<< Предыдущая

стр. 9
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(n + m)-вимiрному просторi Мiнковського, для випадку однiєї залежної функцiї
u вивчалися в роботах [5–7]. Там було показано, що в загальному випадку цi гру-
пи допускають лише стандартнi зображення. Тiльки для груп P (1, 2), P (2, 2) та
їх розширень, до конформної групи включно, були побудованi новi коварiантнi
зображення векторними полями Лi.
2. Диференцiальнi iнварiанти та iнварiантнi рiвняння. Процедура по-
будови iнварiантних рiвнянь в класичному пiдходi Лi є стандартною. Так нехай
Xa (a = 1, . . . , N ) складають базис алгебри Лi AG групи симетрiї G, що дiє в
просторi X ? U . В нашому випадку X ? U є простiр {x, t, u}, а всi Xa мають
вигляд (1). Розглядаємо рiвняння

(9)
F (x, t, u, ux , ut , uxx , utx , utt ) = 0,

де F — довiльна гладка функцiя. Рiвняння (9) буде iнварiантним вiдносно гру-
пи G, якщо функцiя F задовольняє спiввiдношення [2, 3]

? a. (10)
Xa F = 0,
2

Тут Xa — другi продовження операторiв Xa . Розв’язавши систему (10), одержи-
2
мо множину елементарних диференцiальних iнварiантiв Jk (x, t, u, uµ , uµ? ) (µ, ? =
x, t), а iнварiантне рiвняння матиме вигляд

?(J1 , . . . , Js ) = 0.

Отже, щоб описати найбiльш загальний вигляд рiвняння iнварiантного вiдносно
групи G, потрiбно знайти множину всiх елементарних iнварiантiв даної групи.
Оскiльки число змiнних у спiввiдношеннях (9), (10) дорiвнює 8, алгебри AP (1, 1)
?
та AP (1, 1) є розв’язними, загальнi орбiти продовжених груп є три- та чотири-
вимiрними, вiдповiдно, то ми отримаємо п’ять для групи P (1, 1) та чотири для
?
групи P (1, 1) функцiонально незалежних елементарних диференцiальних iнварi-
антiв.
1. Випадок алгебри AP (1, 1) з базисними генераторами (6). Тут

P1 = P1 ? 2utx ?uxx ? utt ?utx ,
P 0 = P0 ,
2 2
K = K ? (tut + 2xux )?ux ? xut ?ut ? 2(ux + 2xuxx + tuxt )?uxx ?
2
? (ut + tutt + 3xutx )?utx ? 2xutt ?utt ,
Про новi нелiнiйнi рiвняння, iнварiантнi вiдносно групи Пуанкаре 39

тому базис фундаментальних розв’язкiв системи (10) складають функцiї
J1 = u, J2 = u2 (x2 ? 1), J3 = utt (x2 ? 1),
t
J4 = (x ? 1) (ux utt ? ut utx ) ? x(x2 ? 1)u2 ,
2 2
t
J5 = (x2 ? 1)3 (utt uxx ? u2 ) + 2x(x2 ? 1)2 (ux utt ? ut utx ) ? x2 (x2 ? 1)u2 ,
tx t

а найбiльш загальне P (1, 1)-iнварiантне рiвняння (9) має вигляд
(11)
?(J1 , J2 , J3 , J4 , J5 ) = 0.
?
2. Випадок алгебри AP (1, 1) з базисними генераторами (7). Врахувавши, що
найбiльш загальне P (1, 1)-iнварiантне рiвняння (9) має вигляд (12) i що
D1 = D1 ? ut ?ut ? 2utt ?utt ? utx ?utx ,
2

одержали такi чотири елементарнi диференцiальнi iнварiанти для алгебри
?
AP (1, 1) з генераторами (7):
?1 ?1 ?1
(12)
?1 = J1 , ?2 = J2 J3 , ?3 = J2 J4 , ?4 = J2 J5 ,
де значення Jk наведенi в (11).
?
3. Випадок алгебри AP (1, 1) з базисними генераторами (8). Тут
D2 = D1 ? ux ?ux ? utt ?utt + uxx ?uxx ,
2

?
а тому алгебра AP (1, 1) має такi чотири елементарнi диференцiальнi iнварiанти
другого порядку:
(13)
?1 = J1 J3 , ?2 = J2 , ?3 = J4 , ?4 = J5 ,
?
де значення Jk наведенi в (11). Найбiльш загальне P (1, 1)-iнварiантне рiвнян-
ня (9) має вигляд
?(?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) = 0.
?
де ?k (k = 1, 4) набувають значення (13) у випадку алгебри AP (1, 1) з генерато-
?
рами (7) або (14) — у випадку алгебри AP (1, 1) з генераторами (8).
?
Зауважимо, що для розглянутих реалiзацiй алгебр AP (1, 1), AP (1, 1) iнварi-
антними є рiвняння, якi є узагальненням вiдомих рiвнянь Монжа–Ампера.
3. Симетрiйна редукцiя iнварiантних рiвнянь. Iнварiантнiсть одержа-
них рiвнянь вiдносно групи Пуанкаре P (1, 1) або однiєї з розширених груп Пу-
?
анкаре P (1, 1) дозволяє провести симетрiйну редукцiю цих рiвнянь до звичайних
диференцiальних рiвнянь. Процедура симетрiйної редукцiї вимагає попередньої
класифiкацiї пiдалгебр вiдповiдної алгебри симетрiї з точнiстю до спряженостi,
яку визначає група iнварiантностi даного рiвняння. Тут ми використовуємо вiдо-
?
му класифiкацiю пiдалгебр алгебр AP (1, 1), AP (1, 1) (див., наприклад, [8]), дода-
тково ввiвши вiдношення еквiвалентностi пiдалгебр алгебри симетрiї на множинi
розв’язкiв iнварiантного рiвняння [8]. Крiм того, обмежуємося пiдалгебрами, для
яких анзац мiстить всi незалежнi змiннi.
Вказанi вимоги задовольняє єдина одновимiрна пiдалгебра алгебри AP (1, 1),
а саме, L1 = K . Їй вiдповiдає анзац
(14)
u = ?(?),
40 В.I. Фущич, В.I. Лагно

де ? = t2 (x2 ? 1)?1 . Пiдстановка анзацу (16) в рiвняння (12) приводить до зви-
чайного диференцiального рiвняння

?(?, 4? ?, 2?, 0, 4? ??) = 0.
? ?
2
Тут i далi ? = d? , ? = d?? , ? = ? + 2? ?.
d?
? d2
? ? ?
? (1, 1) з генераторами (7) крiм пiдалгебри L1 вказанi
У випадку алгебри AP
вимоги задовольняють пiдалгебри L2 = K + ?D та L3 = D + ?1 K + ?2 P0 ,
де ? = 0, ? ? R, а ?1 , ?2 незалежно одне вiд одного набувають значення ±1.
Крiм того, в даному випадку D = D1 . Анзац (16) у випадку алгебри L1 редукує
рiвняння (15) до рiвняння
1
? ?, ? ?1 ?, 0, ? = 0.
2

Алгебрам L2 , L3 вiдповiдає анзац (16), де ? = t2 (x ? 1)?1?? (x + 1)??1 для L2
та ? = 2(x??2 ) ? ?14?2 ln x??1 для L3 . Редукованi рiвняння (15) мають вiдповiдно
2t+? x+?
1
вигляд
1
? ?, ??2 ? ?1 ?, ?, (1 ? ?2 )??1 ? ? ?2
? ? = 0,
2
?(?, ???2 , ?1 , ?1 , ?2 ???1 ? 1) = 0.
?? ??
?
Нарештi, у випадку алгебри AP (1, 1) з генераторами (8), крiм пiдалгебри L1 ,
L2 , L3 , вказанi вимоги задовольняє пiдалгебра L4 = D . Тут D = D2 . Редукцiя
рiвняння (15), що вiдповiдає алгебрi L1 , приводить до рiвняння

?(2??, 4? ?, 0, 4? ??) = 0.
? ?

Пiдалгебрам L2 , L3 , L4 вiдповiдає анзац

u = f (x, t)?(?),
?1
?? ?
2 2
?1??
(x ? 1)
x+1 x+1
2 ??1
де f , ? = t (x + ?) — для алгебри L2 ; f = ,
= x?1 x?1
? ?14?2 ln x??1 — для алгебри L3 ; f = t, ? = x — для алгебри L4 .
2t+?2 x+?
?= 2(x??1 )
Редукованi рiвняння (15) мають вiдповiдно вигляд

?(2??, 4? ?2 , 2???, 2?, 2?(2?(1 ? ?2 )? ? ?2 ?)) = 0,
? ?
?(?, ?2 , ?1 ??, (? + ?1 ?2 ?)?) = 0,
?? ? ??
?(0, (? 2 ? 1)?2 , ?(? 2 ? 1)?[(? 2 ? 1)? + ??], ?(? 2 ? 1)[(? 2 ? 1)? + ??]2 ) = 0.
? ?


1. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solutions of equations
of nonlinear mathematical physics, Kluwer Academic Publishers, 1993, 436 p.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978,
400 с.
3. Олвер П., Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1989, 639 с.
4. Rideau D., Winternitz P., Nonlinear equations invariant under the Poincar?, similitude and
e
conformal groups in two-dimensional space-times, J. Math. Phys., 1990, 31, № 5, 1095–1105.
Про новi нелiнiйнi рiвняння, iнварiантнi вiдносно групи Пуанкаре 41

5. Yegorchenko I.A., Nonlinear representation of the Poincar? algebra and invariant equations,
e
in Symmetry Analysis of Equations of Mathematical Physics, Kyiv, Institute of Mathematics,
1992, 62–65.
6. Fushchych W.I., Lahno V.I., Zhdanov R.Z., On nonlinear representation of the conformal
algebra AC(2, 2), Доповiдi АН України, 1993, № 9, 44–47.
7. Fushchych W., Zhdanov R., Lahno V., On linear and nonlinear representations of the genera-
lized Poincar? groups in the class of Lie vector ?elds, J. Nonlinear Math. Phys., 1994, 1, № 3,
e
295–308.
8. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подгрупповой анализ групп Галилея, Пу-
анкаре и редукция нелинейных уравнений, Киев, Наук, думка, 1991, 304 с.
W.I. Fushchych, Scienti?c Works 2004, Vol. 6, 42–49.

Symmetry classi?cation of multi-component
scale-invariant wave equations
W.I. FUSHCHYCH, P.V. MARKO, R.Z. ZHDANOV
We describe systems of nonlinear wave equations of the form 2uj = Fj (u1 , . . . , u4 ),
j = 1, . . . , 4 invariant under the extended Poincar? group P (1, 3). As a result, we have
e
obtained twenty inequivalent classes of nonlinear P (1, 3)-invariant systems of partial
di?erential equations.

It is well-known that the maximal symmetry group admitted by the nonlinear
wave equation
2u ? ux0 x0 ? (1)
3u = F (u)
with an arbitrary smooth function F (u) is the 10-parameter Poincar? group P (1, 3)
e
having the following generators:
Jµ? = gµ? x? ?? ? g?? x? ?µ , (2)
P µ = ?µ ,
where ?µ = ?/?xµ , gµ? = diag(1, ?1, ?1, ?1), µ, ?, ? = 0, . . . , 3. Hereafter, the sum-
mation over the repeated indices from 0 to 3 is understood.
As established in [1], equation (1) admits the wider symmetry group in two cases
1. F (u) = ?uk , (3)
k = 1,

2. F (u) = ?eku , (4)
k = 0,

where ?, k are arbitrary constants, only.
Equations (1) with nonlinearities (3), (4) admit the one-parameter groups of scale
transformations D(1) having the following generators:
2
1. D = xµ ?µ + u?u ,
1?k (5)
2
D = xµ ?µ ? ?u .
2.
k
The Lie transformation group generated by the operators (2), (5) is called the
extended Poincar? group P (1, 3) [2].
e
Let us note that in [3] a partial symmetry classi?cation of P (1, 3)-invariant partial
di?erential equations (PDEs) of the form
2u = F (u, u? ) (6)

have been performed and two classes of P (1, 3)-invariant PDEs have been constructed.
A complete solution of the problem of classifying two-component wave equations (6)
admitting the extended Poincar? group has been obtained in [4].
e
Preprint ASI-TPA/8/96, Arnold-Sommerfeld-Institute for Mathematical Physics, Germany,
1996, 9 p.
Symmetry classi?cation of multi-component scale-invariant wave equations 43

In the present paper following an approach suggested in [4] we classify systems of
four PDEs
2uj = Fj (u1 , u2 , u3 , u4 ), (7)
j = 1, . . . , 4,
for real-valued functions ui = ui (x0 , x1 , x2 , x3 ), i = 1, . . . , 4 admitting the extended
Poincar? group P (1, 3) and the conformal group C(1, 3).
e
Before formulating the principal assertions we make an important remark. As a
direct check shows, the class of equations (7) is invariant under the linear transfor-
mations of dependent variables
4
uj > uj = (8)
?jk uk + ?j , j = 1, . . . , 4,
k=1

where ?jk , ?j , j = 1, 2, 3, 4 are arbitrary constants and what is more det ?jk = 0.
That is why, we carry out symmetry classi?cation of equations (7) within the
equivalence transformations (8).
Theorem 1. Let generators of the Poincar? group be of the form (2). Then system

<< Предыдущая

стр. 9
(из 70 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>