<< Предыдущая

стр. 26
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1)
тобто час iнварiантний вiдносно операторiв J0a :
(1) (1)
t > t = exp(iJ0a va )t exp(?iJ0b vb ) = t. (40)
(1)
Просторовi перетворення змiнних xa , якi генеруються операторами J0a , не спiв-
падають з перетвореннями Лоренца:
(1) (1)
xk > xk = exp(iJ0a va )xk exp(?iJ0b vb ) = перетворення Лоренца. (41)

Таким чином ми встановили, що множина розв’язкiв рiвняння (33) має дуаль-
ну симетрiю:

1. Лоренцову (локальну) симетрiю. Час змiнюється при переходi вiд однiєї
iнерцiйної системи до iншої за формулами Лоренца.
2. Нелоренцову (нелокальну) симетрiю (40), (41). Час не змiнюється при пе-
реходi вiд однiєї iнерцiйної системи до iншої.

7. Нелокальна галiлей-симетрiя релятивiстського псевдодиференцi-
ального хвильового рiвняння. Розглянемо псевдодиференцiальне рiвняння

E ? (p2 + m2 )1/2 , (42)
p0 u = Eu, u = u(x0 , x).
a

Рiвняння (42) можна розглядувати як “корiнь квадратний з хвильового опера-
тора (33)” для скалярної комплексної функцiї u. Прямим обчисленням можна
переконатись, що рiвняння (42) iнварiантне вiдносно стандартного зображення
алгебри Пуанкаре (34) i не iнварiантне вiдносно стандартного зображення алге-
бри Галiлея (7).
Теорема 11 [9]. Рiвняння (42) iнварiантне вiдносно 11-вимiрної алгебри Галiлея
з такими базисними операторами:
p2 ? ?
(2) (2)
=? Pa = pa = ? Jab = xa pb ? xb pa ? Jab ,
(2)
P0 = , ,
2m 2m ?xa (43)
m
= tpa ? mxa , p a ? pa ,
G(2) (p2 2 1/2
E= +m ) .
a a
E
Доведення теореми зводиться до перевiрки умови iнварiнтностi

[p0 ? E, Ql ]u = 0, (44)

де Ql — будь який оператор з набору (43).
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 115

Оператори (43) задовольняють комутацiйнi спiввiдношення алгебри Галiлея;
(2)
— псевдодиференцiальнi оператори, якi генерують, на вiдмiну вiд стандар-
Ga
тних операторiв Ga , нелокальнi перетворення.
Отже, множина розв’язкiв рiвняння руху (42) для скалярної частинки (по-
ля) з позитивною енергiєю має нелокальну галiлеєву симетрiю, алгебра Лi якої
задається операторами (43).
8. Нелокальна галiлей-симетрiя рiвняння Дiрака. Вiдомо, що рiвняння
Дiрака
(45)
p0 ? = (?0 ?a pa + ?0 ?4 m)? = H(p)?
iнварiантне вiдносно алгебри Пуанкаре з базисними операторами (див., напри-
клад [3, 4])
? ?
Pk = ?i
P0 = i , ,
?x0 ?xk (46)
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , Sµ? = [?µ , ?? ].
4
Рiвняння Дiрака, як це встановлено в наших роботах автора (див., наприклад,
лiтературу в [3]) має широку нелокальну симетрiю.
У цьому пунктi встановимо нелокальну галiлей-симетрiю рiвняння Дiрака.
Для цiєї мети, наслiдуючи метод [4], за допомогою iнтегрального оператора
1 H
W=v E = (p2 + m2 )1/2 , (47)
1 + ?0 , H = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m
a
E
2
перетворимо систему чотирьох зв’язаних диференцiальних рiвнянь першого по-
рядку на систему незв’язаних псевдодиференцiальних рiвнянь
? ?
10 0 0
?0 1 0?
?? 0
= ?0 E?, ?0 = ? ?, (48)
i ?0 0 ?1 0?
?t
0 ?1
00

?0 E = W HW ?1 . (49)
? = W ?,

Встановлюючи додаткову симетрiю рiвняння (48), ми одночасно встановлює-
мо симетрiю рiвняння Дiрака 45).
Теорема 12 [9]. Рiвняння (48) iнварiантне вiдносно 11-вимiрної алгебри Галiлея
з базисними операторами
p2 ?
(3)
Pa = pa = ?
(3)
P0 = , , I,
2m ?xa (50)
m
(3)
= xa pb ? xb pa + Sab , = tpa ? mxa , pa ? ?0 pa .
G(3)
Jab a
E
Оператори (50) задовольняють комутацiйним спiввiдношенням алгебри Галi-
лея AG(1, 3).
Для доведення теореми треба переконатися, що умова iнварiантностi
[p0 ? ?0 E, Ql ]? = 0 (51)
116 В.I. Фущич

(3)
виконується для довiльного оператора Ql з набору (50); Ga — iнтегральний
оператор, що генерує нелокальнi перетворення, якi не спiвпадають з класичними
перетвореннями Галiлея.
Отже, рiвняння (48), а тому i рiвняння Дiрака (45), має нелокальну симетрiю,
яка задається операторами (50). Явний вигляд операторiв (50) для рiвняння (45)
обчислюється за формулою

Ql = W ?1 Ql W. (52)

9. Деякi новi рiвняння нелiнiйної математичної фiзики. У цьому пун-
ктi наведено серiю нових нелiнiйних рiвнянь, якi можна розглядати як матема-
тичнi моделi для опису нелiнiйних процесiв у класичнiй та квантовiй механiцi,
електродинамiцi, гiдродинамiцi.
1. Рiвняння Ньютона–Лоренца для зарядженої частки природно узагальнити
так:
d
(mv) = ?1 D + ?2 B + ?3 (v ? D) + ?4 (v ? B) +
dt (53)
+ a1 (E ? D) + a2 (E ? B) + a3 (H ? D) + a4 (H ? B),

m = m(v 2 , E 2 , H 2 , E H, v E, v H) — маса частинки, яка залежить вiд швидкостi v 2
i (E, H) — електромагнiтного поля, яке створює сама заряджена частинка; (D, B)
— зовнiшнє електромагнiтне поле; ?1 , ?2 , . . . , a1 , a2 , . . . — деякi параметри.
У випадку, коли маса m є константою i a1 = a2 = a3 = a4 = 0, ?2 = ?3 = 0,
рiвняння (53) спiвпадає з класичним рiвнянням Ньютона з силою Лоренца.
Явна залежнiсть маси вiд v 2 i власного електромагнiтного поля (E, H) може
бути встановлена з вимоги iнварiантностi (53) вiдносно групи Галiлея або групи
Пуанкаре.
Гiдро-електродинамiчнi узагальнення рiвняння Ойлера для зарядженої час-
тинки мають вигляд
? ?
m(v 2 , E 2 , . . .)v = ?1 D + ?2 B + a1 (E ? D) +
+ vl
?t ?xl (54)
+ a2 (E ? B) + · · · , l = 1, 2, 3.
Пуанкаре-iнварiантне рiвняння для зарядженої частинки має вигляд
?
m(v? v ? , E 2 ? H 2 , E H)vµ = ?Rµ? v ? ,
v?
?x?

де Rµ? — антисиметричний тензор зовнiшнього електромагнiтного поля (D, B).
Нелокальне (псевдодиференцiальне) узагальнення рiвняння Ньютона для ча-
стинки можна подати у виглядi
1/2
d4 ??
2
(55)
m +? x(t) = F (t, x, x, x).
dx4
У випадку, коли параметр ? = 0, (55) спiвпадає з класичним рiвнянням руху
Ньютона.
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 117

2. Рiвняння для скалярного комплексного поля u зi змiнною швидкiстю v
можна задати так:
?2
? v ? ? m2 v 4 u = F (|u|)u,
2 22
(56)
+
?t2
?vk ?vk ?|u|
v 2 ? v1 + v 2 + v 3 ,
2 2 2
(57)
+ vl = g(|u|) ,
?t ?xl ?xk
g(|u|) — довiльна гладка функцiя.
Швидкiсть розповсюдження поля u задається рiвнянням (57). Отже, хвильо-
ве рiвняння (56) (i при F (|u|) = 0) з умовою (57) є нелiнiйним рiвнянням. При
стандартному пiдходi v 2 = c2 , де c — постiйна швидкiсть розповсюдження свiтла
у вакуумi; у цьому випадку рiвняння (56) лiнiйне. Явно пуанкаре-iнварiантне
рiвняння для поля u має вигляд
?2u
vµ v? µ ? ? m2 v 4 u = 0, (58)
?x ?x
?vµ ?|u|
vµ v µ ? v0 ? v1 ? v2 ? v3 > 0.
2 2 2 2
(59)
v? = g(|u|) ,
?x? ?xµ
Важливою властивiстю цiєї системи є те, що вона лоренц-iнварiантна, швидкiсть
поля vµ не є сталою величиною i залежить вiд амплiтуди i швидкостi змiни ам-
плiтуди поля.
3. Стандартна класична i квантова електродинамiка побудована в термiнах
потенцiалiв Aµ . Однак до цього часу не використанi iншi можливостi (моделi)
формулювання електродинамiки. Не вводячи потенцiалiв, можна запропонувати
таку пуанкаре-iнварiантну систему рiвнянь для тензора електромагнiтного поля
Fµ? i спiнорного поля ?:
?Fµ? ? ?
= jµ , jµ = g1 ??µ ? + g2 ?pµ ?,
?x?
(60)
? ? ?
?Fµ? ?F?? ?F?µ ? ?Sµ? ? ? ?S?? ? ? ?S?µ ?
+ + =g + + ,
?x? ?xµ ?x? ?x? ?xµ ?x?
?
? µ (pµ ? ? ? Fµ? ) ? = m?, pµ = igµ? ,
?x? (61)
i i
Sµ? = [?µ , ?? ] ? (?µ ?? ? ?? ?µ ).
4 4
Другу модель електродинамiки, без потенцiалiв, можна будувати на основi
нелiнiйних рiвнянь другого порядку
?
2Fµ? = g ?Sµ? ?, (62)
(pµ ? ??? Fµ? )(pm ? ?F µ? ?? )? = m2 ?. (63)
4. Одне з можливих нелiнiйних узагальнень рiвнянь Максвелла для електро-
магнiтного поля, яке розповсюджується зi змiнною швидкiстю v, має вигляд [21]
dE
= v rot H + j, div E = ?,
dt (64)
dH
= ?v rot E, v = (v1 + v2 + v3 )1/2 ,
2 2 2
div H = 0,
dt
118 В.I. Фущич

2
? ? ? ?
?1 + vl vk + ? 2 + vl vk + ? 3 vk =
(65)
?t ?xl ?t ?xl
= a1 Ek + a2 Hk + a3 ?kln El Hn , k, l, n = 1, 2, 3,

d ? ? ? ?
? + b 1 El + b 2 Hl + b3 vl ,
dt ?t ?xl ?xl ?xl

?1 , ?2 , ?3 , a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 — функцiї, якi залежать вiд iнварiантiв E 2 ? H 2 ,
E H, v 2 .
Виписана система спiвпадає з класичним рiвнянням Максвелла при умовi, що
?
v є постiйною величиною i всi ?1 , ?2 , b3 рiвнi нулевi.
Рiвняння другого порядку для електромагнiтного поля (E, H) зi змiнною
швидкiстю має вигляд
?2
? v 2 ? E = c1 E + c2 H + c3 (E ? H) + c4 (v ? E) + c5 (v ? H),
2
?t
?2
? v 2 ? H = d1 E + d2 H + d3 (E ? H) + d4 (v ? E) + d5 (v ? H).
2
?t

Швидкiсть v електромагнiтного поля (E, H) визначається з рiвняння (65)

<< Предыдущая

стр. 26
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>