<< Предыдущая

стр. 6
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

шого порядку. Знайшовши першi iнтеграли вiдповiдної системи рiвнянь характе-
ристик i виконавши обернену замiну змiнних, знаходимо розв’язки (44).
Зауваження 5. Розв’язком рiвняння 1 + ? u? = 0 в змiнних (t, x, u) є x = f (t),
де f (t) — довiльна функцiя, тому (44) в цьому особливому випадку еквiвалентне
звичайному диференцiальному рiвнянню.
Наведемо деякi класи побудованих нами розв’язкiв для (44):
1) L(Lu) = 0
C2
x ? ut + t = ?(u ? Ct);
1.1)
2
u ± ln(x ? ut ? t) = ? t2 ? (x ? ut)2 ;
1.2)
t(x ? ut)3 1
= ? t2 ?
1.3) u+ 2 ;
t (x ? ut)2 ? 1 (x ? ut)2
x ? ut x ? ut
? exp t2 dt;
1.4) u=? 2) exp (t2 )
exp (t
2) L(Lu) = a
a C a
x ? ut + t3 + t2 = ? u ? t2 ? Ct ;
3 2 2
3) L(Lu) + Lu = a
a
x ? ut ? C(t + 1) exp(?t) + t2 = ? (u + C exp(?t) ? at)
2
C = const, ? — довiльна функцiя.
Зауваження 6. Вище наведенi класи неявних розв’язкiв з однiєю довiльною
функцiєю. В загальному випадку розв’язки можна задавати в параметричнiй
формi.
Отже, в статтi побудованi новi нелiнiйнi галiлей-iнварiантнi узагальнення рiв-
нянь Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза високого порядку. Описанi одновимiрнi
рiвняння другого порядку, якi iнварiантнi вiдносно узагальненої алгебри Галiлея.
Проведена симетрiйна класифiкацiя нелiнiйного одновимiрного рiвняння L(Lu)+
?Lu = F (u), L = ?t + u?x , одержано новi нелiнiйнi розширення алгебри Галiлея.
Для F (u) = const побудованi деякi класи неявних розв’язкiв.
Галiлей-iнварiантнi рiвняння типу Бюргерса та Кортевега–де-Фрiза 23

1. Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, Москва, Мир, 1977, 624 с.
2. Красильников В.А., Крылов В.А., Введение в физическую акустику, Москва, Наука, 1984,
400 c.
3. Руденко О.В., Солуян С.И., Теоретические основы нелинейной акустики, Москва, Наука,
1975, 320 с.
4. Sachdev P.L., Nonlinear di?usive waves, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1987, 246 p.
5. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
6. Олвер П., Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, Москва, Мир, 1989,
581 с.
7. Фущич В.I., Миронюк П.Й., Умовна симетрiя i точнi розв’язки рiвняння нелiнiйної аку-
стики, Доповiдi АН УРСР, 1991, № 6, 23–29.
8. Serov N.I., Fushchych B.W., On the new nonlinear equation with unique symmetry, Доповiдi
АН УРСР, 1994, № 9, 49–50.
9. Sionoid P.N., Cates A.T., The generalized Burgers and Zabolotskaya–Khokhlov equations:
transformations, exact solutions and qualitative properties, Proc. the Royal Society, Math. and
Ph., 1994, 447, № 1930, 253–270.
10. Fushchych W.I., New nonlinear equation for electromagnetic ?eld having the velocity di?erent
from c, Доповiдi АН УРСР, 1992, № 1, 24–27.
11. Fushchych W.I., Symmetry analysis, in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Phy-
sics, Kiev, Inst. of Math., 1992, 5–6.
12. Fushchych W., Boyko V., Symmetry classi?cation of the one-dimensional second order equation
of hydrodynamical type, Preprint LiTH–MAT–R–95–19, Link?ping University, Sweden, 11 p.
o
13. Boyko V., Symmetry classi?cation of the one-dimensional second order equation of a hydrody-
namic type, J. Nonlinear Math. Phys., 1995, 2, № 3–4, 418–424.
14. Фущич В.I., Бойко В.М., Пониження порядку та загальнi розв’язки деяких класiв рiвнянь
математичної фiзики, Доповiдi НАН України, 1996, № 9, 43–48.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 24–29.

Пониження порядку та загальнi розв’язки
деяких класiв рiвнянь математичної
фiзики
В.I. ФУЩИЧ, В.М. БОЙКО
The procedure of lowering the order and construction of general solutions for some
classes of partial di?erential equations is proposed. A number of examples are
presented. The classes of general solutions of some linear and nonlinear equations
of mathematical physics are constructed.

В данiй статi пропонується процедура пониження порядку та побудови загаль-
них розв’язкiв деяких класiв диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних.
Розглянемо диференцiальне рiвняння в частинних похiдних
(1)
L(D[u]) + F (D[u]) = 0,
де u = u(x), x = (x0 , x1 , . . . , xk ); L — диференцiальний оператор першого порядку
(лiнiйний або нелiнiйний):
L ? ai (x, u)?xi , (2)
по i сумування вiд 0 до k; ai (x, u) — довiльнi гладкi функцiї, що одночасно не є
тотожними нулями; D[u] — диференцiальний вираз n-го порядку
(3)
D[u] = D x, u, u(1) , u(2) , . . . , u(n) ,
u(m) — набiр похiдних m-го порядку, m = 1, n; F — довiльна гладка функцiя
вiд D[u]. Як частинний випадок D[u] може залежати лише вiд x i u (в цьому
випадку будемо говорити, що порядок спiввiдношення (3) — нульовий). Таким
чином, (1) — рiвняння в частинних похiдних (n + 1)-го порядку.
Для рiвнянь типу (1) пропонується простий спосiб пониження порядку та
побудови розв’язкiв, який базується на локальнiй замiнi змiнних, яка зводить
оператор (2) до оператора диференцiювання за однiєю з незалежних змiнних,
тобто деяка “дiагоналiзацiя”.
Вводимо замiну змiнних
? = f 0 (x, u),
? a = f a (x, u), (4)
a = 1, k,
z = u,

де z(?, ?) — нова залежна змiнна, ? = (? 1 , . . . , ? k ).
Функцiї f 0 , f a визначаємо з умов
L(f 0 ) = 1, L(f a ) = 0, (5)
a = 1, k,
Доповiдi НАН України, 1996, № 9, С. 43–48.
Пониження порядку та загальнi розв’язки деяких класiв рiвнянь 25

причому f 1 , . . . , f k , u повиннi утворювати повний набiр функцiонально незалеж-
них iнварiантiв оператора (2). А f 0 вибираємо як деякий частинний розв’язок
рiвняння Ly = 1.
Спiввiдношення (5) визначають замiну змiнних (4), при якiй оператор L зво-
диться до оператора диференцiювання

L ? ?? . (6)

Знайшовши вигляд спiввiдношення (3) в нових змiнних (4), вихiдне рiвняння
(1) можна переписати у виглядi

(7)
?? Dz + F Dz = 0,

де Dz — диференцiальний вираз Du в змiнних (4).
Рiвняння (7) — звичайне диференцiальне рiвняння першого порядку вiднос-
но ? для Dz. Один раз проiнтегрувавши (7), знаходимо Dz. Таким чином, розв’я-
завши (7), одержуємо диференцiальне рiвняння в частинних похiдних n-го по-
рядку вiдносно z(?, ?) (понизили порядок рiвняння (1) на одиницю) з однiєю
довiльною функцiєю вiд ? — константою iнтегрування рiвнняня (7).
Зауваження. Алгоритм буде також ефективним i у випадку, коли в (1) F =
F (Du, f 0 , f 1 , . . . , f k ), при цьому, iнтегруючи рiвняння (7), змiннi ? a будемо вва-
жати параметрами.
Проiлюструємо описаний алгоритм на прикладах для конкретних рiвнянь ма-
тематичної фiзики.
Розглянемо одновимiрне хвильове рiвняння

?2u ?2u
? (8)
= 0.
?t2 ?x2
Рiвняння (8) можна записати у виглядi (1) наступним чином

? ? ?u ?u
? (9)
+ = 0.
?t ?x ?t ?x
Замiна змiнних

? = t, ? = x + t, z = u,

дає можливiсть переписати рiвняння (9) у виглядi

?? (z? + 2z? ) = 0,

раз проiнтегрувавши яке, одержуємо

(10)
z? + 2z? = g(?).

Внаслiдок довiльностi g(?), покладемо g(?) = 2h (?), тодi система рiвнянь хара-
ктеристик для (10) матиме вигляд
d? d? dz
= = .
1 2 2h (?)
26 В.I. Фущич, В.М. Бойко

Знайшовши першi iнтеграли системи характеристик, одержуємо розв’язок рiвня-
ння (10)

z ? h(?) = f (? ? 2? ), (11)

h, f — довiльнi функцiї свого аргументу. Переписавши (11) в змiнних (t, x, u),
знаходимо добре вiдомий загальний розв’язок рiвняння (8)

u = h(x + t) + f (x ? t).

Розглянемо рiвняння, яке було запропоновано в [1, 2] для опису руху рiдини,

L ? ?t + u?x . (12)
L(Lu) = 0,

Дане рiвняння можна розглядати як узагальнення одновимiрного рiвняння Нью-
тона–Ойлера для рiдини (рiвняння простої хвилi). В розгорнотому записi рiвня-
ння (12) матиме вигляд
2
?2u ?2u 2
?u ?u ?u 2? u
+ 2u + +u +u = 0.
?t2 ?x2
?t?x ?t ?x ?x
Замiна змiнних

? = x ? ut,
? = t, z = u,

дає можливiсть записати рiвняння (12) у виглядi
z?
(13)
?? = 0.
1 + ? z?
Проiнтегрувавши (13), одержуємо параметричний розв’язок
d?
z± = ?(p)
h(?) + p
? ? h(?) = p,
2


де p — параметр, h, ? — довiльнi функцiї.
Повернувшись до старих змiнних, одержуємо розв’язок рiвняння (12). Деякi
приклади неявних розв’язкiв з однiєю довiльною функцiєю для рiвняння (12)
наведенi нами в [3, 4].
Рiвняння
?2u ?2u ?2u ?2u
? ? 2 +2 (14)
=0
?t2 ?x2 ?y ?x?y
можна записати у виглядi (1) наступним чином
? ? ? ?u ?u ?u
? ? (15)
+ + = 0.
?t ?x ?y ?t ?x ?y
За допомогою замiни змiнних

? 2 = t ? y,
? 1 = t + x, (16)
? = t, z = u,
Пониження порядку та загальнi розв’язки деяких класiв рiвнянь 27

використовуючи описаний алгоритм, одержимо наступний розв’язок рiвняння
(14)
u = f (t + x, t ? y) + g(t ? x, t + y).
Зауваження. Природнє узагальнення описаного алгоритму для (1) на класи
диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних наступного вигляду
Lm (Du) + bm?1 Lm?1 (Du) + · · · + b1 L(Du) + b0 = 0, (17)
де bj = bj (Du, f 0 , f 1 , . . . , f k ), j = 0, m ? 1; Lm = LLL · · · LL; L, Du, f 0 , f 1 , . . . , f k
m
визначаються вiдповiдно з спiввiдношеннями (2)–(6).
Пiсля замiни (4)–(6) задача пониження порядку рiвняння (17) зводиться до
проблеми iнтегрування звичайного диференцiального рiвняння m-го порядку.
Для рiвняння
D ? xµ ?xµ ,
Dn (u) = 0, µ = 0, k,
використавши замiну змiнних
xa
? = ln x0 , ? a = , a = 1, k, z = u,
x0
одержано наступний розв’язок
u = Cn?1 (ln x0 )n?1 + Cn?2 (ln x0 )n?2 + · · · + C1 ln x0 + C0 ,

, i = 0, n ? 1.
xk
x1
де Ci = Ci x0 ; . . . ; x0


Одерданi результати легко узагальнюються на випадок систем рiвнянь вигля-
ду

L(D[u]) = F f 0 , f 1 , . . . , f k , D[u] ,

де u = (u1 (x), . . . , um (x)), x = (x0 , x1 , . . . , xk ); L, f 0 , f 1 , . . . , f k визначаються вiд-
повiдно з спiввiдношеннями (2), (4), (5), (6), де u ? u; D[u] = (D1 , . . . , Dm ), де
Di = Di x, u, u(1) , u(2) , . . . , u(n) , i = 1, . . . , m, u(i) — набiр похiдних m-го поряд-
ку вiд кожної з компонент вектора u; F = (F 1 , . . . , F m ). Як частинний випадок
компоненти D[u] можyть залежати лише вiд x i u. Нижче наведемо приклади

<< Предыдущая

стр. 6
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>