<< Предыдущая

стр. 36
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

цих дослiджень можна сформулювати у виглядi наступного твердження.
Теорема 1. Максимальна алгебра iнварiантностi рiвнянь (1) складається з
операторiв:
? ?
1) ?0 = , ?a = , Ga = x0 ?a + ?ua ,
?x0 ?xa
= xa ?xb ? xb ?xa + ua ?ub ? ub ?ua ,
Jab

якщо F (?) — довiльна гладка функцiя, де F (?) = f?(?)/?;
D2 = 2x0 ?0 + xa ?a ? ua ?ua ,
2) ?0 , ?a , Ga , Jab , D1 = ??? ,
якщо F (?) = 0;
3) ?0 , ?a , Ga , Jab ,
2
D3 = 2x0 ?0 + xa ?a ? ??? ? ua ?ua , k — довiльне,
k+1
якщо F (?) = ??k ;
D4 = 2x0 ?0 + xa ?a ? n??? ? ua ?ua ,
4) ?0 , ?a , Ga , Jab ,
? = x2 ?0 + x0 xa ?a ? nx0 ??? + (xa ? x0 ua )?ua ,
0

якщо F (?) = ??(2?n)/n .
В цiй роботi дослiджено умовну симетрiю системи (1). Докладнiше про поня-
ття умовної симетрiї див. роботи [1–4].
Розглянемо спочатку одновимiрний випадок. При x = (x0 , x1 ) та u = u(x)
система (1) має вигляд
u0 + uu1 + ?u11 + F (?)?1 = 0,
(2)
?0 + u?1 + ?u1 = 0,
Укр. мат. журн., 1997, 49, № 6, С. 806–813.
160 В.I. Фущич, М.I. Сєров, Л.О. Тулупова

де F (?) = f?(?)/?. Оператор умовної iнварiантностi будемо шукати у виглядi

(3)
Q = A(x, ?, u)?0 + B(x, ?, u)?1 + C(x, ?, u)?? + D(x, ?, u)?u ,

де A, B, C, D — гладкi функцiї. Диференцiальний оператор першого порядку Q
дiє на многовидi (x, ?, u) ? R4 .
Справедлива наступна теорема.
Теорема 2. Рiвняння (2) Q-умовно iнварiантнi вiдпосно оператора (3), якщо
функцiї A, B, C i D задовольняють систему диференцiальних рiвнянь в одному
з таких випадкiв:
I. A = 0 (не втрачаючи загальностi можна покласти A = 1):
1) B = u:

1
(u ? B) [Cu (B ? u) ? C(Bu + 1)] + C? ? B0 ? BB1 + D +
?
+ (BDu ? Bu D) + (D? ? ? Du u) = 0,
?2Bu C C 1 ? ?C
D + (B ? u) + C1 ? 2 Cu ? D +
(B? C + D? ?)
B?u
? ? ? ?
? ? C
Buu C 3 + 2 C 2 (Duu ? 2B1u ) + [B1 u ? D + B0 + F Cu +
+
?3 ? ?

+ ?B11 ? 2?D1u + 2B1 (B ? u)] + D0 + D1 u ? F C1 + ?D11 + 2B1 D = 0,

C
[Cu (B ? u)? C(Bu + 1)] + C0 + Cu D + C1 u + D1 ? + C(B1 + C? ? Du ) = 0,
?
?C C
(Bu ? 2) + 2Cu +
B?u
?2
1 ?C CF
2C(B ? u) + (C? ? B1 ) ? ?C1 + 3D +
+ +
B?u B?u
?
2 2C
(B ? u) + D (B ? u) + F C
+ Bu +
? ?
? 1 F?
[Cu (B ? u) ? C(2 ? Bu )] + C? ? B1 + ?
+ D?
B?u ? ?
B1 3
? [F ? + (B ? u)(2B ? u)] + ? 3 Buu C 2 (u ? B) +
? ?
2C
[(B ? u)(2B1u ? Duu ) ? CB?u ] +
+
?2
1
+ [2C(B1? ? D?u ) + (B ? u)(2D1u ? B11 )] + 2D1? B? ?
?
B?u
?
? C F ? F C? + Du F ? (B0 ? D + F Cu ) = 0,
?
1
B?? ?2 + (2B?u ?)(B ? u) + Buu (B ? u)2 + B? ?(2 ? Bu ) ? B 2 ?2 = 0,
B?u ?
Умовна симетрiя рiвнянь Нав’є–Стокса 161

(B ? u)2 ?1
? 2F ? 2 (2C[2 ? Bu ] ? Cu [B ? u]) +
B? +
? ??
2(B ? u) (B ? u)2
1
+ B1 ? C? ? ?
(B? C + D? ?) Bu F + +
B?u ? ?
(B ? u)2 1
Duu + [2(B ? u)Du + (2 ? Bu )D? ] + D?? (4)
+? +
2
? ?
B?u 3C(B ? u)
Buu + 2[2CB?u ? B1u (B ? u)] +
+?
?2 ?

+ ?[2CB?? ? 2B1? (B ? u)] = 0;

2) B = u:
D? = 0,
C2
C 2C
D0 + D1 u ? F C1 + (F Cu ? 3D) + ? Duu ? D1u + D11 = 0,
2
? ? ?
2C 2
C0 + Cu D ? CDu ? CC? + C1 u + D1 ? ? = 0,
?
2C ?
+ Du ? C? ? C F = 0.
F
?
II. A = 0 (не втрачаючи загальностi можна покласти B = 1):
?
D0 + F CDu + D1 u ? C 2 F ? DD? ? + (?D? ? F )(C1 + Cu D + CC? ) +
+ ?[D11 + D(2D1u + DDuu + 2CD?u ) + C(2D1? + CD?? )] + D2 = 0,
F CCu ? ?Cu (D1 + DDu + Cu D? ) + D(2C + Du ?) + C0 + C1 u + D1 ? = 0.
Доведення. Випадок I.1. При A = 1 оператор (3) має вигляд
(5)
Q = ?0 + B(x, ?, u)?1 + C(x, ?, u)?? + D(x, ?, u)?u ,
тодi
Q? = ?0 + B?1 ? C = 0,
(6)
Qu = u0 + Bu1 ? D = 0.
Запишемо умову iнварiантностi системи (2) вiдносно оператора (5):
? ?
QS1 = 0 ? 1 + 1 ? 1 u + ?11 ? 1 + Du1 ? C F ?1 ? F 1 ? 0 = 0,
(7)
?
QS2 = 0 ? 0 + 1 ? 0 u + 1 ? 1 ? + D?1 + Cu1 = 0,
де
S1 = u0 + uu1 + ?u11 + F (?)?1 , S2 = ?0 + u?1 + ?u1 ,
? 0 = 1, ? 1 = B(x, ?, u), ? 0 = C(x, ?, u), ? 1 = D(x, ?, u),
? = D? ? ? ? u? D? ? ? , ?? ? ? = D? ? ? ? ? u?? D? ? ? ,
??


D? — оператор повного диференцiювання; а ?, ?, ?, ? набувають значень 0 i 1.
162 В.I. Фущич, М.I. Сєров, Л.О. Тулупова

Переходячи на многовид (x, ?, u), маємо

?00 + B?01 = L1 , ?01 + B?11 = L2 , u00 + Bu01 = L3 ,
u01 + Bu11 = L4 , ?00 + u?01 + ?u01 = L5 , ?01 + u?11 + ?u11 = L6 ,
(8)
L1 = D0 C ? ?1 D0 B, L2 = D1 C ? ?1 D1 B, L3 = D0 D ? u1 D0 B,
L4 = D1 D ? u1 D1 B, L5 = ??1 u0 ? ?0 u1 , L6 = ?2?1 u1 .

Складемо систему лiнiйних рiвнянь (8) вiдносно других похiдних функцiй ?
та u. Ця система буде сумiсна, коли виконуватиметься умова

L5 ? L1 ? uL2 + BL6 ? ?L4 = 0. (9)

Виберемо вiльну змiнну ?11 . Тодi

?00 = L1 ? BL2 + B 2 ?11 , ?01 = L2 ? B?11 ,
B2
u00 = L3 ? BL4 + [L6 ? L2 + (B ? u)?11 ], (10)
?
B 1
u01 = L4 ? [L6 ? L2 + (B ? u)?11 ], u11 = [L6 ? L2 + (B ? u)?11 ].
? ?

Щоб визначити першi похiднi функцiй ? та u, складемо систему з другого рiв-
няння системи (2) та системи (6). Оскiльки ранг одержаної системи 3, а кiлькiсть
змiнних — 4, буде одна вiльна змiнна, за яку вважатимемо ?1 . Отже, маємо

1
?0 = C ? B?1 , [(B ? u)?1 ? C],
u1 =
?
(11)
B
u0 = D ? [(B ? u)?1 ? C].
?

Розв’язуючи одночасно перше рiвняння системи (2) та останнє рiвняння си-
стеми (10), знаходимо

1 ?1 1 2?1
[F ? + (B ? u)2 ] + (Cu ? D? ? BC) + [(B ? u)?1 ? C]+
?11 =
B?u ? ? ?
(12)
1
+ (Cu ? Bu ?1 )[(B ? u)?1 ? C] + C1 + C? ?1 ? B1 ?1 ? B? ?2 .
1
?

Пiдставляючи ?11 з (12) в (10), одержуємо вираз для всiх iнших других похiдних
через ?1 . Потiм, пiдставляючи вирази для всiх похiдних через ?1 в (7) та умову
сумiсностi (9) i розщеплюючи цi рiвняння за степенями ?1 , одержуємо рiвнян-
ня (4).
Випадки I.2 та II доводяться аналогiчно. Теорему доведено.
Для того щоб виписати оператор (3), необхiдно знайти розв’язок системи (4),
що, очевидно, в загальному випадку зробити неможливо.
Умовна симетрiя рiвнянь Нав’є–Стокса 163

При деяких значеннях функцiї F (?) вдалося знайти частиннi розв’язки цих
систем i за ними побудувати такi оператори:
Q1 = ?0 + u?1 + k?2 ?? ,
F = ?,
1
F = ?, Q2 = x0 ?1 + ?? + ?u ,
mx0
m
= ??, Q3 = x0 ?1 ? 2 2 ?? + ?u ,
F
x0 ?
m (13)
= ?k 2 ?, Q4 = (x2 + m2 )?1 + ?? + x0 ?u ,
F 0
k
2u
= ??3 , Q5 = 3x0 ?1 + 3 ?? + ?u ,
F
?
F = f (?), Q6 = x1 ?1 + u?u ,
F = f (?), Q7 = F (?)?1 + ?? ,
де ?, m, k — довiльнi сталi.
Оператори Qi використанi для побудови апзацiв, редукцiї та знаходження то-
чних розв’язкiв системи (2). Нижче наведенi анзаци, якi побудовано за операто-
рами (13) i якi дозволяють редукувати систему (2) до систем звичайних диферен-
цiальних рiвнянь, та точнi розв’язки системи рiвнянь Нав’є–Стокса, що одержанi
пiсля розв’язання вiдповiдних редукованих рiвнянь:
x0 u ? x1 = ?1 (u), x0 u ? x1 = ?(u),
1.
c1 c1
= ?0 (u);
x0 + x0 + = ?(u);
? ?
x1 x1 M k
x1 ?
0
2. ?= 2 + ? (x0 ), ?= (ln x0 + 1) + c + ,
mx2
mx0 m x0
0
x1 1 M
c + x1 ?
+ ?1 (x0 );
u= u= ln x0 ;
x0 x0 m
2

<< Предыдущая

стр. 36
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>