<< Предыдущая

стр. 2
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

рiвняння Шрoдiнгера з потенцiалом.
Обгрунтування пiдходу. Надалi, говорячи про алгебру симетрiй системи S,
ми маємо на увазi алгебру симетрiй в сенсi Лi [1–3]. Припустимо, що для S iснує
нетривiальна алгебра симетрiй. Нехай вона породжується скiнченновимiрною ал-
геброю Лi K операторiв вигляду
? ?
(1)
?i (x) + bkq (x)uq
?xi ?uk
i операторами
?
X = fj (x) ,
?uj

де u = f1 (x), . . . , fm (x) є довiльним розв’язком системи S. Для проведення
симетрiйної редукцiї нам потрiбнi тiльки такi пiдалгебри Лi алгебри K, якi не
мiстять операторiв виду (1) з умовою ?i (x) = 0 для всiх i = 1, . . . , n. Нехай L —
одна з цих пiдалгебр i нехай Y1 , Y2 , . . . , Ys — її базис. Припустимо, що
?
(2)
[Y? , Y? ] = C?? Y? (?, ?, ? = 1, 2, . . . , s).

Доповiдi НАН України, 1996, № 12, С. 44–49.
6 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

Означення. Слiдом розв’язку f1 (x), . . . , fm (x) на операторовi Y? будемо на-
(?) (?)
зивати такий розв’язок f1 (x), . . . , fm (x) системи S, що

? ?
(?)
Y? , fj (x) = fj (x) .
?uj ?uj
Якщо
? ?
?
+ b? (x)uq
Y? = ?i (x) ,
kq
?xi ?uk
то
?fj
(?)
? b? fq .
?
(3)
fj = ?i (x) jq
?xi
(?) (?)
Слiд f1 (x), . . . , fm (x) є, очевидно, образом розв’язку f1 (x), . . . , fm (x)
вiдносно оператора
?
? B ? (x),
?
?i (x)
?xi
де

B ? (x) = (b? (x)).
kq

Твердження 1. Послiдовнiсть розв’язкiв (f1? , . . . , fm? ) (? = 1, . . . , s) системи
S є послiдовнiстю слiдiв деякого розв’язку системи S на генераторах Y1 , . . . , Ys
вiдповiдно алгебри L тiльки тодi, коли
?
Y? (fj? ) ? Y? (fj? ) = C?? fj? (j = 1, . . . , m; ?, ?, ? = 1, . . . , s).

Справедливiсть твердження 1 випливає з комутацiйних спiввiдношень (2).
Твердження 2. Розв’язок системи S є L-iнварiантним тодi i тiльки тодi,
коли його слiди на генераторах цiєї пiдалгебри є нульовими.
Твердження 3. Розв’язки u = f (x) i u = f (x) системи S мають однаковi
слiди на вiдповiдних генераторах пiдалгебри L тодi i тiльки тодi, коли розв’язок
u = f (x) ? f (x) є L-iнварiантним.
На пiдставi твердження 3 розв’язок вiдтворюється за своїми слiдами на гене-
раторах алгебри L не однозначно, а з точнiстю до доданкiв, що є L-iнварiантними
розв’язками (будемо говорити: з точнiстю до L-iнварiантних розв’язкiв).
Теорема. Для того, щоб розв’язок (f1 , . . . , fm ) системи S мав слiд (f1? , . . . ,
fm? ) на генераторi Y? (? = 1, . . . , s) пiдалгебри L, необхiдно i достатньо, щоб
? ?
(f1 , . . . , fm ) був L-iнварiантним розв’язком, де L — алгебра Лi з базисом
?
?
Y? = Y? + fj? (? = 1, . . . , s).
?uj
Доведення. Нехай

(4)
uj = fj (x) (j = 1, . . . , m)
Симетрiйна редукцiя як метод розмноження розв’язкiв 7

?
є L-iнварiантним розв’язком системи S. Тодi
? ?fj ?fj
?
Y? (uj ? fj ) = b? uq + fj? ? ?i = b? fq + fj? ? ?i
?
= 0,
jq jq
?xi ?xi
(4)

звiдки випливає, що
?fj (3) (?)
? b? fq = fj .
?
fj? = ?i jq
?xi
Це означає, що розв’язок (f1? , . . . , fm? ) є слiдом розв’язку (f1 , . . . , fm ) на Y?
(? = 1, . . . , s). Аналогiчно доводиться i обернене твердження теореми.
?
Наслiдок. L-iнварiантнi розв’язки системи S i тiльки вони мають ту вла-
стивiсть, що їх слiд на Y? збiгається з (f1? , . . . , fm? ) (? = 1, . . . , s).
Розмноження розв’язкiв рiвняння Шродiнгера. Як встановлено в [4, 5],
одновимiрне рiвняння Шродiнгера з потенцiалом
2
?2?
??
=? (5)
i + V (x)?
2m ?x2
?t
має нетривiальну алгебру симетрiй тодi i тiльки тодi, коли V (x) збiгається з
однiєю з таких функцiй:
c c
? k 2 x2 ,
+ k 2 x2 , (6)
ax + b, 2 2
x x
a, b, c, k — дiйснi числа, причому k ? 0, a = 0 або a = b = 0.
Домовимося розв’язком рiвняння (5) називати пару дiйсних функцiй f (t, x),
g(t, x), пов’язаних з хвильовою функцiєю ?(t, x) формулою ?(t, x) = f (t, x) +
ig(t, x).
Рiвняння (5) рiвносильне системi Шродiнгера
?2g
?f
? gV (x) = 0,
+
?x2
?t (7)
?g ? 2 f
? + f V (x) = 0.
?x2
?t
Використовуючи доведену теорему та наслiдок з неї, знайдемо деякi розв’язки
системи (7) для потенцiалiв (6).
1. Випадок V (x) = 0. При цiй умовi система (7) є iнварiантною вiдносно
операторiв
? ? ? ?
D = 2t +x , Z=f +g .
?t ?x ?f ?g
Вiдтворимо розв’язок системи (7) за його слiдом f = x2 ? 2t, g = x2 + 2t на
операторi D + Z. Для цього згiдно наслiдку з теореми потрiбно знайти розв’язки
системи (7), iнварiантнi вiдносно оператора
? ?
?
Y = D + Z + (x2 ? 2t) + (x2 + 2t) .
?f ?g
?
Оператор Y має такi основнi iнварiанти:
??2 x2
?+2
f x?1 ? gx?1 ?
x, x, ?= .
? ? t
8 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

Вiдповiдний їм анзац

f = x?1 (?) + (? ? 2)t, (8)
g = x?2 (?) + (? + 2)t

редукує систему (7) до системи

?? ?1 + 6?2 + 4? ?2 = 0,
? ? ?
(9)
? ?2 + 6?1 + 4? ?1 = 0.
? ? ?

Система (9) має розв’язок

?v
2 ? 2 ? ?
?1 = ?? v cos ? ? v sin ? 2? ?S ? ?C ,
4 4 4 4
? ?
v
2 ? 2 ? ? ?
?2 = ?? v sin + ? v cos + 2? ?C + ?S ,
4 4 4 4
? ?

де C ? , S ? — вiдповiдно косинус- i синус-iнтеграл Френеля [6]. Пiдставляючи
4 4
вирази для ?1 i ?2 в формули (8), одержуємо вiдтворений розв’язок рiвняння
Шредiнгера (5)

v
v x2 x2 x2 x2
u = {x ? 2t} ? 2 t ? cos ? 2?x ?S ? ?C
2
+ ? sin ,
4t 4t 4t 4t
v
v 2
x2 x2 x2
x
v = {x + 2t} ? 2 t ? sin ? ? cos
2
+ 2?x ?C + ?S .
4t 4t 4t 4t

Зауважимо, що у фiгурних дужках подано компоненти вихiдного розв’язку. Вна-
слiдок лiнiйностi i однорiдностi рiвняння (5) пiсля вилучення з поданих виразiв
цих компонент ми знову одержимо розв’язок рiвняння (5).
?
2. Випадок W (x) = ax + b (a = 0). Якщо на операторi T = ?t розв’язок має
слiд

a2 3 a2 3
f = C1 cos ?atx ? t ? bt + C2 , g = C1 sin ?atx ? t ? bt + C2 ,
3 3
де
v v
32 3? 32 ?
+ 2?q або C1 = ? a, C2 = ? + 2?q, q ? Z,
C1 = a, C2 =
2 4 2 4
то з точнiстю до T -iнварiантних розв’язкiв його можна подати у виглядi
t
a2 3
cos ?atx ? t ? bt + C2 dt +
f = C1
3
0
2
(1)
1/2 3/2
+ (?ax ? b) Z1/3 ? (?ax ? b) +
3a
1+2l
3/2
? 3a (?ax ?
1
? l
(?1) b)
1 1 2
+? ? ,
? 4 +l ? 5
2 3 3 +l
3 3
l=0
Симетрiйна редукцiя як метод розмноження розв’язкiв 9

t
a2 3
sin ?atx ? t ? bt + C2 dt +
g = C1
3
0
2
(2)
1/2 3/2
+ (?ax ? b) Z1/3 ? (?ax ? b) +
3a
1+2l
3/2
(?1)l ? 3a (?ax ? b)
1
?

<< Предыдущая

стр. 2
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>