<< Предыдущая

стр. 56
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

where g µ are arbitrary functions.
Consider a system of partial di?erential equations determined by the collection
of operators L1 , . . . , Lr of the form (2) (u ? u), and the number of operators must
252 V.M. Boyko, W.I. Fushchych

not exceed the number of independent variables, i.e., r ? k + 1. In other words,
consider the system of partial di?erential equations which consists of m equations of
the form (8), where L is one of the operators L1 , . . . , Lr and D[u] ? D[u]. If these
operators form a commutative algebra Lie and the rank of the matrix consisting of the
coe?cients of the operators L1 , . . . , Lr is equal to r, then there exists a local change
of variables which transforms these operators to r operators of di?erentiation with
respect to r ?rst independent variables. Thus, if the above conditions are satis?ed for
a system, we can lower its order and in some cases construct its solutions (at least in
principle).
Example 7. Consider the system

?t + v?x u = 0,
(22)
?t + u?x v = 0,

where u = u(t, x), v = v(t, x), u = v.
After the change of variables
x ? ut x ? vt
(23)
?= , ?= , U = u, V =v
v?u u?v
the system (22) takes the simple form
?? U = 0,
(24)
?? V = 0.

Integrating (24) and performing the change of variable inverse to (23), we obtain
a solution of (22) in the form
x ? vt x ? ut
u=f , v=g ,
u?v v?u
where f and g are arbitrary functions.
Acknowledgements. V. Boyko is grateful to the DFFD of Ukraine (project
1.4/356) for ?nancial support.

1. Boyko V., Symmetry classi?cation of the one-dimensional second order equation of a hydrody-
namic type, J. Nonlinear Math. Phys., 1995, 2, № 3-4, 418–424.
2. Fairlie D.B., Leznov A.N., General solution of the universal equation in n–dimensional space,
J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 4, 333–339.
3. Fushchych W., Symmetry analysis. Preface, in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical
Physics, Kyiv, Inst. of Math., 1992, 5–6.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 253–255.

What is the velocity
of the electromagnetic ?eld?
W.I. FUSHCHYCH
A new de?nition for the electromagnetic ?eld velocity is proposed. The velocity de-
pends on the physical ?elds.

The question posed by the title of this paper is, surprisingly, not yet answered
uniquely today; not even by way of de?nition. According to modern assumptions the
light is the electromagnetic ?eld (with corresponding frequencies) and therefore it is
obvious that the answer to the posed fundamental question is not obvious.
Today the following de?nitions of the velocity of light are used [1, 2]:

1) phase velocity,
2) group velocity,
3) velocity of energy transport.

The de?nition of phase- and group velocity is based on assumptions that the
electromagnetic wave can be characterized by the function ?(t, x), which has the
following form [1, 2]
?(t, x) = A(x) cos(?t ? g(x)) (1)
or
?
A? (x) cos(?t ? g? (x))d?, (2)
?(t, x) =
0

where A(x) is the wave amplitude and g(x) is an arbitrary real function. The phase-
velocity is de?ned by the following formula
(3)
v1 = ?/| g(x)|.
By the above formulas it is clear that the de?nition of the phase- and group-velocity is
based on the assumption that the electromagnetic wave has the structure (1) (or (2))
and its velocity does not depend on the amplitude A. Moreover, the equation which is
to be satis?ed by ?, has never been clearly stated. This is, in fact, a very important
point since ? can satisfy the standard linear wave equation (d’Alembert equation) or,
for example a nonlinear wave equation [3]. These two cases are essentially di?erent
and lead to principly di?erent results. One should mention that the phase- and group-
velocities cannot directly be de?ned in terms of the electromagnetic ?elds E and H.
The velocity of electromagnetic energy transport is de?ned by the formula
s
, s = c(E ? H), W = E 2 + H 2 , (4)
v2 =
W
where s is the Poyting–Heaviside vector.
J. Nonlinear Math. Phys., 1998, 5, № 2, P. 159–161 (translated by Marianna Euler and reprinted
from Dopovidi of the Academy of Sciences of Ukraine, 1997, № 4, P. 51–53).
254 W.I. Fushchych

Formula (4) has the following disadvantage: Both E and H are invariant under
the Lorentz transformation, whereas v2 does not have this property.
The aim of the present paper is to give some new de?nitions of the electromagnetic
?eld velocity.
If the electromagnetic ?eld is some energy ?ow, then we de?ne the velocity of such
?ow, in analogy with hydrodynamics [4], by the following equation

?v ?v
= a1 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .)D + a2 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .)B +
+ vl
?t ?xl
+ a3 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .)E + a4 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .)H +
?D (5)
? H) ? ? 4? J
+ a5 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .) c( +
?t
?B
? H) +
+ a6 (D, B 2 , E 2 , H 2 , DE, . . .) c( .
?t

The structure and explicit form of the coe?cients a1 , . . . , a6 is de?ned by the demand
that equation (5) should be invariant with respect to the Poincar? group if the ?elds
e
are transformed according to the Lorentz transformation [5].
The main advantage of (5), in comparison with (1), (2), lies in the following:

1. The velocity of the electromagnetic ?eld is directly de?ned by the observables
D, B, E, H, J, and their ?rst derivatives.
2. For particular coe?cients, eq. (5) is invariant under the Poincar? group.
e
3. In the case where a1 = a2 = a3 = a4 = 0 and the ?elds D, B, E, H satisfy
Maxwell’s equation

?D ?B
? H) ? ? 4? J = 0, ? E) + (6)
c( c( = 0,
?t ?t

then the velocity of the electromagnetic ?eld is of constant value, with

?v ?v
(7)
+ vl = 0.
?t ?xl

In order to use eq. (5) one should concretely de?ne the coe?cients a1 , . . . , a6 .
The explicitly-covariant de?nition of electromagnetic ?eld velocity can be given
the following equation [5]
?v?
= a(E 2 , H 2 , E H)F?? v ? . (8)
vµ µ
?x
Using Maxwell’s equation in vacuum, one can obtain the following formula for the
velocity of the electromagnetic ?eld
1/2
1 (? E/?t)2 + (? H/?t)2
|v| = (9)
2 (rot E)2 + (rot H)2
What is the velocity of the electromagnetic ?eld? 255

From (7) it is clear that the velocity depends only on derivatives of the ?elds. |v| is
a conditional invariant with respect to the Lorentz transformation, i.e., if E and H
satisfy the full system of Maxwell’s equations in vacuum, then |v| would be an invariant
of the Lorentz group. In other words, the conditional invariant is a particular scalar
combination of the ?elds, for which the ?elds satisfy some equations with nontrivial
solutions. Well known invariants for the electromagnetic ?eld E H and E 2 ? H 2 are
absolute invariants with respect to the Lorentz group.

1. Born M., Wolf E., Principles of optics, MacMillan, New York.
2. Brillouin L., Wave propagation and group velocity, New York, Academic Press, 1960.
3. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solution of equations of
nonlinear mathematical physics, Kluwer Academic Press, 1993.
4. Fushchych W., Dopovidi of the Ukrainian Academy of Sciences, 1992, № 4, 24–27.
5. Fushchych W., J. Nonlinear Math. Phys., 1995, 2, 216–235.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 256–265.

Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп
Галiлея в двовимiрному просторi-часi
В.I. ФУЩИЧ, В.I. ЛАГНО
We study the Galilei groups represented as groups of the Lie transformations in the
space of two independent and one dependent variables. We classify the representations
? ? ?
of groups AG1 (1, 1), AG2 (1, 1), AG3 (1, 1), AG1 (1, 1), AG2 (1, 1), and AG3 (1, 1) in the
class of Lie vector ?elds.
Дослiджуються зображення груп Галiлея як груп перетворень Лi у просторi двох
незалежних та однiєї залежної змiнних. Проведена класифiкацiя зображень груп
? ? ?
AG1 (1, 1), AG2 (1, 1), AG3 (1, 1), AG1 (1, 1), AG2 (1, 1) та AG3 (1, 1) у класi векторних
полiв Лi.

У сучасному теоретико-груповому аналiзi диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними актуальною є задача опису найбiльш загального вигляду рiв-
нянь, що допускають дану групу перетворень Лi [1, 2]. Серед таких груп цен-
тральне мiсце посiдають групи Пуанкаре та Галiлея, якi є групами симетрiї ряду
фундаментальних рiвнянь вiдповiдно релятивiстської та нерелятивiстської фi-
зики [3–5]. Зокрема, широкi класи рiвнянь еволюцiйного типу, якi допускають
групу Галiлея, було отримано в роботах [6–8]. Але питання про побудову всiх
таких рiвнянь залишається вiдкритим.
У зв’язку з цим виникає проблема опису можливих зображень цих груп у
класi векторних полiв Лi. Вiдзначимо, що деякi класи зображень груп Пуанкаре
та Галiлея для випадку однiєї залежної функцiї було отримано в робогах [9–
12], розширених груп Галiлея в двовимiрному просторi-часi для двох залежних
функцiй — у роботi [13].
У данiй статтi ми розв’язуємо проблему опису всiх можливих зображень груп
Галiлея в двовимiрному просторi-часi для випадку однiєї залежної функцiї.
Вiдзначимо, що iснування розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь з частинними похiдними першого порядку, на яке ми спираємося пiд час
доведення тверджень, випливає з загальної теорiї диференцiальних рiвнянь з
частинними похiдними [14], в рамках припущень щодо гладкостi функцiй, якi
входять у такi рiвняння.
1. Говорячи про групу Галiлея в двовимiрному просi орi-часi, ми маємо на
увазi локальну групу перетворень у просторi V = R2 ? U , де R2 = t, x — про-
cтiр двох незалежних дiйсних змiнних, а U = u — простiр дiйсних скалярних
функцiй u = u(t, x). Як вiдомо [1–3], векторнi поля Лi, що генерують деяку групу
Лi G, складають базис алгебри Лi AG цiєї групи. Тому задача вивчення зобра-
жень даної групи G у класi векторних полiв Лi еквiвалентна вивченню зображень
алгебри Лi AG у класi диференцiальних операторiв першого порядку, якi в на-
шому випадку мають вигляд
(1)
Q = ? (t, x, u)?t + ?(t, x, u)?x + ?(t, x, u)?u ,
Укр. мат. журн., 1998, 50, № 3, С. 414–423.
Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп Галiлея 257

де ? , ?, ? — деякi дiйснi гладкi функцiї у просторi V , ?t = ?/?t, ?x = ?/?x,
?u = ?/?u.
Нехай AG = X1 , X2 , . . . , XN — алгебра Лi, базиснi генератори якої задоволь-
няють комутацiйнi спiввiдношення
n
(2)
[Xk , Xm ] = Ckm Xn ,
n
де Ckm — дiйснi сталi величини, що називаються структурними константами i
визначають саму алгебру AG, k, m, n = 1, 2, . . . , N .
Означення. Оператори Xi , i = 1, 2, . . . , N , вигляду (1) реалiзують у просторi V
зображення векторними полями Лi алгебри Лi AG, якщо вони
1) лiнiйно незалежнi;
2) задовольняють комутацiйнi спiввiдношення (2).
Отже, проблема опису всiх зображень даної алгебри Лi AG зводиться до
розв’язання спiввiдношень (2) у класi векторних полiв Лi, що в загальному ви-
падку викликає iстотнi труднощi. З iншого боку, комутацiйнi спiввiдношення (2)
не змiнюються при довiльнiй взаємно однозначнiй замiнi змiнних
(3)
t1 = h(t, x, u), x1 = g(t, x, u), u1 = f (t, x, u),
де h, g, f — гладкi у просторi V функцiї. Звiдси випливає, що на множинi зо-
бражень векторних полiв Лi алгебри AG можна ввести таке спiввiдношення: два
зображення X1 , X2 , . . . , XN , X1 , X2 , . . . , XN , якi одночасно визначенi у про-
сторi V , будуть еквiвалентними, якщо вони трансформуються одне в iнше в ре-
зультатi виконання у просторi V деякого перетворення (3). Таким чином, пере-
творення (3) утворюють у просторi V групу (назвемо її групою дифеоморфiзмiв),
яке задає природне спiввiдношення еквiвалентностi на множинi всiх можливих
у просторi V зображень алгебри AG. Ця група розбиває таку множину на кла-
си A1 , A2 , . . . , As еквiвалентних зображень. Тому для опису всiх можливих зо-
бражень досить побудувати по одному представнику вiд кожного класу еквiва-
лентностi Aj , j = 1, 2, . . . , s. Саме використання групи дифеоморфiзмiв робить
задачу опису зображень векторними полями Лi групи Лi конструктивною.
У подальшому розглядi зображень ми використовуємо наступну класифiкацiю
алгебр Галiлея (див., наприклад, [15]).
Класичною алгеброю Галiлея називається алгебра AG1 (1, 1) = T, P, G , бази-
снi оператори якої задовольняють комутацiйнi спiввiдношення
[T, P ] = ?0, [T, G] = ?P, (4)
(5)
[P, G] = 0.
?
Спецiальною алгеброю Галiлея називається алгебра AG2 (1, 1) = AG1 (1, 1) +
D , базиснi оператори якої задовольняють комутацiйнi спiввiдношення (4), (5)
та спiввiдношення
[D, P ] = ?P, [D, T ] = ?2T. (6)
[D, G] = G,
Повною алгеброю Галiлея називається алгебра AG3 (1, 1) = T, P, G, D, S , ба-
зиснi оператори якої задовольняють комутацiйнi спiввiдношення (4)–(6) та спiв-
вiдношення
(7)
[S, G] = 0, [S, P ] = G, [T, S] = D, [D, S] = 2S.

<< Предыдущая

стр. 56
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>