стр. 1
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Геометрические вопросы теории Теория устойчивости
Качественная теория

дифференциальных уравнений Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
А.М.Будылин
Веб – страница
26 марта 2002 г.
Титульный лист




Страница 1 из 47



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
1. Теория устойчивости
1.1. Основные понятия
В общем случае трудно получить количественную информацию в отношении решений
Теория устойчивости
нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих физических задачах независимая
Качественная теория
переменная x играет роль времени, а зависимая переменная y определяет состояние си-
стемы. Часто нет необходимости знать решение явно, а достаточно получить информацию Уравнеия в частных . . .

о поведении решения при больших временах. Во многих физических задачах имеются Предметный указатель
основания считать, что малые изменения в условиях задачи ведут к малым изменениям Литература
в решении.
Например, рассмотрим линейное уравнение Веб – страница

(1.1)
y = Ay + b(x) ,
Титульный лист
где A — постоянная матрица. Пусть y 1 и y 2 — два решения уравнения (1.1), отвечающие
различным начальным условиям. Положим
z = y2 ? y1 ,
тогда
(1.2)
z = Az .
Страница 2 из 47
Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательную вещественную часть:
Re?i < 0 (?i). Согласно общей теории решение z является суммой функций
Назад
xj e?i x cij (j = 0, . . . ki ? 1) (1.3)
где ki — кратность собственного значения ?i , а cij — постоянные векторы. Но тогда Полный экран

z > 0.
x>?
Закрыть
В этом случае говорят, что решения уравнения (1.1) устойчивы. Если хотя бы одно
из собственных значений имеет ?i имеет положительную вещественную часть, общее
Выход
решение уравнения (1.2) становится неограниченно большим при x > ?. В этом случае
говорят, что решения уравнения (1.1) неустойчивы.
Понятие устойчивости, в действительности, является сложным. Нет единого опреде-
ления, удовлетворяющего всем целям.
Теория устойчивости
Определение 1.1. Решения уравнения
Качественная теория
(1.4)
y = f (x, y) Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
называются устойчивыми по Ляпунову, если Литература

?? > 0 ?? > 0 : y 2 (x0 ) ? y 1 (x0 ) < ? ? y 2 (x) ? y 1 (x) < ? (?x > x0 ),
Веб – страница

где y 1 и y 2 — произвольные решения уравнения (1.4), а x0 — фиксированная начальная
точка. Титульный лист

Определение 1.2. Решения уравнения (1.4)

y = f (x, y)

называются асимптотически устойчивыми, если

?? > 0 : y 2 (x0 ) ? y 1 (x0 ) < ? ? lim y 2 (x) ? y 1 (x) = 0, Страница 3 из 47
x>?

где y 1 и y 2 — произвольные решения уравнения (1.4), а x0 — начальная точка. Назад

Например, все решения уравнения (1.1) в случае собственных чисел с отрицательной
вещественной частью являются асимптотически устойчивыми. Полный экран
В некоторых случаях концепция устойчивости зависит от начальных условий. Рас-
смотрим, например, уравнение Закрыть

y = ?y(y ? 1)(y ? 2) . (1.5)
Выход
Оно имеет следующие частные решения

y1 = 0, y2 = 1, y3 = 2 .

Если y = 0, 1, 2, то делением переменных найдем общий интеграл
Теория устойчивости
1 Качественная теория
(y ? 1)2 = .
1 + c2 e?2x Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Легко можно исследовать устойчивость решений y1 , y2 , y3 , см. рис. 1. Решения y = 0 и
Литература
y = 2 — устойчивы, а y = 1 — нет. Любое решение с начальным значением больше 1
приближается к y = 2, любое решение с начальным значением меньше 1 приближается
к y = 0. Если начальное значение равно 1, получаем решение y = 1. Веб – страница


Определение 1.3. Решения уравнения (1.4)
Титульный лист

y = f (x, y)

называются устойчивыми по Ляпунову относительно множества ? начальных усло-
вий, если

y 2 (x0 ) ? y 1 (x0 ) < ? ,
?? > 0 ?? > 0 : ? y 2 (x) ? y 1 (x) < ? (?x > x0 ),
y 1 (x0 ) , y 2 (x0 ) ? ? Страница 4 из 47


где y 1 и y 2 — произвольные решения уравнения (1.4), а x0 — фиксированная начальная Назад
точка.
Аналогичное определение дается в отношении асимптотической устойчивости. Полный экран

Упражнение 1.4. Сформулировать определение асимптотической устойчивости решений
Закрыть
уравнения (1.4) в отношении множества ? начальных условий.

Выход
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
y=2 Литература


Веб – страница



y=1 Титульный лист




y=0

Страница 5 из 47



Назад

Рис. 1: Решения уравнения y = ?y(y ? 1)(y ? 2)
Полный экран



Закрыть



Выход
В отношении примера (1.5) решение y = 0 является асимптотически устойчивым для
начальных условий y(0) < 1, решение y = 2 является асимптотически устойчивым для
начальных условий y(0) > 1.
Если речь идет об устойчивости частного решения, обычно имеется ввиду устойчи-
вость решений относительно начальных данных, лежащих в достаточно малой окрестно- Теория устойчивости
сти начального условия рассматриваемого частного решения. Качественная теория
Решения системы
Уравнеия в частных . . .
01
(1.6)
y = Jy , J= , Предметный указатель
?1 0
Литература
не являются асимптотически устойчивыми, поскольку собственные значения матрицы
J равны ±i (вещественная часть не является отрицательной). Однако решения этого
Веб – страница
уравнения являются устойчивыми по Ляпунову. Действительно, положим
b1
y(0) = b . Титульный лист
b2
Тогда
b1 cos x + b2 sin x
y(x) = eJx y(0) = (cos x · I + sin x · J)y(0) = .
b2 cos x ? b1 sin x
Если определит норму вектора равенством
b = max{|b1 |, |b2 |} , Страница 6 из 47

то
y(x) 2 y(0) . Назад

Поэтому, обращаясь к проверке устойчивости по Ляпунову, фиксировав ? > 0, достаточно
?
выбрать ? = . Полный экран
2
В случае линейных дифференциальных систем уравнений (1.1) с постоянными ко-
эффициентами вопросы устойчивости сводятся к изучению корней характеристического Закрыть
уравнения
det(A ? ?I) = 0 . (1.7)
Выход
Последняя задача, сама по себе, может быть чрезвычайно сложной, однако эти трудности
лежат в области специальных вопросов алгебры, см., например, критерий Рауса–Гурвица
в [3]. Мы не будем касаться этой темы.
Вопросы устойчивости в линейном случае, но с переменными коэффициентами, а
тем более, в нелинейном случае, могут быть несравненно более трудными. Однако, во Теория устойчивости
многих случаях можно достаточно много сказать о характере решений. Примером такого Качественная теория
положения является следующая теорема.
Уравнеия в частных . . .

Теорема 1.5. Решения задачи Коши Предметный указатель
Литература
y = Ay + f (x, y) ,
(1.8)
y(0) = b Веб – страница


являются асимптотически устойчивыми, если все собственные числа матрицы A Титульный лист
имеют отрицательную вещественную часть, а функция f непрерывна и удовлетво-
ряет оценке
(1.9)
f (x, y) ky ,
где k — достаточно мало (и зависит от A). Например, считая, что

ce??x ,
eAx (1.10)
Страница 7 из 47
достаточно требовать, чтобы
(1.11)
ck < ? .
Назад
Доказательство. Положим (в духе метода вариации постоянных)
Полный экран
y = eAx z ,

тогда Закрыть
Ax Ax
y = Ae z+e z,
Выход
откуда получаем уравнение на z:

z = e?Ax f (x, eAx z) ,
z(0) = b .

Интегрируя и умножая на eAx , найдем Теория устойчивости
Качественная теория
x
Уравнеия в частных . . .
y(x) = eAx b + eA(x?t) f (t, y(t)) dt .
Предметный указатель
0
Литература
Тогда
x

стр. 1
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>