<< Предыдущая

стр. 57
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

258 В.I. Фущич, В.I. Лагно

Нехай M — оператор, що задовольняє такi комутацiйнi спiввiдношення:

(8)
[M, T ] = [M, P ] = [M, G] = [M, D] = [M, S] = 0,

(9)
[G, P ] = M.

Алгебри
?
AG1 = T, P, M, G ,
?
AG2 = T, P, M, G, D ,
?
AG3 = T, P, M, G, D, S ,

базиснi оператори яких задовольняють комутацiйнi спiввiдношення (4), (6)–(9),
називаються розширеною класичною алгеброю Галiлея, розширеною спецiальною
алгеброю Галiлея та розширеною повною алгеброю Галiлея (алгеброю Шрьодiн-
гера) вiдповiдно.
2. Спочатку розглянемо класифiкацiю зображень класичної, спецiальної та
повної алгебр Галiлея. Оскiльки спецiальна алгебра Галiлея отримується з кла-
сичної за допомогою доповнення останньої оператором D, а повна алгебра Галi-
лея — доповненням спецiальної оператором S, то розгляд розпочинаємо з алгебри
?
AG1 (1, 1) = T, P + G , яка мiстить комутативний iдеал I = T, P .
Лема 1. Нехай T , P — лiнiйно незалежнi оператори вигляду (1). Iснують пе-
ретворення (3), якi зводять цi оператори до однiєї з форм:

P = ??x , (10)
T = ?t ,

P = ?x?t . (11)
T = ?t ,

Доведення. Згiдно з теоремою про подiбнiсть векторних полiв (див., напри-
клад, роздiл 1, § 3 [1]), ми завжди можемо покласти T = ?t . Оскiльки оператори
T , P утворюють комутативний iдеал, то оператор P має такий найбiльш загаль-
ний вигляд:

P = ? (x, u)?t + ?(x, u)?x + ?(x, u)?u .

Введемо в розгляд матрицю
1 0 0
A= ,
? ? ?
яка складена з коефiцiєнтiв при похiдних в операторах T , P . Очевидно, що мо-
жливi лише два випадки: rank A = 2 або rank A = 1.
Нехай rank A = 2. Тодi завжди можемо вважати, що в A ? = 0. Справдi, якщо
це не так, тобто ? = 0, ? = 0, застосувавши замiну змiнних за правилом

(12)
t1 = t, x1 = u, u1 = x

та повернувшись до початкових позначень, одержимо шуканий результат. Замiна
змiнних

(13)
t1 = t + h(x, u), x1 = g(x, u), u1 = f (x, u)
Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп Галiлея 259

залишає вигляд оператора T iнварiантним: T > ?t1 . Вважаючи в (13) функцiї
h(x, u), g(x, u), f (x, u) розв’язками системи
?gx + ?gu = ?1,
?hx + ?hu + ? = 0, ?fx + ?fu = 0,
оператор P зводимо до вигляду P = ??x1 , тобто з точнiстю до позначень одер-
жуємо (10).
Нехай тепер rank A = 1. Тодi ? = ? = 0, ? = 0 i, крiм того, ? не є сталою вели-
чиною. Тому з точнiстю до замiни (12) можемо вважати, що ?x = 0. Поклавши
x1 = ?? (x, u),
t1 = t, u1 = u,
одержуємо (11). Нееквiвалентнiсть зображень (10) та (11) очевидна. Лему дове-
дено.
Теорема 1. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi класичної ал-
гебри Галiлея AG1 (1, 1) вичерпуються зображеннями

P = ??x ,
AG1 (1, 1) : T = ?t , G = t?x ;
1
P = ??x ,
AG2 (1, 1) : T = ?t , G = u?t + t?x ;
1
P = ??x ,
AG3 (1, 1) : T = ?t , G = t?x + u?u ;
1
P = ?x?t ,
AG4 (1, 1) G = xt?t + x2 ?x .
: T = ?t ,
1

Доведення. Здiйснимо розширення iдеалу I оператором G. Для побудови пред-
ставникiв класiв еквiвалентних зображень будемо використовувати тi з перетво-
рень (3), якi залишають форму операторiв T , P незмiнною.
Нехай оператори T , P мають вигляд (10), а оператор G — вигляд (1). Перевi-
ряючи виконання комутацiйних спiввiдношень (4), (5), переконуємося, що
(14)
G = ? (u)?t + (t + ?(u))?x + ?(u)?u .
Найбiльш загальна замiна змiнних, вiдносно якої вигляд операторiв T , P є
iнварiантним, має вигляд
(15)
t1 = t + h(u), x1 = x + g(u), u1 = f (u).
Якщо в (14) ? = 0, то, покладаючи в (15) h = ?, зводимо оператор G до вигляду
G = ?1 (u1 )?t1 + t1 ?x1 . Якщо ? (u1 ) = 0, то має мiсце зображення AG1 (1, 1). Якщо
? ? 1
?1 (u1 ) = 0, ?u1 = 0, то, поклавши в (15) f = ? , одержимо зображення AG2 (1, 1).
? ? ? 1
Нарештi, якщо ? = k = const, то G = k?t1 +t1 ?x1 , тобто G є лiнiйною комбiнацiєю
?
операторiв T та t1 ?x1 , що вiдповiдає зображенню AG1 (1, 1).
1
Якщо в (14) ? = 0, то вважаючи в (15) функцiї h, g,f розв’язками системи
?hu + ? = 0, ? + ?gu = 0, hfu = 1,
одержуємо зображення AG3 (1, 1). Неважко переконатися, що серед замiн (15)
1
не iснує такої, що переводить зображення AG1 (1, 1), AG2 (1, 1), AG3 (1, 1) одне в
1 1 1
iнше.
Нехай тепер оператори T , P мають вигляд (11). З виконання комутацiйних
спiввiдношень (4), (5) отримуємо
G = [tx + ? (x, u)]?t + x2 ?x + ?(x, u)?u .
260 В.I. Фущич, В.I. Лагно

Найбiльш загальне перетворення, яке залишає незмiнною форму операторiв T ,
P , має вигляд
(16)
t1 = t + h(x, u), x1 = x, u1 = f (x, u).
Вважаючи в (16) функцiї h та f розв’язками системи
? + x2 hx + ?hu = xh, x2 fx + ?fu = 0,
одержуємо зображення AG4 (1, 1). Очевидно, що це зображення не є еквiвален-
1
тним жодному з отриманих вище. Теорему доведено.
Наслiдок 1.1. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi спецiальної
алгебри Галiлея AG2 (1, 1) вичерпуються зображеннями
AG1 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , G = t?x ,
2
(17)
D = 2t?t + x?x + ?u?u , де ? = 0, 1;

AG2 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , G = t?x + u?u ,
2
(18)
D = 2t?t + x?x + u(? ? ln |u|)?u , ? ? R;

AG3 (1, 1) : T = ?t , P = ?x?t , G = xt?t + x2 ?x ,
2
(19)
D = 2t?t + x?x + ?u?u , де ? = 0, 1;

AG4 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , G = u?t + t?x ,
2
D = 2t?t + x?x + 3u?u .

Наслiдок 1.2. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi повної ал-
гебри Галiлея AG3 (1, 1) вичерпуються зображеннями
AG1 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (17), де ? = 0, S = t2 ?t + tx?u ;
3
AG2 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (17), де ? = 1,
3
S = t2 ?t + (tx + ?1 u3 )?x + u(t + ?u2 )?u ,
де ?1 = ±1, ? ? R або ? = 0, ? = 0, ±1;
AG3 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (18),
3
S = t2 ?t + tx?x + [ux + (? ? ln |u|t)]?u , ? ? R;
AG4 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (19), де ? = 0, S = t2 ?t + xt?x .
3

Для доведення наслiдку 1.1 потрiбно кожне з отриманих в теоремi 1 зображень
класичної алгебри Галiлея розширити оператором D вигляду (1) до зображення
спецiальної алгебри Галiлея, вимагаючи виконання спiввiдношень (6). Аналогiч-
но, для доведення наслiдку 1.2 доповнюємо отриманi зображення спецiальної ал-
гебри Галiлея оператором S вигляду (1), вимагаючи виконання спiввiдношень (7).
Вiдзначимо, що зображення AG3 (1, 1), ? = 1, та AG4 (1, 1) не допускають розши-
2 2
рення до зображень повної алгебри Галiлея.
3. Розглядаємо класифiкацiю зображень розширених алгебр Галiлея, викори-
стовуючи той же алгоритм, що i для опису зображень алгебр Галiлея. Оскiльки
? ?
алгебра AG1 (1, 1) = T, P, M + G мiстить комутативний iдеал I = T, P, M ,
розгляд розпочинаємо iз класифiкацiї зображень I.
Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп Галiлея 261

Лема 2. Нехай T , P , M — лiнiйно незалежнi оператори вигляду (1). Iснують
перетворення (3), якi зводять цi оператори до однiєї з форм:
P = ??x , (20)
T = ?t , M = u?u ,

P = ??x , (21)
T = ?t , M = ?(u)?t + ?(u)?x ,
??
P = ?x?t , (22)
T = ?t , M = ?(x)?t , = const,
?x
P = ?x?t , (23)
T = ?t , M = 2u?t ,

P = ?x?t , (24)
T = ?t , M = 2?u .

Тут ?(u), ?(u) — довiльнi дiйснi функцiї, що одночасно не є сталими.
Доведення. Згiдно з лемою оператори T i P зводяться до вигляду (10) або (11).
?
Нехай має мiсце (10). Тодi внаслiдок комутативностi iдеалу I оператор M має
вигляд
M = ? (u)?t + ?(u)?x + ?(u)?u ,
який допускає зведення до вигляду (20) перетвореннями (15) лише у випадку
? = 0. Якщо ? = 0, то оператор M зводиться до оператора u1 ?t1 + ?(t1 )?x1 при
d? d?
du = 0, та до оператора u1 ?x1 при du = 0. Обидва випадки вiдповiдають (21).
Нехай тепер має мiсце (11). Тодi
M = ? (x, u)?t + ?(x, u)?u ,
?
i матриця A, складена з коефiцiєнтiв при похiдних в операторах T , P , M , набуває
вигляду
? ?
1 00
A = ? ?x 0 0 ? .
?
? 0?
? ?
Очевидно, що можливi два випадки: rank A = 2 або rank A = 1.
?
Якщо rank A = 2, то ? = 0. Вважаючи в замiнi (16) функцiї h та f розв’язками
системи
?hu + ? = 0, ?fu = 2,
зводимо оператор M до оператора M = 2?u1 . Отже, має мiсце зображення (24).
?
Якщо rank A = 1, то ? = 0, ? = 0. При ?u = 0 маємо випадок (22) . Якщо
?u = 0, то поклавши в (16) h = 0, f = ? /2, зводимо оператори T , P , M до
вигляду (23). Нееквiвалентнiсть усiх випадкiв випливає з попереднiх мiркувань.
Лему доведено.
Теорема 2. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi розширеної
?
класичної алгебри Галiлея AG1 (1, 1) вичерпуються зображеннями
?
AG1 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , M = u?u , G = t?x + xu?u ;
1
? 2 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , M = ??t + u?x ,
AG1
G = x??t + (t + xu)?x + (u2 + ?)?u ,
262 В.I. Фущич, В.I. Лагно

де ? = 0, або ? = ?(u) задовольняє спiввiдношення 2?(C? ? 1) = u2 , C = const ? R;
?
AG3 (1, 1) : T = ?t , P = ?x?t , M = ?(x)?t ,
1
G = xt?t + (x2 ? ?(x))?x ,
де функцiя ? = ?(x) (d?/dx = 0) задовольняє спiввiдношення C? 2 + 2? = x2 ,
C = const ? R;
?
AG4 (1, 1) : T = ?t , P = ?x?t , M = 2u?t ,
1
G = xt?t + (x2 ? 2u)?x + ux?u .
Доведення. Для доведенння теореми потрiбно кожне iз зображень (20)–(24)
розширити оператором G вигляду (1) до зображень розширеної класичної ал-
?
гебри Галiлея AG(1, 1). Усi випадки розглядаються аналогiчно, тому детально
зупинимося лише на деяких iз них.
Нехай оператори T , P , M мають вигляд (22). Перевiривши виконання кому-
тацiйних спiввiдношень (4), (8), (9), переконуємося, що
G = (tx + ? (x, u))?t + (x2 ? ?(x))?x + ?(x, u)?u ,
де функцiя ?(x) задовольняє рiвняння
d?
x? ? (x2 ? ?) = 0,
dx
загальний розв’язок якого має вигляд
C? 2 + 2? ? x2 = 0, C = const ? R.
Замiна змiнних
t1 = t + h(x, u), x1 = x, u1 = f (x, u),

<< Предыдущая

стр. 57
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>