2u + ? exp(u) = 0,

побудованi за наведеним способом, задаються формулою
4
u = ln .
? [x2 ? x2 ? x2 ? (x3 + h(?3 ))2 ]
0 1 2
4 В.I. Фущич, А.Ф. Баранник

4. Розглянемо нелiнiйне рiвняння Шродiнгера
??
(26)
i = ??? + F (|?|) ?, ? = ?(t, x1 , x2 , x3 ).
?t
Формула
i(x2 + x2 + x2 )
1 2 3
? = exp ?(?1 , ?2 )
4?t
є анзацем для рiвняння (25), якщо ?1 = t, а ?2 задовольняє рiвнянням
??2
(27)
i = ???2 ,
?t
2 2 2
??2 ??2 ??2
(28)
+ + = 0.
?x1 ?x2 ?x3

Редуковане рiвняння має вигляд
?? 3i
? ? ? ?F (|?|) = 0. (29)
i
??1 2?1
Таким чином, формула (26) задає сiм’ю розв’язкiв нелiнiйного багатовимiр-
ного рiвняння Шродiнгера (25), якщо ? задовольняє (29), а ?2 є розв’язком (27),
(28).

1. Фущич В., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраичес-
кие исследования в математической физике, Киев, Институт математики, 1981, 6–28.
2. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
3. Фущич В.И., Симметрия и точные решения многомерных нелинейных волновых уравне-
ний, Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
4. Смирнов В.И., Соболев С.Л., Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний,
Труды сейсмического института АН СССР, 1932, 20, 37–42.
5. Fushchych W., Zhdanov R., Revenko I., On the general solution of the d’Alambert equa-
tion with nonlinear eikonal constraint, in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical
Physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1992, 68–90.
6. Шульга М., Симметрия и некоторые частные решения уравнения Даламбера с нели-
нейным условием, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнения математической
физики, Київ, Iн-т матем., 1985, 36–38.
7. Фущич В., Баранник Л., Баранник А., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и
редукция нелинейных уравнений, Киев, Наукова думка, 1991, 300 c.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 5–9.


Симетрiйна редукцiя як метод
розмноження розв’язкiв систем лiнiйних
диференцiальних рiвнянь
В.I. ФУЩИЧ, Л.Л. БАРАННИК

We propose to use the symmetry reduction method to reproduce solutions for systems
of linear di?erential equations on their traces with respect to generators of invari-
ance algebra. By means of this approach, new exact solutions of the one-dimensional
Schr?dinger equation with potential are constructed.
o


Постановка задачi. Нехай S — система лiнiйних диференцiальних рiвнянь з
n незалежними змiнними x1 , . . . , xn i m шуканими функцiями u1 , . . . , um . Кожен
лiнiйний оператор симетрiї [1]

?
Y = ?i (x) + B(x), x = (x1 , . . . , xn )
?xi
системи S переводить будь-який її розв’язок в розв’язок цiєї ж системи (по iнде-
ксах, що повторюються, проводиться пiдсумовування).
У цiй роботi метод редукцiї [2] буде використано для вiдтворення розв’язку
системи S за його образами вiдносно генераторiв алгебри симетрiї розглядуваної
системи. За допомогою цього пiдходу знайдено новi точнi розв’язки лiнiйного

стр. 1
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>