<< Предыдущая

стр. 3
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1 1 2
+? ? ,
4 5
2 3 3 ? +l ? +l
3 3
l=0

при цьому x ? ? a . В наведених формулах Z(j) (z) = A(j) J? (z)+B (j) Y? (z), Z(j) (z)
b
? ?
— цилiндрична функцiя, J? (z), Y? (z) — функцiї Бесселя першого та другого роду
вiдповiдно [7].
c
3. Випадок V (x) = x2 (c = 0). Наведемо два розв’язки, якi заданi своїми
слiдами на операторi T .
Якщо c = ? 1 i слiдом є розв’язок
4

f = x1/2 (A1 + A2 ln x), g = x1/2 (B1 + B2 ln x),
то вiдтворений розв’язок має вигляд
B1 ? B2 B2
f = x1/2 (A1 + A2 ln x) t + x1/2 (K1 + K2 ln x) + x5/2 + ln x ,
4 4
A2 ? A1 A2
?
g = x1/2 (B1 + B2 ln x) t + x1/2 (L1 + L2 ln x) + x5/2 ln x .
4 4
Якщо c > ? 1 , а слiдом є розв’язок
4

f = A1 x? + A2 x? , g = B1 x? + B2 x? ,
v v
де ? = 1+ 21+4c 1? 1+4c
то пiсля вiдтворення вiдносно оператора T отри-
,?= ,
2
маємо розв’язок
f = (A1 x? + A2 x? )t + K1 x? + K2 x? +
B1 B2
x?+2 + x?+2 ,
+
(? + 2)(? + 1) ? c (? + 2)(? + 1) ? c
g = (B1 x? + B2 x? )t + L1 x? + L2 x? ?
A1 A2
? x?+2 ? x?+2 .
(? + 2)(? + 1) ? c (? + 2)(? + 1) ? c

1. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990,
400 с.
2. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluver Academic Publishers, 1993, 436 c.
3. Ovsyannikov L.V., Group analysis of di?erential equations, New York, Academic Press, 1982,
400 p.
4. Anderson R., Kumei S., Wulfman C. Invariants of the equations of wave mechanics, I, II, Rev.
Mexicana Fis., 1972, 21, 1–33, 35–57.
5. Boyer C., The maximal kinematical invariance group for an arbitrary potential, Helv. Phys.
Acta, 1974, 47, 589–605.
6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды, М., Наука, 1981, 800 с.
7. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1971,
576 с.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 10–23.

Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу
Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза
високого порядку
В.I. ФУЩИЧ, В.М. БОЙКО
We describe nonlinear Galilei-invariant higher-order equations of Burgers and Korte-
weg–de Vries types. We study symmetry properties of these equations and construct
new nonlinear extentions for the Galilei algebra AG(1, 1).

Описанi нелiнiйнi галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-
Фрiза високого порядку. Дослiджено симетрiйнi властивостi цих рiвнянь. Побу-
дованi новi нелiнiйнi розширення для алгебри Галiлея AG(1, 1).

Розглянемо нелiнiйнi одновимiрнi рiвняння вигляду
(1)
u(0) + uu(1) = F u(2) , u(3) , . . . , u(n) ,
n
де u = u(t, x); u(0) = ?u ; u(n) = ? n ; F u(2) , u(3) , . . . , u(n) — довiльна гладка фун-
u
?t ?x
кцiя, F = const.
До класу рiвнянь (1) належать широко вiдомi рiвняння гiдродинамiки, такi
як рiвняння простої хвилi, Бюргерса, Кортевега–де-Фрiза, Кортевега–де-Фрiза–
Бюргерса:
?u ?u
(2)
+u = 0,
?t ?x
?2u
?u ?u
(3)
+u + µ 2 = 0,
?t ?x ?x
?3u
?u ?u
(4)
+u + ? 3 = 0,
?t ?x ?x
?2u ?3u
?u ?u
(5)
+u + µ 2 + ? 3 = 0.
?t ?x ?x ?x
Рiвняння (2)–(5) широко використовуються для опису реальних хвильових
процесiв в гiдродинамiцi, зокрема теорiї мiлкої води, акустицi [1–4]. Дослiдженню
рiвнянь такого типу, зокрема, їх симетрiйних властивостей, присв’ячено ряд пуб-
лiкацiй [5–9].
Ми розглянемо деякi новi узагальнення рiвнянь типу (2)–(5) високого поряд-
ку з теоретико-алгебраїчної точки зору. Проведемо їх симетрiйну класифiкацiю,
побудуємо деякi класи точних розв’язкiв.
Спочатку сформулюємо твердження про лiївську симетрiю деяких з рiвнянь
(1). Розглянемо рiвняння:
(6)
u(0) + uu(1) = F u(2) ,
Укр. мат. журн., 1996, 48, № 12, С. 1589–1601.
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 11

(7)
u(0) + uu(1) = F u(3) ,

(8)
u(0) + uu(1) = F u(4) .

Теорема 1. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (6) в залежностi
вiд F u(2) є такi алгебри Лi:
1) P0 , P1 , G , якщо F u(2) — довiльна;
k
2) P0 , P1 , G, Y1 , якщо F u(2) = ? u(2) , k = const; k = 0; k = 1; k = 1 ;
3
3) P0 , P1 , G, Y2 , якщо F u(2) = ln u(2) ;
4) P0 , P1 , G, D, ? , якщо F u(2) = ?u(2) ;
1/3
5) P0 , P1 , G, R1 , R2 , R3 , R4 , якщо F u(2) = ? u(2) .
В умовах теореми ? = const, ? = 0, а для базисних елементiв алгебр Лi
використовуються наступнi позначення:
P0 = ?t , P1 = ?x , G = t?x + ?u ,
Y1 = (k + 1)t?t + (2 ? k)x?x + (1 ? 2k)u?u ,
3
Y2 = t?t + 2x ? t2 ?x + (u ? 3t)?u ,
2
D = 2t?t + x?x ? u?u , ? = t2 ?t + tx?x + (x ? tu) ?u ,
R1 = 4t?t + 5x?x + u?u , R2 = u?x ,
R3 = (2tu ? x) ?x + u?u , R4 = (tu ? x) (t?x + ?u ) .
Доведення. Зауважимо, що в рiвняннi

u(0) + uu(1) = F u(n) + C,

константу C можна завжди покласти рiвною нулевi, виконавши замiну змiнних
1
x = x ? Ct2 ,
? (9)
t = t, ? u = u + Ct.
?
2
Симетрiйну класифiкацiю (6) проводимо в класi диференцiальних операторiв
першого порядку

X = ? 0 (t, x, u)?t + ? 1 (t, x, u)?x + ?(t, x, u)?u . (10)

Знайшовши друге продовження оператора (10), умову iнварiантностi для рiвня-
ння (6), згiдно з пiдходом Лi [5, 6], запишемо у виглядi

X u(0) + uu(1) ? F u(2) ? 0, (11)
u(0) =F (u(2) )?uu(1)
2

де

X = X + ?? + ?u u? ? uj (?? + ?u u? ) ?u? +
j j
2
+ ??i + ??u ui + ?iu u? + ?uu ui u? + ?u u?i ? uji (?? + ?u u? ) ?
j j

j j j
? uj (??i + ??u ui + ?iu u? + ?uu u? ui + ?u u?i ) ? u?j (?i + ?u ui ) ?u?i ,
j j j j


?, i, j = 0; 1.
12 В.I. Фущич, В.М. Бойко

Розписавши умову (11), пiсля розщеплення за похiдними u01 , u1 отримуємо
систему визначальних рiвнянь на ? 0 , ? 1 , ?, F (через нижнi iндекси позначено
диференцiювання по вiдповiднiй змiннiй):
0 0 1 1
(12)
?1 = 0, ?u = 0, ?uu = 0, ?uu = 2?1u ,

? ? ?0 + u ?0 ? ?1 ? F ?u ? Fu11 2?1u ? ?11 ? 3u11 ?u = 0,
1 0 1 1 1 1
(13)
?0 + ?u F ? ?0 F + u?1 ? Fu11 ?11 + u11 (?u ? 2?1 ) = 0.
0 1


Розв’язок (12) можна записати у виглядi
? 0 = p(t), ? 1 = a(t, x)u + b(t, x),
(14)
? = a1 (t, x)u2 + c(t, x)u + d(t, x),
де p(t), a(t, x), b(t, x), c(t, x), d(t, x) — гладкi функцiї, що пiдлягають визначеню.
Пiдставивши (14) в (13), пiсля розщеплення за степеннями u, одержуємо систему
рiвнянь для визначення p, a, b, c, d, F :
c + p0 ? a0 ? b1 = 0, d ? b0 ? aF ? Fu11 (2c1 ? b11 ? 3au11 ) = 0,
a11 = 0, a01 + c1 = 0, c0 + 2a1 F + d1 ? c11 Fu11 = 0, (15)
d0 + cF ? p0 F ? Fu11 d11 + u11 (c ? 2b1 ) = 0.
В залежностi вiд вигляду F розв’язання системи (15) зводиться до одного з на-
ступних випадкiв:
Випадок I. F — довiльна функцiя. Розщепивши (15) по похiдних функцiї F ,
одержуємо систему
c + p0 ? b1 = 0,
a = 0, c1 = 0, d0 = 0,
d ? b0 = 0, c0 + d1 = 0, c ? p0 = 0, c ? 2b1 = 0,
розв’язок якої визначає випадок 1 теореми 1.
Випадок II. Fu11 u11 = 0 (F = const). Отже
(16)
F = ?u11 + ?0 , ?0 , ? = const, ? = 0.
Внаслiдок замiни змiнних (9) можна покласти ?0 = 0. Пiдставивши (16) в (15),
пiсля розщеплення по u11 одержуємо
a = 0, c1 = 0, c0 + d1 = 0, p0 = 2b1 ,
(17)
c + p0 ? b1 = 0, d ? b0 = 0, d0 = 0.
Розв’язок системи (17) визначає вигляд базисних елементiв у випадку 4 теоре-
ми 1.
Випадок III. Fu11 u11 = 0. Диференцiюючи друге рiвняння системи (15) по u11 ,
пiсля спрощення одержуємо
2aFu11 ? Fu11 u11 (2c1 ? b11 ? 3au11 ) = 0. (18)
Оскiльки Fu11 u11 = 0, тодi роздiливши (18) на Fu11 u11 i продиференцiювавши по
u11 , одержуємо
Fu11
(19)
2a + 3a = 0.
Fu11 u11 u11
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 13

Необхiдно розглянути випадки a = 0 i a = 0. Якщо a = 0, тодi з системи (15),
одержуємо випадки 2 та 3 теореми. Випадок 5 теореми одержуємо з (19), (15),
якщо a = 0. Теорема доведена.
Теорема 1 уточнює результат отриманий в [8]. Рiвняння Бюргерса (3), як ча-
стинний випадок (6), включається в випадок 4 теореми 1.
Слiд зазначити, що найбiльш широку симетрiю в класi рiвнянь (6) (7-вимiрна
алгебра) має рiвняння
1/3
(20)
u(0) + uu(1) = ? u(2) ,

Оператори P0 , P1 , G, R1 , R2 , R3 , R4 , що визначають алгебру iнварiантностi (20),
задовольняють наступнi комутацiйнi спiввiдношення:

P0 P1 G R1 R2 R3 R4
0 0 0
P0 P1 4P0 2R2 R3
?P1 ?G
0 0 0 0
P1 5P1
?P1 0 0 0
G G P1 G
?4P0 ?5P1 ?G ?4R2
0 0
R1 4R4
?P1 ?2R2 ?R3
0 0 0
R2 4R2
?2R2 ?G ?2R4
0 0
R3 P1 2R2
?R3 ?G ?4R4
0 0
R4 R3 2R4

<< Предыдущая

стр. 3
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>