<< Предыдущая

стр. 60
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

а, отже, розв’язком рiвняння (8) при k = 4 є функцiя
1
2 ?3
?x(x ?
2
x2 )
9? + ?x
u(x) = ? 2
.
40 x2

Поклавши в (18) ?1 = 0, отримаємо звичайне диференцiальне рiвняння
k?2 ?
? + ?k = 0,
?2 (?2 + 4)?22 + 2(?2 + 2)?2 + 4
(k ? 1)2 4
частковим розв’язок якого є
1
1?k
?
?(?2 ) = ? (1 ? k)2 ?2 (19)
.
16
Анзац (9) i функцiя (19) дають можливiсть знайти розв’язок рiвняння (8)
1
1?k
?
u(x) = ? (1 ? k)2 {(x2 ? x2 + 1)2 + 4(bx)2 } .
2
16
Конформна симетрiя нелiнiйного хвильового рiвняння 271

При ?2 = 0 в (17) одержимо рiвняння
k?2 ?
2
? + ?k = 0,
(?1 + 1)?11 + 2?1 ?1 + 4
(k ? 1)2 4
Частковий розв’язок знаходимо при k = 4 :
7
7
3
9? 2
?(?1 ) = ? ? ,
616 1
а, отже, i частковий розв’язок рiвняння (8)
7
2 3
?x(x ? ? ?x
2
x2 )
9?
u(x) = ? 2
.
616 x2

Одержанi вище результати можна розмножити за допомогою перетворень iн-
варiантностi рiвняння (8). Цi перетворення мають вигляд:
2
em c?? (x? ? ?? (x2 ? x2 )) em x2 em 1?k
x? > x2 > u>u
2
, , ,
? ? ?
де ? = 1 ? 2?? x? + ?? ?? (x2 ? x2 ), a? , c?? , ?? , m — довiльнi параметри.
2


1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978,
400 с.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения не-
линейных уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия: методы и прило-
жения, М., Наука, 1986, 759 с.
4. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пу-
анкаре и редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук. думка, 1991, 300 с.
5. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A, 1983, 16, 3645–3658.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 272–275.

Лiївська та умовна симетрiя системи
рiвнянь Гамiльтона–Якобi
В.I. ФУЩИЧ, М.I. СЄРОВ, М.М. СЄРОВА, А.В. ГЛЄБА
Lie and conditional symmetries of the Hamilton–Jacobi system of equations are in-
vestigated.


В роботi [1] встановлено, що максимальною в класi операторiв C. Лi алгеброю
iнварiантностi рiвняння Гамiльтона–Якобi
1
(?U )2 = 0 (1)
U0 +
2m
є алгебра, базиснi елементи якої мають вигляд

Jab = xa ?b ? xb ?a ,
?0 , ?a , ?u ,
GI = x0 ?a + mxa ?u , GII = u?a + mxa ?0 ,
a a
1 1
DI = x0 ?0 + xa ?a , DII = u?u + xa ?a , (2)
2 2
1 1
?I = x2 ?0 + x0 xa ?a + mx2 ?0 , ?II = u2 ?u + uxa ?a + mx2 ?0 ,
0
2 2
2
Ka = 2xa D + s ?a .

В формулах (1), (2) введенi такi позначення:
? ?
u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x) ? Rn+1 , ?0 = , ?a = , u0 = ?0 u,
?x0 ?xa
2
x0 u ? x2 ,
D = DI + DII , s2 = m = const,
m
за iндексами a, b якi повторюються, слiд розумiти суму вiд 1 до n.
В роботi [2] дослiджено, що в класi скалярних диференцiальних рiвнянь 1-го
порядку рiвняння (1) є єдиним, iнварiантним вiдносно алгебри (2).
В роботi [3] показано, що алгебра (2) локально iзоморфна конформнiй алгебрi
AC(1, n + 1), де роль xn+1 вiдiграє функцiя u.
Узагальнимо рiвняння (1) на випадок двох функцiй u1 , u2 такою системою
рiвнянь:
1
(?u1 )2 = 0,
u1 + (3)
0
2m
1
?u1 ?u2 = 0.
u2 + (4)
0
m
Система рiвнянь (3), (4) в бiльш розширеному варiантi дослiджена в роботi [4].
Доповiдi НАН України, 1998, № 12, C. 49–52.
Лiївська та умовна симетрiя системи рiвнянь Гамiльтона–Якобi 273

Дослiдимо лiївську та умовну симетрiю як рiвняння (4), так i системи рiвнянь
(3), (4).
Теорема 1. Максимальною лiївською алгеброю iнварiантностi рiвняння (4) є
нескiнченновимiрна алгебра з iнфiнiтезимальним оператором
1
X = a?0 + (a + b)xa + cab xb + da ?a +
?
2
??
a+b 2
1
+ bu + m x + dx + h ?u1 + K?u2 ,
4

де cab = ?cba — довiльнi сталi; a(x0 ), b(x0 ), da (x0 ), K(u2 ) — довiльнi гладкi
функцiї.
Теорема 2. Базиснi елементи максимальної лiївської алгебри iнварiантностi
системи рiвнянь (3), (4) задаються формулами (2), в яких u ? u1 , та нескiн-
ченним оператором
B = K(u2 )?u2 ,
де K(u2 ) — довiльна гладка функцiя.
Теореми 1, 2 доводяться стандартним методом C. Лi [5].
Теорема 3. Система рiвнянь (3), (4) при додатковiй умовi
(?u2 )2 ? 1 = 0 (5)
iнварiантна вiдносно алгебри
Jab = xa ?b ? xb ?a , Jn+1a = u2 ?a + xa ?u2 ,
?0 , ?a , ?u1 ,
GI = x0 ?a + mxa ?u1 , GI = x0 ?u2 ? mu2 ?u1 ,
a n+1
Ga = u ?a + mxq ?0 , Gn+1 = u1 ?u2 ? mu2 ?0 ,
II 1 II

1 1
DI = x0 ?0 + (xa ?a + u2 ?u2 ), DII = u1 ?u1 + (xa ?a + u2 ?u2 ),
2 2 (6)
1
?I = x2 ?0 + x0 (xa ?a + u2 ?u2 ) + m(x2 ? (u2 )2 )?u1 ,
0
2
1
?II = (u1 )2 ?u1 + u1 (xa ?a + u2 ?u2 ) + m(x2 ? (u2 )2 )?0 ,
2
Ka = 2xa D + s ?a , Kn+1 = 2u D ? s2 ?u2 ,
2 2


де D = DI + DII , s2 = m x0 u1 ? (x2 ? (u2 )2 ).
2

Доведення. Критерiй умовної iнварiантностi системи (3), (4) згiдно з [3] має
вигляд
? ?
QS1 = ?1 S1 + ?2 S2 + ?3 S3 , QS2 = ?4 S1 + ?5 S2 + ?6 S3 ,
?
QS3 = ?7 S1 + ?8 S2 + ?g S3 .
?
Розглянемо, наприклад, оператор Q = ?a (u2 ?a + xa ?u2 ), де ?a — довiльнi
константи. Якщо знайти друге продовження цього оператора i подiяти ним на
кожне з рiвнянь (3), (4), (5), то можна одержати:
1
? ? ?
QS1 = ??a u1 S2 , QS2 = ??a u2 S2 + ?a u1 S3 , QS3 = 2?a u2 S3 ,
a a a a
m
274 В.I. Фущич, М.I. Сєров, М.М. Сєрова, А.В. Глєба

де S1 , S2 , S3 — лiвi частини рiвнянь (3), (4), (5) вiдповiдно. Аналогiчно встанов-
люється умовна iнварiантнiсть системи (3), (4) вiдносно iнших операторiв алгеб-
ри (6). Теорема доведена.
Теорема 4. Алгебра (6) локально iзоморфна конформнiй алгебрi AC(1 + 1, n + 1).
Доведення. Перейдемо вiд змiнних (x0 , x, u1 , u2 ) до змiнних (y0 , y, yn+1 , t) за
формулами
u1 u1
1 1
y0 = v yn+1 = v x0 ? t = u2 . (7)
x0 + , y = x, ,
m m
2 2
У просторi (y0 , t, y, yn+1 ) з метричним тензором g AB сигнатури (+, +, ?, . . . , ?, ?)
n
базиснi оператори конформної алгебри AC(2, n + 1) мають вигляд
? ? ? ?
? ? ? ?
P0 = , Pt = , Pa = , Pn+1 = ,
?y0 ?t ?ya ?yn+1
? ? ? ? ? ? ? ? ?
J0t = y0 Pt ? tP0 , J0a = y0 Pa + ya P0 , J0,n+1 = y0 Pn+1 + yn+1 P0 ,
? ? ? ? ? ? ? ? ?
Jta = tPa + ya Pt , Jt,n+1 = tPn+1 + yn+1 Pt , Jab = ya Pb ? yb Pa , (8)
? ? ? ? ? ? ? ?
Ja,n+1 = ya Pn+1 ? yn+1 Pa , D = y0 P0 + tPt + ya Pa + yn+1 Pn+1 ,
? ? ? ? ? ?
K0 = 2y0 D ? s2 P0 , Kt = 2tD ? s2 Pt ,
? ? ? ? ? ?
Ka = 2ya D + s2 Pa , Kn+1 = 2yn+1 D + s2 Pn+1 ,

де s2 = y0 + t2 ? y 2 ? yn+1 .
2 2

Формули (7) встановлюють взаємнооднозначний зв’язок мiж операторами ал-
гебри (6) та (8). А саме:
1? 1
?0 = v (P0 + Pn+1 ), ?u1 = v (P0 ? Pn+1 ), ?a = Pa , ?u2 = Pt ,
? ? ? ? ?
2 m2
1? 1?
? ? ? ?
Jn+1a = Jta , Jab = Jab , DI = (D + J0,n+1 ), DII = (D ? J0,n+1 ),
2 2
1? m?
GI = v (J0t + Jt,n+1 ), GII = v (J0t ? Jt,n+1 ),
? ?
n+1 n+1
2 2
1? m?
GI = v (J0a ? Ja,n+1 ), GII = v (J0a + Ja,n+1 ),
? ?
a a
2 2
1? m?
?I = v (K0 + Kn+1 ), ?II = v (K0 ? Kn+1 ), Ka = Ka , Kt = Kn+1 .
? ? ? ?
22 22
Цей факт i доводить твердження теореми.
Дослiдимо тепер лiївську симетрiю систем (3), (5); (4), (5). Як i теореми 1, 2,
за допомогою методу Лi доводяться такi твердження.
Теорема 5. Базиснi елементи максимальної лiївської алгебри iнварiантностi
системи рiвнянь (3)–(5) задаються формулами вигляду
Jab = xa ?b ? xb ?a , Ga = x0 ?a + mxa ?u1 ,
?0 , ?a ,
1 1
DI = x0 ?0 + (xa ?a + u2 ?u2 ), DII = u1 ?u1 + (xa ?a + u2 ?u2 ),

<< Предыдущая

стр. 60
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>