<<

. 10
( 70 .)



>>

e
of partial di?erential equations (7) is invariant under the extended Poincar? group
e
P (1, 3) if and only if it is equivalent to one of the following systems (for all cases
Fj = Fj (?1 , ?2 , ?3 ), j = 1, . . . , 4):
?1 ?2 ?2 ?2 ?3 ?2 ?4 ?2
?1 ?2 ?3 ?4
2u1 = F1 u1 2u2 = F2 u2 2u3 = F3 u3 2u4 = F4 u4
1. , , , ,
u?2 u?3 u?4
?1 = 1 1 , ?2 = ?1 , ?3 = 1 1 ;
1
u? u?
u3
2 4
2 u1
2u1 = F1 exp ? u1 , 2u2 = F2 exp (?2 ? 2)
2. ,
b b
u1 u1
2u3 = F3 exp (?3 ? 2) , 2u4 = F4 exp (?4 ? 2) ,
b b
?1 = ?2 u1 ? b ln u2 , ?2 = ?3 u1 ? b ln u3 , ?3 = ?4 u1 ? b ln u4 ;
u1 u1 u1
2u1 = F1 + F2 exp (?1 ? 2) , 2u2 = F2 exp (?1 ? 2)
3. ,
u2 u2 u2
u1 u1
2u3 = F3 exp (?2 ? 2) , 2u4 = F4 exp (?3 ? 2) ,
u2 u2
exp ?1 u1 exp ?2 u1 exp ?3 u1
u2 u2 u2
?1 = , ?2 = , ?3 =
;
u3 u2 u4
2 2
2u1 = (F1 + F2 u2 ) exp ? u2 , 2u2 = bF2 exp ? u2 ,
4.
b b
u2 u2
2u3 = F3 exp (?1 ? 2) , 2u4 = F4 exp (?2 ? 2) ,
b b
?1 = 2bu1 ? u2 , ?2 = ?1 u2 ? b ln u3 , ?3 = ?2 u2 ? b ln u4 ;
2
u3 u3
2u1 = (F1 + F2 u3 ) exp (?1 ? 2) , 2u2 = bF2 exp (?1 ? 2)
5. ,
b b
2 u3
2u3 = F3 exp ? u3 , 2u4 = F4 exp (?2 ? 2) ,
b b
u1
?1 = b ln u2 ? ?1 u3 , ?2 = b ? u3 , ?3 = b ln u4 ? ?2 u3 ;
u2
44 W.I. Fushchych, P.V. Marko, R.Z. Zhdanov

u2 u1 u2
2u1 = exp (?1 ? 2)
6. F1 + F2 + F3 ,
u3 u3 u3
u2 u2
2u2 = F2 + F3 exp (?1 ? 2) ,
u3 u3
u2 u2
2u3 = F3 exp (?1 ? 2) , 2u4 = F4 exp (?2 ? 2) ,
u3 u3
2
u2 u1 u2 u2
? ln u3 , ?2 = 2 ? ? ln u4 ;
?1 = ?1 , ?3 = ?2
u3 u3 u3 u3
2u1 = F1 + F2 ?0 + F3 ?2 exp(?2?0 ),
7. 0
2u2 = (F2 + 2F3 ?0 ) exp(?2?0 ),
2u3 = 2F3 exp(?2?0 ), 2u4 = F4 exp {(? ? 2)?0 } ,
u2 u3
u3 u2 u3
, ?1 = 2u2 ? , ?2 = u1 ?
3
+ 3,
?0 =
3b2
b b b
?3 = ?u3 ? b ln u4 ;
a?2 u1
1
2u1 = (u2 + u2 )? 2 (F1 u2 + F2 u1 ) exp
8. arctan ,
1 2
b u2
a?2 u1
1
2u2 = (u2 + u2 )? 2 (F2 u2 ? F1 u1 ) exp arctan ,
1 2
b u2
?1 ? 2 ?2 ? 2
u1 u1
2u3 = F3 exp , 2u4 = F4 exp
arctan arctan ,
b u2 b u2
exp ?1 arctan u1 exp ?2 arctan u1
(u2 + u2 )?1 b u2 b u2
1 2
?1 = , ?2 = , ?3 = ;
u2a u3 u4
3
a?2
b b
2u1 = F1 cos
9. u3 + F2 sin u3 exp u3 ,
c c c
a?2
b b
2u2 = F2 cos u3 ? F1 sin u3 exp u3 ,
c c c
2 u3
2u3 = F3 exp ? u3 , 2u4 = F4 exp (? ? 2) ,
c c
u3 u1 u3
?1 = ln(u2 + u2 ) ? 2a , ?2 = arctan ? b , ?3 = ?u3 ? c ln u4 ;
1 2
c u2 c
u1 u1 u1
2u1 = F1 + F2 exp (?1 ? 2) , 2u2 = F2 exp (?1 ? 2)
10. ,
u2 u2 u2
u3 u3 u3
2u3 = F3 + F4 exp (?2 ? 2) , 2u4 = F4 exp (?2 ? 2) ,
u4 u4 u4
exp ?1 u1 exp ?2 u3 u1 u3
u2 u4
?;
?1 = , ?2 = , ?3 =
u2 u4 u2 u4
u3 u2 u1 u3
2u1 = exp (? ? 2)
11. F1 + F2 + F3 + F4 ,
u4 u4 u4 u4
u3 u2 u3
2u2 = exp (? ? 2)
F2 + F3 + F4 ,
u4 u4 u4
u3 u3 u3
2u3 = exp (? ? 2) , 2u4 = F4 exp (? ? 2)
F3 + F4 ,
u4 u4 u4
Symmetry classi?cation of multi-component scale-invariant wave equations 45

exp ? u3 2 3
u2 u3 u1 u3 u2 u3
u4
?2 = 2 ? ?3 2 ;
?1 = , , ?3 = 3 +
u4 u4 u4 u4 u4 u4
a1 ? 2 u1
1
2u1 = (u2 + u2 )? 2 (F1 u2 + F2 u1 ) exp
12. arctan ,
1 2
b1 u2
a1 ? 2 u1
1
2u2 = (u2 + u2 )? 2 (F2 u2 ? F1 u1 ) exp arctan ,
1 2
b1 u2
u3 u3 u3
2u3 = F3 + F4 exp (? ? 2) , 2u4 = F4 exp (? ? 2) ,
u4 u4 u4
exp ? u3
u1 u3 u4
?b ,
?1 = arctan ?2 = ,
u2 u4 u4
u3
1
?3 = (u2 + u2 ) 2 exp ?a ;
1 2
u4
a1 ? 2 u1
1
2u1 = (u2 + u2 )? 2 (F1 u2 + F2 u1 ) exp
13. arctan ,
1 2
b1 u2
a1 ? 2 u1
1
2u2 = (u2 + u2 )? 2 (F2 u2 ? F1 u1 ) exp arctan ,
1 2
b1 u2
a2 ? 2 u3
1
2u3 = (u2 + u2 )? 2 (F3 u4 + F4 u3 ) exp arctan ,
3 4
b2 u4
a2 ? 2 u3
1
2u4 = (u2 + u2 )? 2 (F4 u4 ? F3 u3 ) exp arctan ,
3 4
b2 u4
exp arctan a1 u2
1 u1
u1 u3 b
? b1 arctan ,
?1 = b2 arctan ?2 = ,
1
u2 u4 (u2 + u2 ) 2
1 2

exp arctan a2 u4
2 u3
b
?3 = ;
1
(u2 + u2 ) 2
3 4
u1
2u1 = 2u2 = F2 ?0 ,
14. F1 + F2 ?0 ,
u2
u3
2u3 = 2u4 = F4 ?0 ,
F3 + F4 ?0 ,
u4
au1
?0 exp
u1 bu1 u2
?0 = exp (a ? 2) sec , ?1 = ,
u2 u2 u2
au3
?0 exp u1 u3
u4
?;
?2 = , ?3 =
u4 u2 u4
u2 u1 u2
2u1 = exp (? ? 2)
15. F1 + F2 + F3 ,
u3 u3 u3
u2 u2
2u2 = F2 + F3 exp (? ? 2) ,
u3 u3
u2 u2
2u3 = F3 exp (? ? 2) , 2u4 = F4 exp ?2 ,
u3 u3
2
u2 u1 u2 u2
?1 = ? ? ln u3 , ?2 = 2 ? ? u4 ;
, ?3 = b
u3 u3 u3 u3
46 W.I. Fushchych, P.V. Marko, R.Z. Zhdanov

u4 u4
2u1 = (F1 + F2 u4 ) exp (? ? 2) 2u2 = bF2 exp (? ? 2)
16. , ,
b b
2 2
2u3 = (F3 + F4 u4 ) exp ? u4 , 2u4 = bF4 exp ? u4 ,
b b
u1 u1
?1 = ? ? ln u2 , ?2 = b ? u4 , ?3 = 2bu3 ? u2 ; 4
u2 u2
?2 ?3
2u1 = F1 + F2 ?0 + F3 0
+ F4 0 exp(?2?0 ),
17.
2 6
2
?
2u2 = F2 + F3 ?0 + F4 0 exp(?2?0 ),
2

<<

. 10
( 70 .)



>>