<< Предыдущая

стр. 30
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

цих пiдалгебр, є функцiями тiльки вiд однiєї просторової змiнної xa . Тому часто
зручно проводити редукцiю не всiх шести рiвнянь системи (1), а тiльки двох з
них, що мiстять функцiї Ea i Ha . Iншi компоненти розв’язку Ek i Hk (k = a)
системи (1) будуть записанi у виглядi довiльних функцiй вiд Ea i Ha вiдповiдно,
якi пiдбираємо так, щоб розв’язок був iнварiантним вiдносно всiх генераторiв
пiдалгебри.
Проiлюструємо сказане на прикладi пiдалгебри F = J12 + ?J03 , P1 , P2 (? =
0). У цьому випадку Ei , Hi (i = 1, 2, 3) є функцiями вiд x0 , x3 . Якщо розглядати
тiльки систему рiвнянь

?E3 ?E3 ?H3 ?H3
(9)
+ H3 = 0, + E3 = 0,
?x0 ?x3 ?x0 ?x3
то до уваги треба брати лише оператор

? ? ? ?
?x0 + x3 + 2E3 + 2H3 .
?x0 ?x3 ?E3 ?H3
Оскiльки повну систему iнварiантiв цього оператора в класi функцiй вiд x0 , x3 ,
E3 , H3 утворюють ? = x0 x3 , E3 x2 , H3 x2 , то анзац має вигляд
0 0

1 1
E3 = M3 (?), H3 = N3 (?).
x2 x2
0 0

Цей анзац редукує систему (9) до системи
? ?
?2M3 + (? + N3 )M3 = 0, ?2N3 + (? + M3 )N3 = 0. (10)

Припустимо, що ми знайшли розв’язок (M3 , N3 ) цiєї системи, причому M3 = 0,
1 1
N3 = 0. Тодi Ei = Fi (y), Hi = Ki (z) (i = 1, 2), де y = x2 M3 (?), z = x2 N3 (?),
0 0
134 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

а Fi , Ki — невiдомi функцiї, якi ми знайдемо з умови iнварiантностi розв’язку
вiдносно J12 + ?J03 . З рiвностей
dF1
J12 + ?J03 E1 ? F1 (y) = E2 ? ? 2y + ?E1 = 0,
dy
dF2
E2 ? F2 (y) = ?E1 + ?E2 ? ?
J12 + ?J03 2y = 0
dy
випливає
2
dF2 2 2dF2
F1 = ?F2 ? 2?y 2
, (1 + ? )F2 + 4? y = 0.
dy 2
dy
Розв’язуючи останнє рiвняння, що є рiвнянням Ойлера другого порядку вiдносно
функцiї F2 , i пiдставляючи знайдений розв’язок у формулу для F1 , одержимо такi
функцiї:
ln y ln y
? C2 y 1/2 cos
F1 = C1 y 1/2 sin ,
2? 2?
ln y ln y
F2 = C1 y 1/2 cos + C2 y 1/2 sin .
2? 2?
Аналогiчно знаходимо
ln y ln y
? C4 y 1/2 cos
K1 = C3 y 1/2 sin ,
2? 2?
ln y ln y
K2 = C3 y 1/2 cos + C4 y 1/2 sin .
2? 2?
Система (10) має розв’язок
1
2? + C ± 4C? + C 2 .
M 3 = N3 =
2
Тому розв’язок системи (1), iнварiантний вiдносно пiдалгебри F , можна записати
у виглядi
ln y ln y
? C2 y 1/2 cos
E1 = C1 y 1/2 sin ,
2? 2?
ln y ln y
E2 = C1 y 1/2 cos + C2 y 1/2 sin , E3 = y,
2? 2?
ln y ln y
? C4 y 1/2 cos
H1 = C3 y 1/2 sin ,
2? 2?
ln y ln y
H2 = C3 y 1/2 cos + C4 y 1/2 sin , H3 = y,
2? 2?
v
де y = 2x2 2x0 x3 + C ± 4Cx0 x3 + C 2 ; C, Ci (i = 1, 4) — довiльнi сталi.
1
0
Аналогiчно дiємо i у випадку, коли пiдалгебри мають одновимiрний перетин
з простором трансляцiй.
Тепер наведемо приклад редукцiї системи (1) по пiдалгебрi, яка має нульовий
перетин з простором трансляцiй:
G1 , G2 , J12 + P3 :
x1
+ M1 (?) cos f3 ? M2 (?) sin f3 ,
E1 =
x0
x2
E2 = + M1 (?) sin f3 + M2 (?) cos f3 ,
x0
Симетрiйна редукцiя по пiдалгебрах алгебри Пуанкаре 135

x2 + x2 1
x1 cos f3 + x2 sin f3 M1 (?) ?
1 2
E3 = +
2
2x0 x0
1
x1 sin f3 ? x2 cos f3 M2 (?) + M3 (?),
+
x0
x1
+ N1 (?) cos f3 ? N2 (?) sin f3 ,
H1 =
x0
x2
H2 = + N1 (?) sin f3 + N2 (?) cos f3 ,
x0
x2 + x2 1
x1 cos f3 + x2 sin f3 N1 (?) ?
H3 = 1 2 2 +
2x0 x0
1
x1 sin f3 ? x2 cos f3 N2 (?) + N3 (?),
+
x0
x2 +x2
де ? = x0 , f3 = 1 0 2 ? x3 .
2x
Редукована система має вигляд
1 1
? ? ?
M1 + N1 + N3 M2 = 0, M2 + N2 ? N3 M1 = 0, M3 = 0,
? ?
1 1
? ? ?
N1 + M1 + M3 N2 = 0, N2 + M2 ? M3 N1 = 0, N3 = 0.
? ?
Її частинному розв’язку
B1 B2
M1 = A1 ? + , M2 = A2 ? + , M3 = 0,
? ?
B1 B2
N1 = ?A1 ? + , N2 = ?A2 ? + , N3 = 0
? ?
вiдповiдає такий розв’язок системи (1), iнварiантний вiдносно пiдалгебри G1 ,
G2 , J12 + P3 :
x1 B1 B2
cos f3 ? A2 x0 +
E1 = + A1 x0 + sin f3 ,
x0 x0 x0
x2 B1 B2
E2 = + A1 x0 + sin f3 + A2 x0 + cos f3 ,
x0 x0 x0
x2 + x2 B1
E3 = 1 2 2 + A1 + 2 [x1 cos f3 + x2 sin f3 ] ?
2x0 x0
B2
? A2 + 2 [x1 sin f3 ? x2 cos f3 ] ,
x0
x1 B1 B2
+ ?A1 x0 + cos f3 + A2 x0 ?
H1 = sin f3 ,
x0 x0 x0
x2 B1 B2
+ ?A1 x0 + sin f3 + ?A2 x0 +
H2 = cos f3 ,
x0 x0 x0
x2 + x2 B1
H3 = 1 2 2 + ?A1 + 2 [x1 cos f3 + x2 sin f3 ] +
2x0 x0
B2
+ A2 ? 2 [x1 sin f3 ? x2 cos f3 ] .
x0
Отже, алгоритмизовано процес побудови лiнiйних анзацiв. За допомогою лi-
нiйних анзацiв, що вiдповiдають тривимiрним пiдалгебрам алгебри Пуанкаре
136 В.I. Фущич, Л.Л. Баранник

AP (1, 3), знайдено iнварiантнi розв’язки однiєї нелiнiйної системи диференцiаль-
них рiвнянь для векторного поля.

1. Fushchych W.I., New nonlinear equations for electromagnetic ?eld having velocity di?erent
from c, Доповiдi АН України, 1992, № 4, 24–27.
2. Rosen G., Conformal transformation matrix for ?elds, Ann. Phys. (USA), 1973, 77, № 2,
452–453.
3. Капитанский Л.В., Групповой анализ уравнений Навье–Стокса и Эйлера при наличии
вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений, Докл. АН СССР,
1978, 243, № 4, 901–904.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения не-
линейных уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
5. Fairlie D.B., Leznov A.N., General solution of the universal equation in n-dimensional space,
J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 4, 333–339.
6. Фущич В.I., Бойко В.М., Пониження порядку та загальнi розв’язки деяких класiв рiвнянь
математичної фiзики, Доповiдi НАН України, 1996, № 9, 43–48.
7. Fushchych W., Tsyfra I., Boyko V., Nonlinear representations for Poincar? and Galilei algebras
e
and nonlinear equations for electromagnetic ?elds, J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 2,
210–221.
8. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978,
400 c.
9. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пу-
анкаре и редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 304 с.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 137–141.


Continuity equation in nonlinear quantum
mechanics and the Galilei relativity principle
W.I. FUSHCHYCH, V.M. BOYKO

Classes of the nonlinear Schr?dinger-type equations compatible with the Galilei relati-
o
vity principle are described. Solutions of these equations satisfy the continuity equa-
tion.

The continuity equation is one of the most fundamental equations of quantum
mechanics
??
+ ? · j = 0. (1)
?t
Depending on de?nition of ? (density) and j = (j 1 , . . . , j n ) (current), we can construct
essentially di?erent quantum mechanics with di?erent equations of motion, which are
distinct from classical linear Schr?dinger, Klein–Gordon–Fock, and Dirac equations.
o
In this paper we describe wide classes of the nonlinear Schr?dinger-type equations
o
compatible with the Galilei relativity principle and their solutions satisfy the conti-
nuity equation.
1. At the beginning we study a symmetry of the continuity equation considering
(?, j) as dependent variables related by (1).
Theorem 1. The invariance algebra of equation (1) is an in?nite-dimensional algebra
with basis operators
? ?
X = ? µ (x) + aµ? (x)j ? + bµ (x) (2)
,
?j µ
?xµ

where j 0 ? ?; ? µ (x) are arbitrary smooth functions; x = (x0 = t, x1 , x2 , . . . , xn ) ?
?? µ ?? i
Rn+1 ; aµ? (x) = ?x? ? ?µ? + C ; C = const, ?µ? is the Kronecker delta; µ, ?, i =
?xi
0, 1, . . . , n, b0 (x), b (x), . . . , b (x) is an arbitrary solution of equation (1).
1 n

Here and below we imply summation over repeated indices.
Corollary 1. The generalized Galilei algebra [1]

AG2 (1, n) = Pµ , Jab , Ga , D(1) , A (3)

is a subalgebra of algebra (2).
Corollary 2. The conformal algebra [1]

AP2 (1, n) = AC(1, n) = Pµ , Jab , J0a , D(2) , Kµ (4)

is a subalgebra of algebra (2).
J. Nonlinear Math. Phys., 1997, 4, № 1–2, P. 124–128.
138 W.I. Fushchych, V.M. Boyko

We use the following designations in (3) and (4)

<< Предыдущая

стр. 30
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>