<< Предыдущая

стр. 29
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Симетрiйна редукцiя по пiдалгебрах
алгебри Пуанкаре однiєї нелiнiйної
системи диференцiальних рiвнянь
для векторного поля
В.I. ФУЩИЧ, Л.Л. БАРАННИК
The procedure of constructing linear ansatzes is algorithmized. Invariant solutions are
found by means of linear ansatzes corresponding to three-dimensional subalgebras of
the Poincar? algebra AP (1, 3).
e

Система нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
?Ek ?Ek ?Hk ?Hk
(1)
+ Hl = 0, + El = 0 (k, l = 1, 2, 3)
?t ?xl ?t ?xl
була запропонована в [1] для опису векторних полiв. Цю систему можна розгля-
дати як узагальнення рiвняння Ойлера для iдеальної рiдини, що дослiджувалася
в [2–6]. В [7] встановлено, що максимальною алгеброю iнварiантностi системи (1)
є афiнна алгебра AIGL(4, R). Вона породжується векторними полями:
? ? ? ?
?00 = ?x0
P? = (? = 0, 1, 2, 3), + El + Hl (l = 1, 2, 3),
?x? ?x0 ?El ?Hl
? ? ?
?aa = ?xa ? Ea ? Ha (немає сумування по a),
?xa ?Ea ?Ha
? ? ?
?0a = ?xa (2)
+ E a Ek + H a Hk (k = 1, 2, 3),
?x0 ?Ek ?Hk
? ? ?
?a0 = ?x0 ? ? ,
?xa ?Ea ?Ha
? ? ?
?ac = ?xc ? Ec ? Hc (a = c; a, c = 1, 2, 3).
?xa ?Ea ?Ha
Алгебра AIGL(4, R) мiстить алгебру Пуанкаре AP (1, 3) з базисними елементами

J0a = ??0a ? ?a0 , Jab = ?ba ? ?ab , P? (a, b = 1, 2, 3; ? = 0, 1, 2, 3).

Метою наших дослiджень є побудова iнварiантних розв’язкiв системи (1) за
допомогою симетрiйної редукцiї цiєї системи до систем звичайних диференцiаль-
них рiвнянь (ЗДР) по пiдалгебрах алгебри Пуанкаре AP (1, 3).
Алгебра AIGL(4, R) є пiдпрямою сумою афiнної алгебри AIGL(4, R) з бази-
сними елементами
? ?
??? = ?x? , P? = (?, ? = 0, 1, 2, 3)
?x? ?x?
Доповiдi НАН України, 1997, № 8, С. 50–57.
130 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

i повної лiнiйної алгебри AGL(4, R) з базисними елементами
??? = ??? ? ??? .
Твердження 1. Нехай L — пiдалгебра алгебри AIGL(4, R), r — ранг L, а r —
ранг проекцiї L на AIGL(4, R) . Якщо r = r , то dim L = r.
На пiдставi твердження 1 та необхiдної умови iснування невироджених iнва-
рiантних розв’язкiв [8] доходимо висновку, що для редукцiї системи (1) до систем
ЗДР нам потрiбнi тривимiрнi пiдалгебри алгебри AP (1, 3), якi мають тiльки один
основний iнварiант вiд змiнних x0 , x1 , x2 , x3 .
Неважко переконатися, що система (1) є iнварiантною вiдносно перетворення
x0 = x0 , x1 = ?x1 , x2 = x2 , x3 = x3 ,
E1 = ?E1 , E2 = E2 , E3 = E3 , H1 = ?H1 , H2 = H2 , H3 = H3 .
Тому пiдалгебри алгебри AP (1, 3) можна розглядати з точнiстю до афiнної спря-
женостi.
Позначимо Ga = J0a ? Ja3 (a = 1, 2).
Твердження 2. З точнiстю до афiнної спряженостi тривимiрнi пiдалгебри
алгебри AP (1, 3), що мають тiльки один основний iнварiант, залежний вiд
змiнних x0 , x1 , x2 , x3 , вичерпуються такими пiдалгебрами:
P 1 , P2 , P3 , J12 + ?J03 , P0 , P3 , J12 + ?J03 , P1 , P2 (? = 0),
J03 , P1 , P2 , G1 , P0 + P3 , P2 + ?P1 , G1 , G2 , P0 + P3 , G1 , J03 , P2 ,
J12 , J03 , P0 + P3 , G1 , G2 , J03 , G1 , G2 , J12 + ?J03 (? > 0),
J12 + P0 , P1 , P2 , J03 + P1 , P0 , P3 , J03 + ?P1 , P0 + P3 , P2 (? = 0, 1),
G1 + P0 ? P3 , P0 + P3 , P2 ,
G1 + P2 , P0 + P3 , P1 ,
G1 + P0 ? P3 , P0 + P3 , P1 + ?P2 , G1 , G2 + P2 , P0 + P3 ,
G1 + P2 , G2 ? P1 + ?P2 , P0 + P3 ,
G1 , G2 , J12 + P0 + P3 ,
G1 , J03 + ?P1 + ?P2 , P0 + P3 .
Щоб одержати цей перелiк, потрiбно до перелiку пiдалгебр алгебри AP (1, 3),
що розглядаються з точнiстю до P (1, 3)-спряженостi [9], застосувати афiнну спря-
женiсть, при якiй, зокрема, можна ототожнювати всi одновимiрнi пiдпростори
простору трансляцiй P0 , P1 , P2 , P3 .
Пiдалгебру Лi алгебри AIGL(4, R) утворює лiнiйна оболонка Q системи опера-
торiв, одержаної з базису (2) в результатi вилучення операторiв ?0a (a = 1, 2, 3).
Кожен оператор Y ? Q можна подати у виглядi
? ? ? ? ?
(3)
Y = a? (x) + bij Ej + Hj + ci + ,
?x? ?Ei ?Hi ?Ei ?Hi
де x0 = t; x = (x0 , x1 , x2 , x3 ); bij , ci — дiйснi числа; ? = 0, 1, 2, 3; i, j = 1, 2, 3.
Означення. Iнварiант пiдалгебри Q, який є лiнiйною функцiєю вiдносно змiн-
них Ea , Ha (a = 1, 2, 3), будемо називати лiнiйним.
Нехай
? ? ? ?
b11 b12 b13 c1
B = ? b21 b22 b23 ? , C = ? c2 ? ,
b31 b32 b33 c3
Симетрiйна редукцiя по пiдалгебрах алгебри Пуанкаре 131
? ? ? ?
u11 (x) u12 (x) u13 (x) v1 (x)
U = ? u21 (x) u22 (x) u23 (x) ? , V = ? v2 (x) ? .
u31 (x) u32 (x) u33 (x) v3 (x)

Теорема. Система функцiй fq = uqi (x)Ei + vq (x), q = 1, 2, 3, є системою лiнiй-
них iнварiантiв оператора Y , функцiонально незалежних вiдносно змiнних E1 ,
E2 , E3 , тодi i тiльки тодi, коли

?U ?V
(4)
a? (x) + U B = 0, a? (x) + UC = 0
?x? ?x?

i det U = 0 в деякiй областi простору точок x.
Твердження 3. Нехай

3
? ? ?
(j)
a(j) (x)
Xj = + bik Ek + Hk +
?
?x? ?Ei ?Hi
i,k=1
(5)
3
? ?
(j)
+ ci + (j = 1, 2, 3)
?Ei ?Hi
i=1


— оператори виду (3) i нехай вiдповiднi їм матрицi B1 , B2 , B3 є лiнiйно неза-
лежними i задовольняють комутацiйнi спiввiдношення

[B3 , Bj ] = Bj (j = 1, 2), [B1 , B2 ] = 0.

3
Матриця U = exp fi (x)Bi задовольняє систему рiвнянь
i=1


?U
a(i) (x) (6)
+ U Bi = 0 (i = 1, 2, 3)
?
?x?

тодi i тiльки тодi, коли

?f1 ?f3 ?f2 ?f3
a(1) (x) + 1 = 0, a(1) (x) = 0, a(1) (x)
e = 0,
? ? ?
?x? ?x? ?x?
?f1 ?f2 ?f3 ?f3
a(2) (x) = 0, a(2) (x) + 1 = 0, a(2) (x)
e = 0,
? ? ?
?x? ?x? ?x?
?f1 ?f2 ?f3
a(3) (x) = 0, a(3) (x) = 0, a(3) (x) + 1 = 0.
? ? ?
?x? ?x? ?x?

Твердження 4. Нехай Xj (j = 1, 2, 3) — оператори (5) i нехай вiдповiднi їм
матрицi B1 , B2 , B3 = B3 + B3 є лiнiйно незалежними i задовольняють кому-
тацiйнi спiввiдношення

[B3 , Bj ] = ?Bj (j = 1, 2), [B3 , B1 ] = ?B2 , [B3 , B2 ] = B1 ,
[B3 , B3 ] = 0, [B1 , B2 ] = 0.
132 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

3
Матриця U = exp fi (x)Bi задовольняє систему рiвнянь (6) тодi i тiльки
i=1
тодi, коли
?f1 ?f2 ?f3
= ?e?f3 cos f3 , a(1) (x)
a(1) (x) = e?f3 sin f3 , a(1) (x) = 0,
? ? ?
?x? ?x? ?x?
?f1 ?f2 ?f3
= ?e?f3 sin f3 , a(2) (x) = ?e?f3 cos f3 , a(2) (x)
a(2) (x) = 0,
? ? ?
?x? ?x? ?x?
?f1 ?f2 ?f3
a(3) (x) = 0, a(3) (x) = 0, a(3) (x) + 1 = 0.
? ? ?
?x? ?x? ?x?
Нехай
? ? ? ?
E1 H1
E = ? E2 ? , H = ? H2 ? .
E3 H3
Легко бачити, що коли для деякої 3 ? 3-матрицi U = U (x) компоненти вектор-
функцiї U E + V є лiнiйними iнварiантами пiдалгебри F ? Q, то лiнiйними iнва-
рiантами цiєї пiдалгебри F є також компоненти вектор-функцiї U H + V .
По пiдалгебрах з твердження 2 конструюємо анзаци вигляду
(7)
U E + V = M (?), U H + V = N (?)
або
E = U ?1 M (?) ? U ?1 V , H = U ?1 N (?) ? U ?1 V , (8)

де M (?), N (?) — невiдомi трикомпонентнi функцiї, а матрицi U , V є вiдомими,
при цьому det U = 0 в деякiй областi простору точок x.
Анзаци вигляду (7) або (8) називаємо лiнiйними.
Оскiльки генератори G1 , G2 , J03 є нелiнiйними диференцiальними операто-
рами, то на пiдалгебри, що їх мiстять, подiємо внутрiшнiм автоморфiзмом, який
вiдповiдає елементу g = exp ? X , де
4

? ? ? ? ? ?
X = ??03 + ?30 = x3 ? x0 ? E 3 Ek ? H 3 Hk ? ? .
?x0 ?x3 ?Ek ?Hk ?E3 ?H3
v
Позначимо J?? = gJ?? g ?1 , P? = gP? g ?1 , Ga = ?1
2
2 gGa g (?, ? = 0, 1, 2, 3; a =
1, 2). Неважко переконатися, що
? ?
Ga = J0a ? Ja3 = x0 + xa +
?xa ?x3
? ? ? ?
+ Ea + Ha + + (a = 1, 2),
?E3 ?H3 ?Ea ?Ha
2
? ? ? ? ? ?
= ?x0
J03 + x3 + Ei + Hi + 2E3 + 2H3 ,
?x0 ?x3 i=1 ?Ei ?Hi ?E3 ?H3
? ? ? ? ? ?
? x1 ? E1 ? H1
J12 = J12 = x2 + E2 + H2 ,
?x1 ?x2 ?E1 ?E2 ?H1 ?H2
v v
2 2
(P0 + P3 ), P1 = P1 , P2 = P2 , P3 = ? (P0 ? P3 ).
P0 =
2 2
Симетрiйна редукцiя по пiдалгебрах алгебри Пуанкаре 133

Нехай Ea = Ma (x), Ha = Na (x) (a = 1, 2, 3) — розв’язок, iнварiантний вiд-
носно пiдалгебри алгебри AP (1, 3) = gAP (1, 3)g ?1 (алгебри Пуанкаре AP (1, 3) з
штрихованими операторами). Тодi розв’язок, iнварiантний вiдносно вiдповiдної
пiдалгебри алгебри AP (1, 3) має вигляд
v
M3 (x ) ? 1
2Ma (x )
Ea = (a = 1, 2), E3 = ,
M3 (x ) + 1 M3 (x ) + 1
v
N3 (x ) ? 1
2Na (x )
Ha = (a = 1, 2), H3 = ,
N3 (x ) + 1 N3 (x ) + 1
де
v
2
(x0 ? x3 ),
x = x0 , x1 , x2 , x3 , x0 =
2
v
2
x1 = x1 , x2 = x2 , x3 = (x0 + x3 ).
2
В наведеному у твердженнi 2 перелiку пiдалгебр алгебри AP (1, 3) є 10 пiдал-
гебр, якi мають двовимiрний перетин з простором трансляцiй. Це означає, що з
точнiстю до спряженостi розв’язки системи (1), якi iнварiантнi вiдносно деякої з

<< Предыдущая

стр. 29
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>