<< Предыдущая

стр. 25
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

порядку. Розглянемо рiвняння першого порядку за часовою змiнною i четвер-
того порядку за просторовими змiнними
p4
p0 ? = H(p2 )?, H(p2 ) = a0 m0 + a2 p2 + a4 (15)
,
8
110 В.I. Фущич

p2 = p2 = p2 + p2 + p2 = ??, a2 = 2m0 , a0 , a2 , a4 , m0 — довiльнi дiйснi константи.
1
a 1 2 3
Гамiльтонiан (15), коли a0 = 1, a4 = ?m?3 , являє собою першi три члени
0
розкладу в ряд Тейлора релятивiстського гамiльтонiана

p2 p4
H(p2 ) = (p2 + m2 )1/2 = m0 + ? .
0
8m3
2m0 0

У тому випадку, коли a0 = a4 = 0, рiвняння (15) спiвпадає з рiвнянням Шро-
дiнгера (1).
З стандартної (загально прийнятої) фiзичної точки зору рiвняння (15) не мож-
на розглядувати як рiвняння руху в квантовiй механiцi, оскiльки воно не iнва-
рiантне нi вiдносно групи Галiлея, нi вiдносно групи Лоренца. Тобто нi один з
вiдомих принципiв вiдносностi (Галiлея або Лоренца–Пуанкаре–Айнштайна) не
виконується для рiвняння (15).
Застосовуючи метод Лi, можна довести, що максимальною алгеброю iнварiан-
тностi рiвняння (15) є алгебра Евклiда AE(1, 3) = P0 , Pa , Jab , I , I — одиничний
оператор. Виявляється, що крiм локальної симетрiї рiвняння (15) має широку
нелокальну симетрiю. Зокрема, рiвняння (15) iнварiантне вiдносно алгебри Галi-
лея AG(1, 3), базиснi елементи (оператори Ga ) якої задаються операторами 3-го
порядку. Бiльш точно, має справедливе наступне твердження.
Теорема 6 [9, 10]. Рiвняння (15) iнварiантне вiдносно 20-вимiрної алгебри Лi,
базиснi елементи якої задаються операторами
? ?
Pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa , (16)
P0 = i , ,
?t ?xa

Ga = (tVa ? xa )m0 , (17)

p2
1
(18)
Va = 1 + a4 pa ,
2m2
m0 0

1
Rab = a4 Pa Pb + ?ab P 2 . (19)
2

Оператори (16)–(19) задовольняють комутацiйнi спiввiдношення

[Jab , Gc ] = i(?ac Gb ? ?bc Ga ), [Pa , Gb ] = i?ab I, [Ga , Gb ] = 0,
[P0 , Ga ] = iVa , [Va , Gb ] = i(Rab ? a2 ?ab I),
[Jab , Rcd ] = i(?ac Rbd + ?bd Rac ? ?bc Rad ? ?ad Rbc ),
[Jab , Vc ] = i(?ac Vb ? ?bc Va ), [Ga , Rbc ] = ia4 (?ab Pc + ?bc Pa + ?ac Pb ).

Пiдкреслимо, що оператори (17)–(19) є операторами третього i другого поряд-
ку, а це означає, що вони породжують нелокальнi перетворення. Так, оператори
Галiлея Ga (17) генерують стандартнi локальнi перетворення для часу i коорди-
нат
t > t = exp(iua Ga )t exp(?iub Gb ) = t,
xa > xa = exp(ivb Gb )xa exp(?vl Gl ) = xa + va t,
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 111

i нелокальнi перетворення для хвильової функцiї [3]
u2 1
?(x) > ? (x) = exp im0 xa ua + t ? a4 tua Pa P 2 (20)
?.
2 2
Як добре вiдомо, швидкiсть частинки в релятивiстськiй механiцi визначається
за формулою
pa
, m = m(v 2 ), m = m0 (1 ? v 2 )?1/2 . (21)
va =
m
У механiцi, побудованiй на базi рiвняння (15), вiдповiдна формула має вигляд
a4 p2
pa
(22)
va = + pa .
m0 2
Якщо швидкiсть частинки задати формулою (21) i використати (22), то ми
одержуємо формулу залежностi маси, в новiй механiцi, вiд швидкостi
m a4
+ m3 v 2 ? 1 = 0. (23)
m0 2
Розв’язавши кубiчне рiвняння (23), ми одержимо (в залежностi вiд знака коефi-
цiєнта a4 ) такi формули:
3 1 ?
arctan v (24)
m = m0 sin , a4 < 0, ? = 1,
1 ? ?2
? 3
3 1
1 + ?2 ) , (25)
m = m0 sh ln(? + a4 > 0.
? 3
3/2
3
m3 |a4 |.
(v)2
?= 0
2
Отже, у квантовiй механiцi, побудованiй на рiвняннi (15), виконується не-
стандартний принцип вiдносностi Галiлея (формула (20)) i маса частинки (поля)
залежить вiд швидкостi згiдно формул (24), (25).
5. Принцип вiдносностi Галiлея i нелiнiйнi рiвняння типу Шродiнге-
ра. За останнi роки багато авторiв, виходячи з рiзних мотивiв i мiркувань, запро-
понували широкий спектр нелiнiйних узагальнень рiвнянь Шродiнгера. Багато з
нелiнiйних рiвнянь, запропонованих для опису нелiнiйних ефектiв в плазмi, опти-
цi, квантовiй механiцi, не задовольняють принципу вiдносностi Галiлея. У зв’яз-
ку з цим в серiї наших робiт [3, 4, 6, 7, 11] проведено симетрiйну класифiкацiю
нелiнiйних рiвнянь типу Шродiнгера, якi iнварiантнi вiдносно групи Галiлея та
рiзних її розширень.
У цьому пунктi наведемо деякi результати про класифiкацiю нелiнiйних рiв-
нянь типу Шродiнгера, якi мають таку ж симетрiю (або ширшу), як i лiнiйне
рiвняння Шродiнгера (1).
Розглянемо нелiнiйне рiвняння другого порядку
??(?? ?)
?? 1
? = F ?? ?, (?(?? ?))2 , ?(?? ?) ?, (26)
i + ?? + i ??
?t 2 2?
де ?, F — довiльнi гладкi функцiї.
112 В.I. Фущич

Теорема 7 [7, 11]. Рiвняння (26) у випадку, коли ? = 0, а функцiя F (?? ?) не
залежить вiд похiдних, iнварiантне вiдносно повної алгебри AG2 (1, n) з бази-
сними елементами (7) тодi i тiльки тодi, коли

F (?? ?) = ?|?|4/n , (27)

n — число просторових змiнних.
Теорема 8 [12]. Рiвняння (26) iнварiантне вiдносно алгебри AG2 (1, n) i опера-
тора I тодi i тiльки тодi, коли

|?|?|?|
?|?|
F ?? ?, (?(?? ?))2 , ?(?? ?) = ?(?? ?) = |?|2 , (28)
N ,
|?| (?|?|)2

де N — довiльна гладка функцiя.
В тому випадку, коли N = 1/2, ? = 0 рiвняння (26) набуває вигляду

?? 1 1 ?|?|
(29)
i + ?? = ?.
2 |?|
?t 2
Рiвняння (29) запропоновано у роботах [14–18]. Воно має унiкальну симетрiю.
Теорема 9 [19]. Рiвняння (29) iнварiантне вiдносно алгебри Лi з базисними
операторами
? ? ? ?
+ ??
, Pa = ?i
P0 = i , I=? ,
???
?t ?xa ??
Jab = xa Pb ? xb Pa , a, b = 1, 2, . . . , n
(30)
xa ? ?
? ??
Ga = tPa + Q, Q = i ? ,
???
2 ??
|x|
n nt
D = 2tP0 + xa Pa ? I, ? = t2 P0 + txa Pa + Q ? I,
2 4 2
? ?
G(1) = ?i ln P + xa P0 , D(1) = ?i ? Q + xa Pa ,
?a
a
? ?
? ? ?
?(1) = ? ln ? Q ? 2i ln ? xa Pa + |x|2 P0 + in ln ? I, (31)
? ? ?
|x|2
? n xa ?
Ka = txa P0 ? + it ln ? Pa + xa xb Pb ? xa I ? i ln ? Q.
2 ? 2 2 ?

Виписана алгебра еквiвалентна конформнiй алгебрi AC(2, n) в (2 + n)-ви-
мiрному просторi Мiнковського. Якщо вiд комплексної функцiї ? перейти до
амплiтуди-фази

? = A(t, x) exp{i?(t, x)},

то наведенi формули значно спрощуються. Алгебра симетрiї рiвняння (29) еквi-
валентна алгебрi симетрiї класичного рiвняння Гамiльтона [3]
?u ?u ?u
= .
?t ?xk ?xk
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 113

Отже, нелiнiйне рiвняння (29) має значно ширшу симетрiю, нiж лiнiйне рiвня-
ння Шродiнгера (1). Аналогiчний ефект має мiсце i для пуанкаре-iнварiантного
нелiнiйного хвильового рiвняння [16, 17]
2|?|
2? = (32)
?.
|?|
6. Нелокальна симетрiя лiнiйного пуанкаре–iнварiантного хвильо-
вого рiвняння. Сiмдесят рокiв тому, у 1926 р. майже одночасно сiм учених:
Шродiнгер, де Броль, Дондер ван Дунген, Клейн, Фок, Гордон i Кудар вiдкрили
рiвняння
(p2 ? p2 )u(x0 , x) = m2 u (33)
0 a

для скалярної комплексної функцiї u. У випадку, коли m = 0 (33) спiвпадає з
хвильовим рiвнянням Даламбера.
Вiдомо, що рiвняння (33) iнварiантне вiдносно алгебри Пуанкаре AP (1, 3) з
базисними елементами
P 0 = p0 , Pk = pk , k = 1, 2, 3,
(34)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , µ, ? = 0, 1, 2, 3,
тобто виконуються умови:
[p2 ? p2 ? m2 , Jµ? ] = 0, [p2 ? p2 ? m2 , Pµ ] = 0. (35)
0 a 0 a

Алгебра AP (1, 3) = Pµ , Jµ? являється максимальною (у сенсi Лi) алгеброю
iнварiантностi рiвняння (33).
Оператори J0a генерують стандартнi перетворення Лоренца
xµ > xµ = exp(iJ0a va )xµ exp(?iJ0b vb ) = перетворення Лоренца.
В [20] поставлено i дано позитивну вiдповiдь на таке питання: чи має рiвняння
(33) додаткову симетрiю, вiдмiнну вiд (34)?
Щоб виявити додаткову (нелокальну) симетрiю (33), перепишемо його у ви-
глядi системи двох рiвнянь першого порядку за часовою змiнною i другого по-
рядку за просторовими змiнними
??
i = H?,
?t
1
(E 2 + ?2 )?1 + i(E 2 ? ?2 )?2 ,
H= (36)
2?
?u
?1
E 2 = ?? + m2 , ? = 0, ? = , ??1 = i , ?2 = u,
?2 ?t
? — довiльна константа, ?1 i ?2 — (2 ? 2) матрицi Паулi.
Теорема 10 [20]. Рiвняння (36) iнварiантне вiдносно алгебри Пуанкаре, базиснi
оператори якої мають вигляд
(1) (1) (1)
Jab = xa pb ? xb pa = Jab , (37)
P0 = H, Pk = pk ,
1
(1)
J0a = x0 Pa ? (Hxa + xa H) = J0a . (38)
2
114 В.I. Фущич

Прямою перевiркою можна переконатись, що оператори (37), (38) задоволь-
няють умови
? ?
? H, J0a = 0, ? H, Jab = 0. (39)
i i
?t ?t
(1) (1)
Iстотна рiзниця мiж операторами J0a i J0a полягає у тому, що: J0a — оператори
другого порядку i генерують нелокальнi перетворення; J0a — оператори першого
порядку i генерують стандартнi локальнi перетворення Лоренца.
(1)
Пiдкреслимо, що оператори J0a генерують тотожне перетворення для часу,

<< Предыдущая

стр. 25
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>