<< Предыдущая

стр. 5
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u11

де ? — довiльна функцiя.
Спiввiдношення (32)–(34) дають повний опис галiлей-iнварiантних рiвняння
другого порядку (зображення алгебри Галiлея та її розширень визначаються ба-
зисними операторами (26)).
На завершення наведемо результат симетрiйної класифiкацiї одного нелiнiй-
ного рiвняння гiдродинамiчного типу. В роботах [10, 11] запропоновано наступне
узагальнення рiвняння Нав’є–Стокса

?1 Lv + ?2 L(Lv) = F v 2 v + ?4 ?p, (35)
18 В.I. Фущич, В.М. Бойко

де
? ?
L? + vl + ?3 , l = 1, 2, 3,
?t ?xl
v = v 1 , v 2 , v 3 , v l = v l (t, x), p = p(t, x), ? — градiєнт, — оператор Лапласа,
2
?1 , ?2 , ?3 , ?4 — довiльнi дiйснi параметри, F v — довiльна гладка функцiя.
В одновимiрному скалярному випадку (при ?3 = 0, ?4 = 0) рiвняння (35) має
вигляд

(36)
?1 Lu + ?2 L(Lu) = F (u),

де u = u(t, x), L ? ?t + u?x .
У тому випадку, коли ?2 = 0 та F (u) = 0, рiвняння (36) — рiвняння простої
хвилi. Якщо ?2 = 0, тодi рiвняння (36) можна переписати у виглядi

(37)
L(Lu) + ?Lu = F (u), ? = const,

або в розгорнутому виглядi
2
?2u ?2u ?2u
?u ?u ?u ?u ?u
+ u2
+ 2u + +u +? +u = F (u).
?t2 ?x2
?t?x ?t ?x ?x ?t ?x

Очевидно, що при довiльнiй F (u) рiвняння (37) iнварiантне вiдносно двови-
мiрної алгебри трансляцiй, яка визначається операторами

(38)
P 0 = ?t , P1 = ? x .

Проведемо симетрiйну класифiкацiю рiвняння (37), тобто опишемо функцiї
F (u), при яких рiвняння (37) допускає бiльш широкi алгебри Лi, нiж двовимiрна
алгебра трансляцiй (38). Наведемо деякi класи точних розв’язкiв рiвняння (37),
що задаються неявно. Зрозумiло, що для дослiдження симетрiї рiвняння (37)
принципово рiзними будуть випадки ? = 0 та ? = 0. Якщо ? = 0, то завжди
можна вважати ? ? 1 (iснує замiна змiнних ), тому ми розглянемо випадки ? = 0
та ? = 1.
I. Розглядаємо рiвняння (37) у випадку ? = 0, тобто рiвняння

(39)
L(Lu) = F (u).

Випадок 1.1. F (u) — довiльна неперервно-диференцiйовна функцiя. Макси-
мальною алгеброю iнварiантностi рiвняння (39) у цьому випадку є двовимiрна
алгебра трансляцiй (38).
Випадок 1.2. F (u) = a exp (bu), a, b = const, a = 0, b = 0. Не обмежуючи
загальностi можна вважати, що b ? 1 (iснує замiна змiнних). Максимальною
алгеброю iнварiантностi рiвняння

(40)
L(Lu) = a exp (u)

є 3-вимiрна алгебра з базисними операторами

Y = t?t + (x ? 2t)?x ? 2?u . (41)
P0 , P1 ,
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 19

Слiд вiдмiтити, що Y в (41) можна представити як лiнiйну комбiнацiю опера-
торiв дилатацiї та Галiлея

Y = (t?t + x?x ) ? 2(t?x + ?u ) = D ? 2G.

Оператори D та G комутують, тому перетворення, що вiдповiдають Y , можна
iнтерпретувати як деяку композицiю дилатацiйних та галiлеївських перетворень,
тобто як композицiю розтягу по t i x i перетворень Галiлея, хоча розширена ал-
гебра Галiлея не є алгеброю iнварiантностi рiвняння (40). Аналогiчнi результати
мають мiсце й для iнших випадкiв рiвняння (37).
Випадок 1.3. F (u) = a(u+b)p , a, b, p = const, a = 0, p = 0, p = 1. Максимальною
алгеброю iнварiантностi рiвняння

L(Lu) = a(u + b)p

є 3-вимiрна алгебра з базисними операторами
p?3 2b 2
x? t ?x ?
P0 , P1 , R = t?t + (u + b)?u .
p?1 p?1 p?1
Випадок 1.4. F (u) = au + b, a, b = const, a = 0. Внаслiдок замiни змiнних,
завжди можна покласти a ? 1 або a ? ?1. Розглянемо цi випадки.
a) Алгеброю iнварiантностi рiвняння

L(Lu) = u + b

є 7-вимiрна алгебра з базисними операторами

P0 , P1 , Y1 = (x + bt)?x + (u + b)?u ,
Y2 = ch t?x + sh t?u , Y3 = sh t?x + ch t?u ,
Y4 = ch t?t + (x + bt) sh t?x + ((x + bt) ch t + b sh t)?u ,
Y5 = sh t?t + (x + bt) ch t?x + ((x + bt) sh t + b ch t)?u .

b) Алгеброю iнварiантностi рiвняння

L(Lu) = ?u + b

є 7-вимiрна алгебра з базисними операторами

P0 , P1 , R1 = (x ? bt)?x + (u ? b)?u ,
R2 = cos t?x ? sin t?u , R3 = sin t?x + cos t?u ,
R4 = ? cos t?t + (x ? bt) sin t?x + ((x ? bt) cos t ? b sin t)?u ,
R5 = sin t?t + (x ? bt) cos t?x ? ((x ? bt) sin t + b cos t)?u .

Випадок 1.5. F (u) = a, a = const. У випадку a = 0 (iснує замiна змiнних) не
обмежуючи загальностi можна покласти a ? 1. Тому окремо розглянемо випадки
a = 0 та a = 1.
a) Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння

L(Lu) = 0
20 В.I. Фущич, В.М. Бойко

є 10-вимiрна алгебра з базисними операторами
P0 , P1 , G = t?x + ?u , D = t?t + x?x , D1 = x?x + u?u ,
1 1 1
A1 = t2 ?t + tx?x + x?u , A2 = t2 ?x + t?u , A3 = u?t + u2 ?x ,
2 2 2
12 12 (42)
A4 = (tu ? x)?t + tu ?x + u ?u ,
2 2
122
A5 = t2 u ? 2tx ?t + t u ? 2x2 ?x + tu2 ? 2xu ?u .
2
b) Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння
L(Lu) = 1
є 10-вимiрна алгебра з базисними операторами
12
P0 , P1 , G = t?x + ?u , A2 = t ?x + t?u , B1 = t?t + 3x?x + 2u?u ,
2
1 1
x ? t 3 ?x + u ? t 2 ?u ,
B2 =
6 2
1 1 1
= t2 ?t + tx + t4 ?x + x + t3 ?u ,
B3
2 12 3
1 1 2 14 1
= u ? t 2 ?t + u ? t ?x + tu ? t3 ?u ,
B4
2 2 8 2
(43)
1 1 2 12 1
= tu ? x ? t3 ?t + tu ? t x ? t5 ?x +
B5
3 2 2 24
1 2 12 5
u + t u ? tx ? t4 ?u ,
+
2 2 24
1 122 1 1
= t2 u ? 2tx ? t4 ?t + t u ? 2x2 ? t3 x ? t6 ?x +
B6
6 2 3 72
1 1
+ tu2 ? 2xu + t3 u ? t2 x ? t5 ?u .
3 12
Слiд зазначити, що пiдалгебри P0 , P1 , G , A1 , ?A2 , G та P0 , P1 , G , B3 ,
?A2 , G в зображеннях (42) i (43) вiдповiдно визначають два рiзнi нееквiвален-
тних зображення алгебри Галiлея AG(1, 1).
II. Розглядаємо рiвняння (37) у випадку ? = 0 (вважаємо, що ? ? 1).
Випадок 2.1. Максимальною алгеброю iнварiантностi рiвняння
L(Lu) + Lu = F (u),
якщо F (u) — довiльна функцiя, є 2-вимiрна алгебра (38).
Випадок 2.2. F (u) = au3 ? 2 u, a = const, a = 0. Максимальною алгеброю
9
iнварiантностi рiвняння
2
L(Lu) + Lu = au3 ? u
9
є 3-вимiрна алгебра з базисними операторами
1 1
?t ? u?u .
P0 , P1 , Z = exp t
3 3
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 21

Випадок 2.3. F (u) = au + b, a, b = const, a = 0. Алгеброю iнварiантностi
рiвняння

L(Lu) + Lu = au + b

є 5-вимiрна алгебра з базисними операторами
b b
P0 , P1 , Z1 = x + t ?x + u + ?u ,
a a
а два iншi оператори в залежностi вiд значення константи a мають вигляд:
a) a = ? 1
4

1 1 1 1
Z2 = exp ? t ? x ? ?u , Z3 = exp ? t t?x + 1 ? t ?u ;
2 2 2 2

b) a > ? 1 , a = 0
4

Z4 = exp(?t)(?x + ??u ), Z5 = exp(?t)(?x + ??u ),

де
v v
?1 ? ?1 +
4a + 1 4a + 1
?= , ?= ;
2 2
c) a < ? 1
4

Z6 = exp(?t)(sin ?t?x + (? sin ?t + ? cos ?t)?u ),
Z7 = exp(?t)(cos ?t?x + (? cos ?t ? ? sin ?t)?u ),
де

?(4a + 1)
1
?=? , ?= .
2 2
Випадок 2.4. F (u) = a, a = const. Алгеброю iнварiантностi рiвняння

L(Lu) + Lu = a

є 5-вимiрна алгебра з базисними операторами

P0 , P1 ,
G = t?x + ?u ,
a
Q1 = x ? t2 ?x + (u ? at)?u , Q2 = exp(?t)(?x ? ?u ).
2
Таким чином, проведена симетрiйна класифiкацiя рiвняння (37) (описанi ма-
ксимальнi алгебри iнварiантностi за виключенням випадкiв 1.4, 2.3, 2.4). Отрима-
нi новi, сутт’єво нелiнiйнi, зображення алгебр Лi, зокрема нелiнiйнi розширення
алгебри Галiлея AG(1, 1) (див. (42), (43)). Бiльш детальнiше результати симе-
трiйної класифiкацiї рiвняння (37) наведенi нами в [12, 13].
У випадку, коли рiвняння (37) має вигляд

(44)
L(Lu) + ?Lu = a, a, ? = const,
22 В.I. Фущич, В.М. Бойко

замiна змiнних
(45)
t = ?, x = ? + u?, u=u
дає можливiсть побудови загального розв’язку (44) (детальнiше див. [14]). Вна-
слiдок замiни змiнних (45)
? ? ?u ?u u?
> ?? , >
L= +u Lu = +u .
?t ?x ?t ?x 1 + ? u?
Рiвняння (44) пiсля виконання замiни матиме вигляд
u? u?
(46)
?? +? = a.
1 + ? u? 1 + ? u?
Один раз проiнтегрувавши рiвняння (46), необхiдно враховувати випадки ?, a =
0, або = 0, отримуємо лiнiйне неоднорiдне рiвняння в частинних похiдних пер-

<< Предыдущая

стр. 5
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>