<< Предыдущая стр. 8(из 70 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
i va va
(15)
t = t, xa = xa + va t, U = U exp xa va + t
2 2
which are essentially di?erent from (12).
Unique symmetry of two nonlinear generalizations of the Schr?dinger equation
o 33

So, equation (5) for arbitrary ?1 and b2 = 0, which is a particular case of equa-
tion (4), is invariant with respect to the algebra AG(1, n), I , but in the case b2 = 0
(see equation (6)) it has the AG2 (1, n)-symmetry with the additional unit operator I.
Statement 4. Equation (5) for ?1 = 1 and b2 = 0 (see equation (7)) is invariant
with respect to the Lie algebra with the basic operators (9), (13) and
U U
G1 = ?i ln P + xa Pt , D1 = ?i ln ? Q + xa Pa ,
?a
a
U U
2
U U U
?1 = ? ln ? Q ? 2i ln ? xa Pa + |x|2 Pt + in ln ? I, (16)
U U U
|x| 2
U n ixa U
Ka = txa Pt ? + it ln ? Pa + xa xb Pb ? xa I ? ln ? Q.
2 U 2 2 U
If we make the substitution U = ? exp iW , where ? and W are real functions, then
operators (16) are simpli?ed, and we can note that the algebra (9), (13) and (16) is
that of the Hamilton–Jacobi equation. So, equation (7) has the same algebra of Lie
symmetries as the classical Hamilton–Jacobi equation [1].
Statement 5. Equation (5) ?1 = 1 and b2 = 0 (see equation (8)) is invariant with
respect to the Lie algebra with the basic operators (9) and
b2
Ga = exp(b2 t) Pa + xa Q , D = exp(?b2 t)(Pt + b2 W Q),
4
1 b2 n
Pt + xa Pa + W + |x|2 Q ? I ,
? = exp(b2 t)
b2 4 2
1 b2
G1 = exp(?b2 t) W Pa + xa Pt + xa W Q , D1 = 2W Q + xa Pa , (17)
a
2 2
|x|2
b2 n
?1 = exp(?b2 t) W + |x|2 W Q + W xa Pa + Pt ? W I ,
4 4 2
|x| 2
xa 2 n
W? Pa + xa xb Pb + 2xa W Q ? xa I,
Ka = Pt +
b2 b2 2 2

where W = ? 2 ln U ? , the operators Q and I are de?ned in (9)–(10).
i U

The algebra (9), (13), (16) and one (9), (17) contain the same numbers of basic
operators. Moreover, we found the following substitution
exp(b2 t)
U V 1
|U | = |V |, (18)
= , V = V (?, x), ?= exp(b2 t)
U? V? b2
that reduces the algebra (9), (17) to one (9), (13), (16) for the variables V, ?, x1 , . . . , xn .
It is easily proved that the substitution (18) reduces equation (8) to equation (7) for
the function V . So, equation (8) and equation (7) are locally equivalent equations,
and are invariant with respect to the algebra of the Hamilton–Jacobi equation.
Note that in [6] the coupled system of Hamilton–Jacobi equations was constructed,
which preserves the Lie symmetry of the single Hamilton–Jacobi equation. On the
other hand, in [14] generalizations of the Hamilton–Jacobi equations for a complex
function were constructed, which are invariant with respect to subalgebras of the
algebra of the Hamilton–Jacobi equation.
34 W.I. Fushchych, R.M. Cherniha, V.I. Chopyk

Finally, we consider the last case, where equation (4) has the nontrivial Lie sym-
metry. In this case equation (4) has the form
?|U | 1 U
(19)
iUt + ?U = + ?2 ln ? U.
|U | 2 U
It is easily checked that equation (19) for ?2 = a2 + ib2 can be reduced with the
help of substitution (18) to the same equation but with ?2 = a2 . So, we assume that
b2 = 0 in equation (19).
Statement 6. Equation (19) for ?2 = a2 ? R is invariant with respect to the Lie
algebra with the basic operators (9), (10) at b2 = 0, and
i U
D1 = 2tPt + xa Pa , D2 = tPt + ln ? Q.
4 U
Note. The substitution

U = ? exp iW,

where ?(t, x) and W (t, x) are real functions, reduces equation (7) to the following
system
?? ?? ?W
= ???W ? 2 ,
?t ?xa ?xa
?W ?W ?W
+ = 0,
?t ?xa ?xa
in which the second equation is the Hamilton–Jacobi one.
Our work was carried out under the ?nancial support from INTAS and SCST of
Ukraine.

1. Fushchych W., Shtelen W., Serov N., Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
2. Fushchych W., Symmetry in problems of mathematical physics, in Algebraic-Theoretical
Methods in Mathematical Physics, Kyiv, Institute of Mathematics, Ukrainian Acad. Sci., 1981,
6–18.
3. Fushchych W.I., Cherniha R.M., On exact solutions of two multidimensional nonlinear Schr?- o
dinger-type equations, Preprint № 86.85, Kyiv, Institute of Mathematics, Ukrainian Acad. Sci.,
1986.
4. Fushchych W.I., Cherniha R.M., Galilei-invariant nonlinear equations of the Schr?dinger-type
o
and their exact solutions I, II, Ukr. Math. J., 1989, 41, 1349–1357, 1687–1694.
5. Cherniha R.M., Galilei-invariant nonlinear PDEs and their exact solutions, J. Nonlinear Math.
Phys., 1995, 2, 374–383.
6. Fushchych W.I., Cherniha R.M., Galilei-invariant systems of nonlinear systems of evolution
equations, J. Phys. A: Math. Gen, 1995, 28, 5569–5579.
7. Vigier J.-P., Particular solutions of a nonlinear Schr?dinger equation carrying particle-like sin-
o
gularities represent possible models of De Broglie?s double theory, Phys. Lett. A, 1989, 135,
99–105.
8. Guerra F., Pusterla M., Nonlinear Klein–Gordon equation carrying a nondispersive solitonlike
singularity, Lett. Nuovo Cimento, 1982, 35, 256–259.
9. Cu?ret Ph., Vigier J.-P., Relativistic wave equation with quantum potential nonlinearity, Lett.
e
Nouvo Cimento, 1983, 35, 125–128.
Unique symmetry of two nonlinear generalizations of the Schr?dinger equation
o 35

10. Smolin L., Quantum ?uctuations and inertia, Phys. Lett. A, 1986, 113, 408–412.
11. Dobner H.-D., Goldin G.A., Properties of nonlinear Schr?dinger equations associated with di-
o
?eomorphism group representations, J. Phys. A: Math. Gen., 1994, 27, 1771–1780.
12. Basarab-Horwath P., Barannyk L., Fushchych W., New exact solutions of the wave equation by
reduction to the heat equation, J. Phys. A: Math. Gen., 1995, 28, 5291–5304.
13. Fushchych W.I., Chopyk V., Symmetry and non-Lie reduction of the nonlinear Schr?dinger
o
equation, Ukr. Math. J., 1993, 45, 539–551.
14. Yehorchenko I.A., Complex generalization of the Hamilton–Jacobi equation and its solutions,
in Symmetry Analysis and Solutions of the Equations of Mathematical Physics, Kyiv, Institute
of Mathematics, Ukrainian Acad. Sci, 1988, 4–8.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 36–41.

Про новi нелiнiйнi рiвняння, iнварiантнi
вiдносно групи Пуанкаре в двовимiрному
просторi-часi
В.I. ФУЩИЧ, В.I. ЛАГНО

e?
New representations of the Poincar? P (1, 1) and extended Poincar? P (1, 1) groups by
e
Lie vector ?elds are constructed. The result is used to obtain new second-order scalar
di?erential equations, invariant under these groups.

У даному повiдомленнi проведено класифiкацiю зображень групи Пуанкаре
?
P (1, 1) та розширеної групи Пуанкаре P (1, 1) в класi векторних полiв Лi, побуду-
вано загальний вигляд диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних другого
порядку, iнварiантних вiдносно цих груп, а також розглянуто симетрiйну реду-
кцiю одержаних рiвнянь.
?
1. Новi реалiзацiї зображень алгебр AP (1, 1) та AP (1, 1). Як вiдомо [1–
3], векторнi поля Лi, якi генерують деяку групу Лi G, задають базис алгебри Лi
AG цiєї групи. Тому задача вивчення зображень даної групи G в класi векторних
полiв Лi еквiвалентна вивченню реалiзацiї векторними полями Лi алгебри Лi AG.
Розглядатимемо реалiзацiю алгебр Лi в термiнах векторних полiв в просторi
X ? U двох незалежних та однiєї залежної змiнної. В нашому випадку X —
двовимiрний простiр Мiнковського з координатами x, t, U — простiр дiйсних
скалярних функцiй u(t, x). Векторнi поля мають форму

(1)
V = ?(t, x, u)?x + ? (t, x, u)?t + ?(t, x, u)?u .
? ? ?
Тут i далi ?x = ?x , ?t = ?t , ?u = ?u , ?, ? , ? — гладкi функцiї своїх аргументiв.
Будемо позначати генератори трансляцiй, поворотiв Лоренца та дилатацiї че-
рез P0 , P1 , K, D, вiдповiдно. Вказанi генератори задовольняють комутацiйнi спiв-
вiдношення
[P0 , K] = P1 , [P1 , K] = P0 , [Pµ , D] = Pµ (µ = 0, 1),
(2)
[P0 , P1 ] = 0, [K, D] = 0.

Вважаємо, що генератори P0 , P1 , K, D задають алгебру Пуанкаре AP (1, 1) =
? ?
P0 , P1 , K та розширену алгебру Пуанкаре AP (1, 1) = AP (1, 1) + D , якщо
1) вони лiнiйно незалежнi;
2) вони задовольняють комутацiйнi спiввiдношення (2).
?
Класифiкацiю зображень алгебр AP (1, 1) та AP (1, 1) в класi векторних по-
лiв (1) проводимо з точнiстю до дифеоморфiзмiв, тобто з точнiстю до довiльної
гладкої взаємно-однозначної замiни змiнних

(3)
x = f (t, x, u), t = g(t, x, u), u = h(t, x, u).
Доповiдi НАН України, 1996, № 11, С. 60–65.
Про новi нелiнiйнi рiвняння, iнварiантнi вiдносно групи Пуанкаре 37

Оскiльки генератори P0 , P1 утворюють комутативний iдеал для алгебри AP (1, 1),
розгляд починаємо з них.
Лема. Iснують перетворення (3), якi зводять генератори P0 , P1 до однiєї з
двох форм:

(4)
P 0 = ?t , P1 = ? x ;

(5)
P 0 = ?t , P1 = x?t .

Доведення леми випливає з таких мiркувань. Згiдно з теоремою Лi про спрям-
лювання векторних полiв [2, 3], ми завжди можемо покласти P0 = ?t . З виконан-
ня комутацiйного спiввiдношення [P0 , P1 ] = 0 одержуємо, що найбiльш загальний
вигляд оператора P1 буде

P1 = ? (x, u)?t + ?(x, u)?x + ?(x, u)?u .

Ввiвши в розгляд матрицю
1 0 0
M= ,
? ? ?
складену з коефiцiєнтiв при похiдних в генераторах P0 , P1 бачимо, що можливi
лише два випадки: rank M = 2 або rank M = 1. Далi неважко переконатися, що з
умови rank M = 2 випливає реалiзацiя (4), а з умови rank M = 1 — реалiзацiя (5).
?
Реалiзацiя зображень алгебр AP (1, 1), AP (1, 1), AC(1, 1) для генераторiв P0 ,
P1 форми (4) вивчена в [4]. Тому тут ми детально зупиняємося на випадковi (5).
Отже, нехай P0 = ?t , P1 = x?t . З виконання комутацiйних спiввiдношень (2),
одержуємо, що

K = (xt + ? (u))?t + (x2 ? 1)?x + ?(u)?u .

З точнiстю до перетворень (3) маємо один клас реалiзацiї зображення алгебри
AP (1, 1), який можна подати у такому виглядi:

K = xt?t + (x2 ? 1)?x . (6)
P 0 = ?t , P1 = x?t ,

Одержана реалiзацiя зображення алгебри AP (1, 1) допускає розширення до зо-
?
браження алгебри AP (1, 1), якщо додати оператор дилатацiї D. З виконання ко-
мутацiйних спiввiдношень (2) випливає, що

D = t + ? (u) |x2 ? 1| ?t + ?(u)?u .

Неважко показати, що iснують перетворення (3), якi залишають вигляд (6) опе-
раторiв P0 , P1 , K незмiнним, а оператор D зводять до вигляду

D = t ?t + u ?u , = 0, 1.
?
Тим самим ми побудували двi новi реалiзацiї алгебри AP (1, 1):

K = xt?t + (x2 ? 1)?x , (7)
P 0 = ?t , P1 = x?t , D1 = t?t ;

K = xt?t + (x2 ? 1)?x , (8)
P 0 = ?t , P1 = x?x , D2 = t?t + u?u .
38 В.I. Фущич, В.I. Лагно

Отже, справедлива така теорема.
?
Теорема. З точнiстю до перетворень (3) зображення алгебр AP (1, 1), AP (1, 1),
AC(1, 1) векторними полями Лi (1) вичерпуються реалiзацiями, побудованими
в роботi [4], а також зображеннями (6)–(8).
Зауваження 1. Неважко переконатися в тому, що зображення (7), (8) алгебр
?
AP (1, 1) не допускають розширення до зображень векторними полями (1) кон-
формної алгебри AC(1, 1).
Зауваження 2. Коварiантнi зображення векторними полями (зображення, для
яких ранг матрицi M збiгається з розмiрнiстю простору Мiнковського) узагаль-
нених груп Пуанкаре P (n, m) та їх розширень до конформної групи включно в
 << Предыдущая стр. 8(из 70 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>