<< Предыдущая

стр. 4
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Для зручностi, ми використовуємо таблицi для задання комутацiйних спiввiд-
ношень мiж базисними елементами алгебр Лi. Так, за допомогою наведеної вище
таблицi визначаємо

[P0 , R1 ] = 4P0 .

Наведемо cкiнченнi перетворення, що вiдповiдають операторам G, R1 , R2 , R3 ,
R4 :
t > t = t, R1 : t > t = t exp(4?),
? ?
G:
x > x = x + ?t, x > x = x exp(5?),
? ?
u > u = u + ?, u > u = u exp(?),
? ?
R2 : t > t = t R3 : t > t = t,
? ?
x > x = x + ?u, x > x = x exp(??) + tu exp(?),
? ?
u > u = u, u > u = u exp(?),
? ?
R4 : t > t = t,
?
x > x = x + ?t (ut ? x) ,
?
u > u = u + ?(ut ? x),
?

? — груповий параметр.
Наведемо точний розв’язок (20) (нижче вказується оператор, анзац, редуко-
ване рiвняння та отриманий внаслiдок редукцiї та iнтегрування редукованого
рiвняння розв’язок):
оператор: R3 = (2tu ? x) ?x + u?u ,
анзац: xu ? tu2 = ?(t),
1/3
редуковане рiвняння: ? = ?(2?) ,
14 В.I. Фущич, В.М. Бойко

розв’язок:
3/2
1 4
xu ? tu =
2
(21)
?t + C .
2 3
Формула (21) задає сiм’ю точних розв’язкiв рiвняння (20) у неявному виглядi.
Теорема 2. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (7) в залежностi
вiд F u(3) є такi алгебри Лi:
1) P0 , P1 , G , якщо F u(3) — довiльна;
k
2) P0 , P1 , G, Y3 , якщо F u(3) = ? u(3) , k = const; k = 0; k = 3 ;
4
3) P0 , P1 , G, Y4 , якщо F u(3) = ln u(3) ;
3/4
4) P0 , P1 , G, D, ? , якщо F u(3) = ? u(3) .
В умовах теореми ? = const, ? = 0,
Y3 = (2k + 1)t?t + (2 ? k)x?x + (1 ? 3k)u?u ,
5
Y4 = t?t + 2x ? t2 ?x + (u ? 5t)?u .
2
Доведення теореми 2 проводиться аналогiчно доведенню теореми 1. Рiвнян-
ня Кортевега–де-Фрiза (4), як частинний випадок (7), включається у випадок 2
теореми 2 при k = 1.
Теорема 3. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (8) в залежностi
вiд F u(4) є такi алгебри Лi:
1) P0 , P1 , G , якщо F u(4) — довiльна;
k
2) P0 , P1 , G, Y5 , якщо F u(4) = ? u(4) , k = const; k = 0; k = 3 ;
5
3) P0 , P1 , G, Y6 , якщо F u(4) = ln u(4) ;
3/5
4) P0 , P1 , G, D, ? , якщо F u(4) = ? u(4) .
В умовах теореми ? = const, ? = 0,
Y5 = (3k + 1)t?t + (2 ? k)x?x + (1 ? 4k)u?u ,
7
Y6 = t?t + 2x ? t2 ?x + (u ? 7t)?u .
2
Доведення теореми 3 проводиться аналогiчно доведенню теореми 1. Теореми
1–3 дають повну симетрiйну класифiкацiю рiвнянь (6)–(8). На основi теорем 1–3
сформулюємо деякi узагальнення стосовно симетрiї рiвняння (1).
Зауваження 1. Легко переконатися, шо рiвняння (1) при довiльнiй функцiї
F u(2) , u(3) , . . . , u(n) iнварiантне вiдносно алгебри Галiлея, яка визначається опе-
раторами P0 , P1 , G.
Проведемо тепер симетрiйний аналiз наступного рiвняння з класу (1)

(22)
u(0) + uu(1) = F u(n) .

Теорема 4. Для довiльного натурального n ? 2 максимальною алгеброю iнварi-
антностi рiвняння

(23)
u(0) + uu(1) = ln u(n)
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 15

є 4-вимiрна алгебра P0 , P1 , G, A1 , де
2n ? 1 2
A1 = t?t + 2x ? t ?x + u ? (2n ? 1)t ?u .
2
Теорема 5. Для довiльного натурального n ? 2 максимальною алгеброю iнварi-
антностi рiвняння
k
(24)
u(0) + uu(1) = ? u(n)
є 4-вимiрна алгебра P0 , P1 , G, A2 , де
A2 = ((n ? 1)k + 1) t?t + (2 ? k)x?x + (1 ? nk)u?u ,
3
k, ? — дiйснi константи, k = 0, k = n+1 , ? = 0, при n = 2 додаткова умова
k = 1 (див. випадок 5 теореми 1).
3
Теорема 6. Для довiльного натурального n ? 2 максимальною алгеброю iнварi-
антностi рiвняння
3/(n+1)
(25)
u(0) + uu(1) = ? u(n) , ? = const, ? = 0
є 5-вимiрна алгебра
(26)
P0 , P1 , G, D, ? .
Зауваження 2. Якщо в (25) n = 1, то одержуємо рiвняння
3/2
(27)
u(0) + uu(1) = ? u(1) .
Теорема 7. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (27) є 4-вимiрна
алгебра P0 , P1 , G, D .
Доведення теорем 4–7 проводиться за допомогою алгоритму Лi.
Зауваження 3. Досить цiкавим є той факт, що (26) визначає алгебру iнварiан-
тностi рiвняння (25) для будь-якого натурального n ? 2.
В таблицi наведено комутацiйнi спiввiдношення для операторiв (26):
P0 P1 G D ?
0 0
P0 P1 2P0 D
0 0 0
P1 P1 G
?P1 ?G
0 0 0
G
?2P0 ?P1 0
D G 2?
?D ?G ?2?
0 0
?
Зауваження 4. Оператори (26) визначають зображення узагальненої алгебри
Галiлея AG2 (1, 1) [5].
Скiнченнi груповi перетворення, що вiдповiдають операторам D, ? в зобра-
женi (26):
t
?: t>t= ? ,
D: t>t ? = t exp(2?),
1 ? ?t
x
x > x = x exp(?),
? x>x= ? ,
1 ? ?t
u > u = u exp(??),
?
u > u = u + (x ? ut) ?,
?
? — груповий параметр.
16 В.I. Фущич, В.М. Бойко

Дослiдимо iнварiантнiсть рiвняння (1) вiдносно зображення (26). Вiрне насту-
пне твердження:
Теорема 8. Рiвняння (1) iнварiантне вiдносно узагальненої алгебри Галiлея
AG2 (1, 1) (26) тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд

(28)
u(0) + uu(1) = u(2) ? ?3 , ?4 , . . . , ?n ,

де ? — довiльна гладка функцiя,

?ku
1 3/(k+1)
?k = u(k) , u(k) = , k = 3, . . . , n.
?xk
u(2)

Доведення. Iнварiантнiсть рiвняння (1) вiдносно групи Галiлея очевидна. Ви-
яснимо, при яких F u(2) , . . . , u(n) рiвняння (1) iнварiантне вiдносно перетворень,
що визначаються операторами D, ?. Використаємо алгоритм Лi. Подiявши n-м
продовженням оператора ? на рiвняння (1), одержимо

(x ? tu) u(1) + ?u ? 3tu(0) ? u(1) x +
+ 1 ? 2tu(1) u + 3tu(2) Fu(2) + 4tu(3) Fu(3) + · · · + (n + 1)tu(n) Fu(n) = 0.

Врахувавши (1), пiсля деяких спрощень отримуємо на F лiнiйне неоднорiдне
рiвняння в частинних похiдних першого порядку

3u(2) Fu(2) + 4u(3) Fu(3) + · · · + (n + 1)u(n) Fu(n) = 3F. (29)

Загальний розв’язок (29) можна записати наступним чином

(30)
F = u(2) ? (?3 , ?4 , . . . , ?n ) ,

де ? — довiльна гладка функцiя,

?ku
1 3/(k+1)
?k = u(k) , u(k) = , k = 3, . . . , n.
?xk
u(2)

Отже, якщо F u(2) , . . . , u(n) визначається згiдно iз спiввiдношеннями (30), то-
дi рiвняння (1) буде iнварiантним вiдносно оператора ?. А з спiввiдношення
[P0 , ?] = D випливає iнварiантнiсть рiвняння (28) вiдносно оператора D. Тео-
рема доведена.
До класу рiвнянь (28) належить рiвняння Бюргерса (3) (при ? = const) та
рiвняння (25). Рiвняння (28) включає, як частинний випадок, наступне рiвняння,
яке можна трактувати як узагальнення рiвняння Бюргерса та використовувати
для опису хвильових процесiв
n
3/(k+1)
(31)
u(0) + uu(1) = ?k u(k) ,
k=2

?k — довiльнi дiйснi константи.
В таблицi наведенi одновимiрнi пiдалгебри для алгебри (26) та вiдповiднi ан-
заци.
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 17

анзац
P1 u = ?(t)
u = ?(t) + xt?1
G
?2
P0 + ?G, ? ? R u=? x? t + ?t
2
u = t?1/2 ? xt?1/2
D
x tx
u = (t2 + 1)?1/2 ?
P0 + ? +
t2
(t2 + 1)1/2 +1

Розглянемо зображення узагальненої алгебри Галiлея AG2 (1, 1) (26). Ми опи-
шемо всi рiвняння другого порядку, що iнварiантнi вiдносно
алгебри Галiлея AG(1, 1) = P0 , P1 , G ,
розширеної алгебри Галiлея AG1 (1, 1) = P0 , P1 , G, D ,
узагальненої алгебри Галiлея AG2 (1, 1) = P0 , P1 , G, D, ? .
Сраведливi наступнi твердження:
Теорема 9. Рiвняння другого порядку iнварiантне вiдносно алгебри Галiлея
AG(1, 1) тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд

? u1 ; u11 ; u0 + uu1 ; u00 u11 ? (u01 )2 ; u01 + uu11 = 0, (32)

де ? — довiльна функцiя.
Теорема 10. Рiвняння другого порядку iнварiантне вiдносно розширеної алгебри
Галiлея AG1 (1, 1) тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд

(u11 )2 u0 + uu1 u11 u00 ? (u01 )2 u01 + uu11
(33)
? ; ; ; = 0,
(u1 )3 (u1 )4 (u1 )2
u11
де ? — довiльна функцiя.
Теорема 11. Рiвняння другого порядку iнварiантне вiдносно узагальненої ал-
гебри Галiлея AG2 (1, 1) тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд
3
u00 u11 ? (u01 )2 + 4u0 u1 u11 + 2uu11 (u1 )2 ? 2u01 (u1 )2 ? (u1 )4
? ;
(u11 )8
(34)
23
u0 + uu1 u01 + uu11 + (u1 )
; = 0,
(u11 )4

<< Предыдущая

стр. 4
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>