<< Предыдущая

стр. 27
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5. Пуанкаре-iнварiантне узагальнення класичного рiвняння Ойлера має ви-
гляд
2
?P ?v?
2
(?1 L + ?2 L )vµ = r1 vµ + r2 + r3 v? vµ ,
?xµ ?x?
(66)
? ? ?
L ? v? ? , L2 ? v? ? v? ? ,
?x ?x ?x
r1 , r2 , r3 — гладкi функцiї вiд iнварiантiв v? v µ , P.
Застосування виписаних нелинийних рiвнянь до опису конкретних фiзичних
процесiв дає можливiсть уточнити довiльнi функцiї, якi входять у рiвняння. Ви-
мога iнварiантностi до запропонованих рiвнянь вiдносно групп Галiлея, групи
Пуанкаре та їх рiзних розширень дозволяє iстотно звузити класи допустимих
моделей.

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний, М., Наука, 1974, 408 с.
2. Schr?dinger E., Quantisierung als Eigenwertprobleme, Annalen der Physik, 1926, 81, 109–139.
o
3. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
4. Fushchych W., Nikitin A., Symmetries of equations of quantum mechanics, Allerton Press, 1994,
468 p.
5. Fushchych W., How to extend symmetry of di?erential equations?, in Symmetry and Solutions
of Nonlinear Mathematical Physics, Kyiv, Inst. of Math., 1987, 4–16.
6. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilei relativictic principle and nonlinear partial di?erenti-
al equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, 3491–3503.
7. Fushchych W., Symmetry in problems of mathematical physics, in Algebraic-Theortic Studies
in Mathematical Physics, Kyiv, Inst. of Math., 1981, 6–44.
8. Fushchych W., Seheda Yu., On a new invariance algebra for the free Schr?dinger equation,
o
Doklady Acad. Sci. USSR, 1977, 232, № 4, 800–801.
Симетрiя рiвнянь лiнiйної та нелiнiйної квантової механiки 119

9. Fushchych W., Group properties of equations of quantum mechanics, in Asymptotic Problems
in Theory of Nonlinear Oscilations, Kyiv, Naukova dumka, 1977, 238–246.
10. Fushchych W., Nikitin A., On the invariance groups of a quasirelativistic equation of motion,
Doklady Acad. Sci. USSR, 1978, 238, № 1, 46–49.
11. Fushchych W., Serov M., On some exact solutions of the three-dimensional non-linear
Schr?dinger equation, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, № 6, L929–L933.
o
12. Fushchych W., Boyko V., Continuity equation in nonlinear quantum mechanics and the Galilei
relativity principle, J. Nonlinear Math. Phys., 1997, 4, № 1–2, 124–128.
13. Fushchych W., Symenoh Z., High-order equations of motion in quantum mechanics and Galilean
relativity, J. Phys. A: Math. Gen., 1997, 30, № 6, L131–L135.
14. Schiller R., Quasi-classical transformation theory, Phys. Rev., 1962, 125, № 3, 1109.
15. Rosen N., The relation between classical and quantum mechanics, American J. Phys., 1965, 32,
597–600.
16. Guerra F., Pusterla M., Nonlinear Klein–Gordon equation carrying a nondispersive solitonlike
singularity, Lett. Nuovo Cimento, 1982, 35, 256–259.
17. Gu?ret Ph., Vigier J.-P., Relativistic wave equation with quantum potential nonlinearity, Lett.
e
Nuovo Cimento, 1983, 38, 125–128.
18. Doebner H.-D., Goldin G.A., Properties of nonlinear Schr?dinger equations associated with
o
di?eomorphism group representations, J. Phys. A: Math. Gen., 1994, 27, 1771–1780.
19. Fushchych W., Cherniha R., Chopyk V., On unique symmetry of two nonlinear generalizations
of the Schr?dinger equation, J. Nonlinear Math. Phys., 1996, 3, № 3–4, 296–301.
o
20. Fushchych W., On additional invariance of the Klein–Gordon–Fock equation, Dokl. Acad. Sci.
USSR, 1976, 230, № 3, 570–573.
21. Fushchych W., New nonlinear equations for electromagnetic ?eld having velocity di?erent from c,
Доповiдi АН України, 1992, № 4, 24–27.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 120–122.

Що таке швидкiсть електромагнiтного
поля?
В.I. ФУЩИЧ
A new de?nition of the velocity of electromagnetic ?eld is proposed. The velocity
depends on the physical ?elds.

Питання, винесене в заголовок, до сьогоднiшнього дня, на диво не вирiшено
навiть на рiвнi дефiнiцiї. Згiдно з сучасними припущеннями свiтло є електро-
магнiтним полем (з вiдповiдними частотами), тому, очевидно, що вiдповiдь на
поставлене фундаментальне питання не може бути простим.
Сьогоднi найбiльш часто користуються такими визначеннями швидкостi свi-
тла [1, 2]:

1) фазова швидкiсть (the phase velocity);
2) групова швидкiсть (the group velocity);
3) швидкiсть передачi енергiї (the velocity of energy transport).

Визначення фазової та групової швидкостей базується на припущеннях, що
електромагнiтну хвилю можна характеризувати функцiєю ?(t, x), яка має спецi-
альний вигляд [1, 2]

?(t, x) = A(x) cos(?t ? g(x)), (1)

або
?

A? (x) cos(?t ? g? (x))d?, (2)
?(t, x) =
0

де A(x) — амплiтуда хвилi, g(x) — довiльна дiйсна функцiя. Фазова швидкiсть
визначається за формулою

v1 = ?/|?g(x)|. (3)

З наведених формул ясно, що визначення фазової (групової) швидкостi ба-
зується на припущенi, що будь-яка електромагнiтна хвиля має структуру (1)
(або (2)) i її швидкiсть не залежить вiд амплiтуди A. Крiм того нiколи не уто-
чнюється якому рiвнянню задовольняє функцiя ?. Це дуже важливий момент,
оскiльки ? може задовольняти стандартному лiнiйному хвильовому рiвнянню
Даламбера або, наприклад, нелiнiйному хвильовому рiвнянню [3]. Цi два випадки
iстотно вiдрiзняються один вiд одного i приводять до принципово рiзних резуль-
татiв. Слiд також зауважити, що фазова i групова швидкостi не визначаються
безпосередньо в термiнах електромагнiтних полiв E i H.
Доповiдi НАН України, 1997, № 1, C. 51–53.
Що таке швидкiсть електромагнiтного поля? 121

Швидкiсть передачi електромагнiтної енергiї визначається за формулою

s
s = c(E ? H), W = E2 + H 2, (4)
v2 = ,
W
де s — вектор Пойтинга–Хевiсайда.
Формула (4) має таку ваду: якщо при переходi вiд однiєї iнерцiйної систе-
ми до iншої E i H перетворюються за формулам Лоренца, то швидкiсть v2 не
перетворюється при цьому як вектор вiдносно групи Лоренца.
Мета цiєї замiтки — дати декiлька нових визначень швидкостi електромагнi-
тного поля.
Якщо електромагнiтне поле є деякий потiк енергiї, то швидкiсть такого пото-
ку, по аналогiї з гiдродинамiкою [4], задамо такою формулою (рiвнянням)

?v ?v
= a1 (D2 , B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .)D +
+ vl
?t ?xl
+ a2 (D2 , B 2 , . . .)B + a3 (D2 , B 2 , . . .)E + a4 (D2 , B 2 . . .)H +
?D (5)
+ a5 (D2 , B 2 , . . .) c(? ? H) ? ? 4? J +
?t
?B
+ a6 (D2 , B 2 , . . .) c(? ? E) + .
?t

Структура i явний вигляд коефiцiєтнiв a1 , . . . , a6 визначаються з вимоги, щоб
рiвняння (5) було iнварiантним вiдносно групи Пуанкаре, якщо поля перетворю-
ються за вiдповiдними формулами Лоренца [5].
Основна перевага формули (5), в порiвняннi з (1), (2), полягає у наступному:
1) швидкiсть електромагнiтного поля визначається безпосередньо через спо-
стережуванi величини D, B, E, H, J та їх першi похiднi;
2) рiвняння (5) при вiдповiдних коефiцiєнтах iнварiантне вiдносно групи Пу-
анкаре;
3) у тому випадку, коли коефiцiєнти a1 = a2 = a3 = a4 = 0, a поля D, B, E,
H задовольняють рiвнянню Максвелла

?D ?B
c(? ? H) ? ? 4? J = 0, c(? ? E) + = 0,
?t ?t
швидкiсть електромагнiтного поля v є постiйною величиною

?v ?v
+ vl = 0.
?t ?xl
Очевидно, що для застосування формули (5) треба конкретизувати коефiцi-
єнти.
Явно-коварiантне визначення швидкостi електромагнiтного поля можна зада-
ти такою формулою [5]

?v?
= a(E 2 , H 2 , E H)F?? v ? . (6)
vµ µ
?x
122 В.I. Фущич

Використовуючи рiвняння Максвелла у вакуумi можна, одержати таку фор-
мулу для швидкостi електромагнiтного поля
? ?1/2
2 2
? ?
?1 ?
?E ?H
+ ?t
?t
|v| = (7)
.
? 2 (rot E)2 + (rot H)2 ?
? ?

З формули (7) видно, що швидкiсть залежить тiльки вiд похiдних полiв. Слiд
зауважити, що |v| є умовним iнварiантом вiдносно перетворень Лоренца, тоб-
то якщо E i H задовольняють повнiй системi рiвнянь Максвелла у вакуумi, то
|v| буде iнварiантом групи Лоренца. Iншими словами, умовний iнварiант — це
така скалярна комбiнацiя з полiв, яка зберiгається (iнварiантна) при умовi, що
поля задовольняють деяким рiвнянням (якi мають нетривiальнi розв’язки). Доб-
ре вiдомi iнварiанти для електромагнiтного поля E H i E 2 ? H 2 є абсолютними
iнварiантами групи Лоренца.

1. Born M., Wolf E., Principle of Optics, New York, Mac Millan.
2. Brillonin L., Wave propagation and group velocity, New York, Academic, 1960.
3. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
4. Fushchych W., New nonlinear equations for electromagnetic ?eld having the velocity di?erent
from c, Доповiдi АН України, 1992, № 4, 24–27.
5. Fushchych W., Ansatz’95, J. Nonlinear Math. Phys., 1995, 2, № 3–4, 216–235.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 123–128.

Symmetry of equations
of nonlinear quantum mechanics
W.I. FUSHCHYCH
The paper is devoted to description of nonlocal symmetries of linear and nonlinear
equations of quantum mechanics and to symmetry classi?cation of nonlinear multi-
dimensional equations, compatible with Galilei relativity principle.t

The plan of the talk

• Discovery of the Schr?dinger equation
o
• Derivation (uniqueness) of the Schr?dinger equation
o
• High order equation of the Schr?dinger type
o
• Nonlocal symmetry of the Schr?dinger equation [2, 7]
o
• High-order evolution equations. Dependence of mass on velocity in the nonlocal
Galilei-invariant theory [6, 19]
• Galilei relativity principle and nonlinear Schr?dinger-type equations [2, 5, 10–17]
o
• Nonlocal symmetry of the linear Schr?dinger–de Broglie–Klein–Gordon–Fock–
o
Kudar–de Donder–Van Dunger [3, 18, 8]
• Nonlocal Galilei symmetry of a relativistic equation [8, 9]
• Nonlocal Galilei symmetry of the Dirac equation [7]
• Galilei symmetry of a relativistic equation.


1 Brief comment on discovery of the Schr?dinger
o
equation of motion in quantum mechanics
First I would like to remind that 70 years ago Erwin Schr?dinger discovered motion
o
equations and thus created the mathematical foundation for the quantum mecha-
nics. On 21 June, 1926 E. Schr?dinger submitted the paper “Quantisierung als Ei-
o
genwertprobleme” to the journal “Annalen der Physik” (1926, Vol. 81, 109–139, [1])
where he suggested the equation
p2
S? = 0, S = p0 ? a ? V (t, x),
2m (1)
? ?
, pa = ?i
p0 = i , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
where ? = ?(x0 = t, x) is a complex-valued wave function, V is a potential.
Proceedings on the XXI International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics,
Group21 “Physical Applications and Mathematical Aspects of Geometry, Groups, and Algebras”
(July 15–20, 1996, Goslar, Germany), Editors: H.-H. Doebner, W. Scherer, P. Natterman, Singapore,
Word Scienti?c, 1997, V.1, P. 439–446.
124 W.I. Fushchych

This paper was the last of the series of four papers with the same title where the
quantization problem in the atom physics was solved.
Can we say that E. Schr?dinger had derived his equation?
o
Acquaintance with the original paper by E. Schr?dinger gives us an ultimate answer
o
to this question. E. Schr?dinger had not derived this equation. The equation (1) was
o
written without accurate substantiation. Moreover E. Schr?dinger believed that the
o
correct motion equations in the quantum mechanics should be fourth-order equations
for the real function, and not the equation (1) for the complex function. E. Schr?dinger
o

<< Предыдущая

стр. 27
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>