<< Предыдущая

стр. 58
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

де функцiї h та f є розв’язками системи
(x2 ? ?)hx + ?hu + ? = xh, (x2 ? ?)fx + ?fu = 0,
?
приводить нас до зображення AG3 (1, 1).
1
Нехай оператори T , P , M мають вигляд (24). Виконання комутацiйних спiв-
вiдношень (4), (8), (9) для оператора G приводить до рiвностi 2 = 0. Отримана
?
суперечнiсть показує, що зображення (24) iдеалу I не допускає розширення до
?
зображення алгебри AG1 (1, 1).
?
Нееквiвалентнiсть отриманих зображень алгебри AG1 (1, 1) випливає з нееквi-
?
валентностi зображень (20)–(24) iдеалу I. Теорему доведено.
Наслiдок 2.1. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi розширеної
?
спецiальної алгебри Галiлея AG2 (1, 1) вичерпуються зображеннями
?
AG1 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , M = u?u , G = t?x + xu?u ,
2
(25)
D = 2t?t + x?x + ?u?u , ? ? R;
?
AG2 (1, 1) : T = ?t , P = ??x , M = ??t + u?x ,
2
G = x??t + (t + xu)?x + (u2 + ?)?u , (26)
1
де ? = 0 або ? = ? u2 ;
D = 2t?t + x?x + u?u ,
2
Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп Галiлея 263

12 1
? P = ?x?t , x ?t , G = xt?t + x2 ?x ,
AG3 (1, 1) : T = ?t , M=
2
2 2
де ? = 0, 1;
D = 2t?t + x?x + ?u?u ,

? P = ?x?t ,
AG4 (1, 1) : T = ?t , M = 2u?t ,
2
G = tx?t + (x2 ? 2u)?x + ux?u , D = 2t?t + x?x + 2u?u .

Наслiдок 2.2. Нееквiвалентнi зображення векторними полями Лi розширеної
?
повної алгебри Галiлея AG3 (1, 1) вичерпуються зображеннями
?
AG1 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (25),
3
12
? ? R;
S = t2 ?t + tx?x + x + ?t u?u ,
2
1
?
AG2 (1, 1) : T, P, G, D вигляду (26), де ? = ? u2 ,
3
2
1 1 1
S = t2 ? x2 u2 ?t + xt + x2 u ?x + t + xu u?u .
4 2 2
Для доведення наслiдкiв 2.1, 2.2, як i у випадку наслiдкiв 1.1, 1.2, потрiбно
спочатку розширити отриманi в теоремi 2 зображення розширеної класичної ал-
гебри Галiлея до зображень розширеної спецiальної алгебри Галiлея, а отриманi
зображення останньої — до зображень розширеної повної алгебри Галiлея. За-
? ?
уважимо, що зображення AG3 (1, 1), AG4 (1, 1) розширеної спецiальної алгебри
2 2
Галiлея не допускають розширення до зображень розширеної повної алгебри Га-
лiлея.
4. Результатом проведеної класифiкацiї є розбиття всiєї множини зображень
векторними полями Лi груп Галiлея на нееквiвалентнi класи. Очевидно, що для
довiльного зображення групи Галiлея iснує замiна (3), яка зводить його до вiдпо-
вiдного представника єдиного класу еквiвалентностi. Наведемо ряд iлюстрацiй-
них прикладiв.
1. Рiвняння Кортевега–де Фрiза

ut + uxxx + uux = 0

iнварiантне вiдносно чотирипараметричної групи, яка мiстить як пiдгрупу кла-
сичну групу Галiлея з базисними генераторами

P = ??x ,
T = ?t , G = t?x + ?u .

Використавши замiну змiнних за правилом t1 = t, x1 = x, u1 = ±eu , перекону-
ємося, що данi генератори задають зображення класичної алгебри Галiлея, яке
мiститься в класi AG3 (1, 1).
1
2. Рiвняння Бюргерса

ut ? 2uux ? uxx = 0

iнварiантне вiдносно повної групи Галiлея з базисними генераторами
T = ?t , P = ??x , G = t?x ? ?u , D = 2t?t + x?x ? u?u ,
S = t2 ?t + tx?x ? (x + tu)?u ,
264 В.I. Фущич, В.I. Лагно

якi замiною змiнних t1 = t, x1 = x, u1 = ±e?u зводяться до зображення повної
алгебри Галiлея AAG3 (1, 1) при ? = 0, наведеного в наслiдку 1.2.
3
3. Рiвняння Бюргерса (модифiковане)

ut = uxx + u2
x

iнварiантне вiдносно нескiнченновимiрної групи, яка мiстить як пiдгрупу розши-
рену повну групу Галiлея з базисними генераторами
1 1
P = ??x , M = ? ?u , G = t?x ? x?u ,
T = ?t ,
2 2 (27)
1 1
D = 2t?t + x?x ? ?u , S = t2 ?t + tx?x ? (x2 + 2t)?u .
2 4
Замiна змiнних t1 = t, x1 = x, u1 = e?2u показує, що тут має мiсце клас
?
зображень з представником AG1 (1, 1), де ? = 1.
3
Зауважимо, що до цього ж класу належить розширена повна група Галiлея з
базисними генераторами
1 1
P = ??x , M = ? u?u , G = t?x ? xu?u ,
T = ?t ,
2 2 (28)
1 12
D = 2t?t + x?x ? u?u , S = t2 ?t + tx?x ? (x + 2t)u?u .
2 2
Замiна t1 = t, x1 = x, u1 = eu зводить оператори (27) до вiдповiдних опе-
раторiв (28), а модифiковане рiвняння Бюргерса — до добре вiдомого рiвняння
теплопровiдностi ut = uxx , для якого розширена повна алгебра Галiлея (28) є
алгеброю iнварiантностi.
Вiдзначимо, що вiдомi зображення груп Галiлея виникають тодi, коли ранг
матрицi, яка складена з коефiцiєнтiв при похiдних в операторах T , P , дорiвнює
двом (у випадку класичної, спецiальної чи повної груп Галiлея), або ранг матрицi,
яка складена з коефiцiєнтiв при похiдних в операторах T , P , M , дорiвнює трьом
(у випадку розширених груп Галiлея). Саме такi зображення розши рених груп
Галiлея для двох залежних функцiй вивчалися в роботi [13]. Випадки, коли ранги
вказаних матриць рiвнi 1 або 2, наскiльки нам вiдомо, ще не розглядались.
?
Зупинимося на випадках зображень AG2 (1, 1) та AG3 (1, 1) при ? = 0, AG2 (1, 1),
2 3 1
? (1, 1) та AG (1, 1) при ? = ? u . Базиснi оператори в цих зображеннях мi-
? 12
2 2
AG2 3 2
стять u нелiнiйно. Такi зображення, як i в роботах [9–11], називаємо нелiнiйни-
ми. Зауважимо, що при ? = 0 залежна змiнна u входить у вибранi представники
класiв AG2 (1, 1), AG3 (1, 1) нелiнiйно, але, як показано вище (приклад рiвнян-
2 3
ня Бюргерса), iснують перетворення (3), якi лiнеаризують цi зображення. Вiд-
значимо, що проведена класифiкацiя може бути використана для лiнеаризацiї
галiлей-iнварiантних рiвнянь, що проiлюстровано вище на прикладi модифiкова-
ного рiвняння Бюргерса.

1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978,
400 с.
2. Олвер П., Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1989, 639 с.
3. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1993, 436 p.
Лiнiйнi та нелiнiйнi зображення груп Галiлея 265

4. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990,
400 c.
5. Фущич В.И., Жданов Р.З., Нелинейные спинорные уравнения: симметрия и точные ре-
шения, Киев, Наук. думка, 1992, 288 с.
6. Фущич В.И., Чернига Р.М., Галилей-инвариантные нелинейные уравнения шредингеров-
ского типа и их точные решения. I, II, Укр. мат. журн., 1989, 41, № 10, 1349–1357; № 12,
1687–1694.
7. Фущич В.I., Чернiга Р.М., Системи иелiнiйних еволюцiйних рiвняпь другого порядку,
iнварiантнi вiдносно алгебри Галiлея та її розширень, Доп. НАН України, 1993, № 8,
44–51,
8. Fushchych W.I., Cherniha R.M., Galilean-invariant nonlinear systems of second-order equa-
tions, J. Phys. A: Math. Gen., 1995, 28, 5569–5579.
9. Yegorchenko I.A., Nonlinear representation of the Poincar? algebra and invariant equations,
e
in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics, Kiev, Inst. Math., 1992, 62–65.
10. Fushchych W., Zhdanov R., Lahno V., On linear and non-linear representations of the genera-
lized Poincar? groups in the class of Lie vector ?eld, J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 3,
e
295–308.
11. Fushchych W., Tsyfra I., Boyko V., Nonlinear representations for Poincar? and Galilei algebras
e
and nonlinear equations for electromagnetic ?elds, J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 2,
210–221.
12. Rideau G., Winternitz P., Nonlinear equations invariant under the Poincar?, similitude and
e
conformal groups in two-dimensional space-time, J. Math. Phys., 1990, 31, № 5, 1095–1105.
13. Rideau G., Winternitz P., Evolution equations invariant under two-dimensional space-time
Schr?dinger group, J. Math. Phys., 1993, 34, № 2, 558–570.
o
14. Гурса E., Iнтегрування рiвнянь з частинними похiдними першого порядку, Київ, Рад.
шк., 1941, 415 с.
15. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пу-
анкаре и редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 304 с.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 266–271.

Конформна симетрiя нелiнiйного
цiлiндрично симетричного хвильового
рiвняння
В.I. ФУЩИЧ, М.I. СЄРОВ, Ю.Г. ПОДОШВЄЛЕВ
Conformal symmetry of the nonlinear cylindrically symmetric wave equation 2u ?
4
u = ?uk , N = 1 ? n + k?1 , is studied. The symmetry of this equation is used to
N
xn n
construct its exact solutions for n = 2. An isomorphism of the algebras AC(1, 1) and
AO(2, 2) is used to obtain conformal algebra invariants. Formulas multiplicating the
solutions found are presented.

Вiдомо, що максимальною в розумiннi С. Лi алгеброю iнварiантностi хвильо-
вого рiвняння
2u = F (x, u), (1)
при F (x, u) = 0 є конформна алгебра AC(1, n), базиснi елементи якої мають
вигляд
?
Jµ? = xµ ?? ? x? ?µ ,
?µ = ,
?xµ
1?n
Kµ = 2xµ D ? x2 ?µ ,
D = xµ ?µ + u?u ,
2
де µ, ? = 0, n; при F (x, u) = 0 рiвняння (1) зберiгає конформну симетрiю AC(1, n)
лише у випадку
n+3
F (x, u) = ?u n?1 , n=1
де ? — довiльна стала. При опису реальних фiзичних процесiв застосовується
рiвняння (1) при n = 3, тобто
u00 ? u11 ? u22 ? u33 = F (u). (2)
Нехай процес, що описується рiвнянням (2), цилiндрично симетричний. Це озна-
чає, що
(3)
u(x0 , x1 , x2 , x3 ) = u(x0 , x1 , ?),
x2 + x2 . Пiдставляючи (3) в (2), одержимо
де ? = 2 3

1
u00 ? u11 ? u?? ? u? = F (u).
?
Перепишемо сказане вище на випадок довiльної кiлькостi незалежних змiнних
u = u(y0 , y1 , . . . , yn+N ).
Доповiдi НАН України, 1998, № 4, С. 64–68.
Конформна симетрiя нелiнiйного хвильового рiвняння 267

Вважаючи, що процес, який описується рiвнянням

u00 ? u11 ? · · · ? un+N,n+N = F (u),

має узагальнену сферичну симетрiю, тобто

u = u(y0 , y1 , . . . , yn?1 , ?),

2
2
де ? = yn + . . . + yn+N , аналогiчно отримаємо рiвняння

N
u00 ? u11 ? · · · ? un?1,n?1 ? u?? ? (4)
u? = F (u).
?
Якщо покласти y0 = x0 , y1 = x1 , . . ., yn?1 = xn?1 , y? = xn то рiвняння (4) матиме
вигляд
N
u00 ? u11 ? · · · ? unn ? (5)
un = F (u),
xn

<< Предыдущая

стр. 58
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>