<< Предыдущая

стр. 24
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

8. Basarab-Horwath P., Barannyk L.L., Fushchych W., Some exact solutions of a conformally
invariant nonlinear Schr?dinger equation, Preprint, Link?ping University, 1997.
o o
9. Geu?ret Ph., Vigier J.-P., Relativistic wave equations with quantum potential nonlinearity, Lett.
e
Nuovo Cimento, 1983, 38, 125–128.
10. Guerra F., Pusterla M., Nonlinear Klein–Gordon equation carrying a nondispersive solitonlike
singularity, Lett. Nuovo Cimento, 1982, 35, 256–259.
11. Mackinnon L., A nondispersive de Broglie wave packet, Foundations of Physics, 1978, 8, 157–
176.
12. Bluman G.W., Kumei S., Symmetries and di?erential equations, New York, Springer, 1989.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 105–119.
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної
квантової механiки
В.I. ФУЩИЧ
We describe local and nonlocal symmetries of linear and nonlinear wave equations
and present a classi?cation of nonlinear multi-dimensional equations compatible with
the Galilei relativity principle. We propose new systems of nonlinear equations for
the description of physical phenomena in classical and quantum mechanics.
Описанi локальнi i нелокальнi симетрiй лiнiйних та нелiнiйних хвильових рiв-
нянь, класифiкацiї нелiнiйних багатовимiрних рiвнянь, сумiсних з принципом
вiдносностi Галiлея. Запропоновано новi системи нелiнiйних рiвнянь для опису
фiзичних процесiв в класичнiй та квантовiй механiцi.

Проблема побудови нелiнiйних математичних моделей для опису процесiв в
механiцi фiзицi, бiологiї була i є однiєю з головних задач математичної фiзики
[1–4]. Сьогоднi ми не можемо вважати, що класичнi рiвняння Ньютона–Лоренца,
Даламбера, Нав’є–Стокса, Максвелла, Шродiнгера, Дiрака та iншi рiвняння руху
послiдовно i повно описують реальнi фiзичнi процеси. У зв’язку з цим досить
сказати, що нинi ми не знаємо жодного рiвняння руху в квантовiй механiцi для
двох частинок, яке було б сумiсне з принципом вiдносностi Лоренца–Пуанкаре–
Айнштайна. Широкий спектр рiвнянь, якi запропонованi багатьма дослiдниками,
як правило мають принциповi недолiки i часто приводять до абсурдних фiзичних
наслiдкiв.
Характерна особливiсть сучасного математичного опису реальних процесiв
полягає у тому, що рiвняння руху для частинок, хвиль, полiв є складними нелi-
нiйними системами диференцiальних i iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Як бу-
дувати такi рiвняння? Як розв’язувати i дослiджувати такi системи? Очевидно,
що пiдхiд Лагранжа–Ойлера (механiчний у своїй основi) до побудови рiвняння
руху у багатьох випадках є обмеженим. Досить нагадати, що в рамках класично-
го методу Лагранжа–Ойлера неможливо одержати без переходу до потенцiалiв
рiвняння Максвелла для електромагнiтних хвиль.
В наших роботах [3–12] запропоновано нелагранжевий пiдхiд для побудови i
класифiкацiї рiвнянь руху. В основi цього пiдходу лежать принципи вiдносностi
Галiлея та Лоренца–Пуанкаре–Айнштайна. Короткий огляд деяких результатiв
у цьому напрямку подається далi.
1. Короткий коментар про вiдкриття Шродiнгера. Перш за все нага-
дуємо, що 70 рокiв тому Ервiн Шродiнгер вiдкрив рiвняння руху i цим самим
заклав математичну основу квантової механiки. 21 червня 1926 р. Шродiнгер
представив до друку роботу [2], в якiй запропонував рiвняння
p2
S? = 0, S = p0 ? a ? V (t, x),
2m (1)
? ?
, pa = ?i
p0 = i , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
де ? = ?(x0 = t, x) — комплекснозначна хвильова функцiя, V — потенцiал.
Укр. мат. журн., 1997, 49, № 1, C. 164–177.
106 В.I. Фущич

Ця робота була останньою з серiї чотирьох статею пiд однiєю назвою, в яких
розв’язана проблема квантування в атомнiй фiзицi.
Чи можна сказати, що Ервiн Шродiнгер вивiв своє рiвняння?
Знайомство з оригiнальною роботою [2] дає нам однозначну вiдповiдь на це
питання. Шродiнгер не вивiв рiвняння. Рiвняння (1) було написано без строгого
обгрунтування, бiльше того, Шродiнгер вважав, що правильним рiвнянням ру-
ху у квантовiй механiцi повинно бути рiвняння четвертого порядку для дiйсної
функцiї, а не рiвняння (1) для комплексної функцiї. Шродiнгер розглядував рiв-
няння (1), як деяке допомiжне, промiжне рiвняння, яке дає змогу спрощувати
обчислення.
В основi попереднiх його робiт були рiвняння
2(E ? V ) ? 2 ?
?? ? (2)
= 0,
E2 ?t2
8? 2
(E ? V )? = 0, (3)
?? + 2


де ? — дiйсна функцiя.
Коли потенцiал V не залежить вiд часу, Шродiнгер виводить з (2), (3) хви-
льове рiвняння четвертого порядку
2
8? 2 16? 2 ? 2 ?
?? (4)
V ?+ = 0,
2 2 ?t2


де ? — дiйсна функцiя.
Про рiвняння (4) Шродiнгер пише: “. . . рiвняння (4) є єдиним i загальним
хвильовим рiвнянням для польового скаляра ? . . . хвильове рiвняння (4) за-
ключає в собi закон дисперсiї i може служити основою розвинутої мною теорiї
консервативних систем. Його узагальнення на випадок потенцiалу вимагає де-
яку обережнiсть . . . спроба перенести рiвняння (4) на неконсервативнi системи
зустрiчається з складнiстю, яка виникає через член ?V . Тому далi я пiду по iн-
?t
шому шляху, бiльш простому з обчислювальної точки зору. Цей шлях я вважаю
принципово самим правильним. (4) є рiвняння коливання пластинки.”
У листi до Лорентца (6 червня 1926 р., Цюрiх) Щродiнгер пише: “. . . з рiвнянь
(2) i (3) ми одержуємо загальне хвильове рiвняння (4), яке не залежить вiд кон-
станти iнтегрування E. Воно точно спiвпадає з рiвнянням коливання пластинки,
яке мiстить квадрат оператора Лапласа. Вiдкриття цього простого факту забра-
ло у мене багато часу.”
У листi до Планка (14 червня 1926 р., Цюрiх) Щродiнгер пише: “. . . отже
справжнiм хвильовим рiвнянням є рiвняння четвертого порядку вiдносно коор-
динат . . .”.
I далi Шродiнгер виписує рiвняння (1) для комплексної функцiї ?. Якраз у
цьому мiсцi статтi [2] Шродiнгер робить генiальний (i алогiчний) крок, записуючи
рiвняння (1) для комплексної функцiї.
Вiдносно рiвняння (1) Шродiнгер пише: “Деяка труднiсть, без сумнiву, виникає
в застосуваннi комплексних хвильових функцiй. Якщо вони принципово необхi-
днi, а не є тiльки спосiб полегшення (спрощення) обчислень, то це буде означати,
що iснують принципово двi функцiї, якi тiльки разом дають опис стану системи
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 107

. . . Справжнє хвильове рiвняння, найбiльш вирогiдно, має бути рiвняння четвер-
того порядку. Для неконсервативної системи ?V = 0 менi, одначе, не вдалось
?t
знайти таке рiвняння”.
З наведеного ми можемо зробити такi висновки.
Висновок 1. В 1926 роцi Шродiнгер вважав, що правильним рiвнянням руху в
квантовiй механiцi має бути рiвняння четвертого порядку. Для випадку, коли
потенцiал не залежить вiд часу, це рiвняння має вигляд (4).
Висновок 2. В червнi 1926 року Шродiнгер вважав, що рiвняння (1), першого
порядку за часом i другого порядку за просторовими змiнними, для комплексної
функцiї є промiжним (не основним), яке треба використати тiльки для спро-
щення обчислень.
Висновок 3. Шродiнгер вважав, що у тому випадку, коли потенцiал V зале-
жить вiд часу, рiвняння руху має бути також четвертого порядку для дiйсної
функцiї (йому його не вдалось одержати).
Висновок 4. Шродiнгер нiколи пiзнiше не обговорював рiвняння четвертого
порядку.
Сьогоднi можна однозначно сказати, що Шродiнгер помилявся вiдносно важ-
ливостi (фундаментальностi) рiвнянь (1), (4). Дiйсно, рiвняння (1) є основним
рiвнянням руху квантової механiки, а рiвняння (4) не може бути рiвнянням руху,
оскiльки воно не сумiсне з принципом вiдносностi Галiлея.
Це твердження є наслiдком симетрiйного аналiзу рiвняннь (1) i (4) [3]: рiвнян-
ня (1) iнварiантне вiдносно групи Галiлея. У зв’язку з наведеним у наступному
параграфi дано вiдповiдь на такi питання:

1. Якi лiнiйнi рiвняння другого, четвертого, n-го порядку сумiснi з принципом
вiдносностi Галiлея?
2. Чи iснують лiнiйнi рiвняння першого порядку за часовою змiнною i четвер-
того порядку за просторовими змiнними, якi сумiснi з принципом вiдносно-
стi Галiлея?

Пiд принципом вiдносностi Галiлея ми розумiємо iнварiантнiсть (у сенсi Лi)
рiвняння вiдносно перетворень

t > t = t, x > x = x + vt, (5)

коли хвильова функцiя перетворюється за лiнiйним зображенням групи (5) [4]:

? > ? = Tg ?. (6)

Перш нiж дати вiдповiдь на сформульованi питання наведемо добре вiдомi
факти про локальну симетрiю лiнiйного вiльного (V = 0) рiвняння Шродiнге-
ра (1).
Теорема 1 [3]. Максимальною (у сенсi Лi) алгеброю iнварiантностi (1) є 13-
вимiрна алгебра Лi

AG2 (1, 3) = P0 , Pa , Jab , Ga , D, ?, Q ,
108 В.I. Фущич

з базисними елементами
? ?
= p0 , Pa = ?i = pa , Jab = xa pb ? xb pa ,
P0 = i
?x0 ?xa
Ga = tpa ? mxa , a = 1, 2, 3, D = 2x0 p0 ? xa pa , (7)
in m ? ?
? ??
? = x2 p0 ? x0 xa pa + x0 ? x2 , Q = i ? .
???
0 a
2 2 ??
Оператори Ga породжують (генерують) перетворення Галiлея (5) i таке пере-
творення для хвильової функцiї
v2 t
? > ? = exp i vx + (8)
?(t, x) .
2 x>x+vt

Деталi доведення див. у [4] i цитованiй там лiтературi.
Ми вживаємо наступнi позначення:

AG(1, 3) = P0 , Pa , Jab , Ga — 10-вимiрна алгебра Галiлея;
AG1 (1, 3) = P0 , Pa , Jab , Ga , D — розширена алгебра Галiлея;
AG2 (1, 3) = P0 , Pa , Jab , Ga , D, ? — повна алгебра Галiлея;
AE(1, 3) = P0 , Pa , Jab — алгебра Евклiда;
AE1 (1, 3) = P0 , Pa , Jab , D — розширена алгебра Евклiда.

Теорема 2 [5]. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (4 ) (V = 0)
є розширена алгебра Евклiда AE1 (1, 3).
З наведених теорем маємо такi наслiдки.
Наслiдок 1. Рiвняння (4) несумiсне з принципом вiдносностi Галiлея (5). Це
означає, що (4) не може розглядуватись, як рiвняння руху частинки (поля) в
квантовiй механiцi. Вся множина розв’язкiв рiвняння (4) не iнварiантна вiд-
носно перетворень Галiлея (5), (6).
Зауважимо, що будь який гладкий розв’язок рiвняння (1) є розв’язком рiв-
няння (4) (при V = 0), тобто множина розв’язкiв (4) мiстить у собi розв’язки (2).
2. Виведення рiвняння Шродiнгера i рiвняння високого порядку.
Виведемо рiвняння Шродiнгера з вимоги iнварiантностi рiвняння вiдносно пере-
творень Галiлея (5), (8) i групи часових i просторових трансляцiй.
Розглянемо довiльне лiнiйне рiвняння першого порядку за часом i другого
порядку за просторовими змiнними
?2?
?? ??
(9)
i = alk (t, x) + bl (t, x) + c(t, x)?,
?t ?xl ?xk ?xl
де alk (t, x), bl (t, x), c(t, x) — довiльнi гладкi функцiї.
Теорема 3 [5, 6]. Серед множини рiвнянь (9), iнварiантних вiдносно групи (5)
i групи трансляцiй, для комплексної функцiї ? є тiльки одне рiвняння, яке ло-
кально еквiвалентне рiвнянню Шродiнгера (1).
Отже, клас лiнiйних рiвнянь, якi сумiснi з класичним принципом вiдносностi
Галiлея, зводиться до одного рiвняння (1).
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 109

Зауваження 1. Якщо в (9) ? — дiйсна функцiя, то єдиним рiвнянням сумiсним
з принципом Галiлея є рiвняння теплопровiдностi
?u
(10)
= ??u,
?t
? — довiльний параметр.
В [7] запропоноване таке узагальнення рiвняння (V = 0) Шродiнгера (1)

?1 S + ?2 S 2 + · · · + ?n S n ? = ??,
(11)
2 n
p2 p2
p0 ? a p0 ? a
2 n
S= , ..., S = ,
2m 2m
?, ?1 , ?2 , . . . , ?n — довiльнi параметри.
Рiвняння (11) сумiсне з принципом вiдносностi Галiлея i iнварiантне вiдносно
алгебри Галiлея AG(1, 3), але не iнварiантне вiдносно маштабного D i проектив-
ного ? операторiв (?1 = 0, ?2 = 0).
Повну iнформацiю про симетрiю рiвняння (11) дає наступна теорема.
Теорема 4 [13]. Серед лiнiйних рiвнянь довiльного порядку є тiльки рiвняння
(11), яке iнварiантне вiдносно алгебри AG(1, 3). У випадку, коли ? = ?1 = ?2 =
· · · = ?n?1 = 0, рiвняння (11) iнварiантне вiдносно алгебри AG2 (1, 3).
Таким чином, клас лiнiйних галiлей-iнварiантних рiвнянь довiльного порядку
досить вузький i зводиться до рiвняння (11). Всi iншi галiлей-iнварiантнi рiвня-
ння локально еквiвалентнi рiвнянню (11).
3. Алгебра Лоренца для рiвняння Шродiнгера. Лiнiйне рiвняння Шро-
дiнгера (коли V = 0 i при деяких специфiчних видах потенцiалiв V (t, x)) має крiм
локальної (теорема 1) i нелокальну симетрiї (див. [4] i цитовану там лiтературу).
Наведемо одну з таких незвичних (нелокальних) симетрiй.
Теорема 5 [8]. Рiвняння Шродiнгера (1) (коли V = 0) iнварiантне вiдносно
алгебри Лоренца AL(1, 3) = Jab , J0a , базиснi елементи якої задаються опера-
торами
1
Jab = xa pb ? xb pa , J0a = (pGa + Ga p),
2m
(12)
p ? (p2 + p2 + p2 )1/2 = (??)1/2 ,
1 2 3
Ga ? x0 pa ? mxa , [J0a , J0b ] = ?iJab .
Важливо пiдкреслити, що псевдодиференцiальнi оператори J0a не генерують
нi перетворення Лоренца, нi перетворення Галiлея:
xa > xa = exp{iJ0a va }xa exp{?J0b vb } = лоренц-перетворення, (13)
x0 > x0 = exp{iJ0a va }x0 exp{?J0b vb } = x0 . (14)
Час при таких нелокальних перетвореннях не мiняється.
4. Нелокальна галiлей-симетрiя еволюцiйного рiвняння четвертого

<< Предыдущая

стр. 24
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>