<< Предыдущая

стр. 2
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Веб – страница
Ax A(x?t)
·b+ · f (t, y(t)) dt
y(x) e e
0 Титульный лист
x

c b e??x + ce??(x?t) k y(t) dt (x > 0),
0
откуда
ke?x y(x)
ck
x
e?t y(t) dt
b +k Страница 8 из 47
0
и, после интегрирования в пределах от 0 до x,
Назад
x
?t
b +k e y(t) dt
0
ln ckx , Полный экран
b
т.е.
x Закрыть
?t ckx
b +k e y(t) dt be ,
0 Выход
что ведет к конечной оценке
c b e(ck??)x .
y(x)
Если ck ? ? < 0, то lim y(x) = 0.
x>?

Следствие 1.6. Решение задачи Коши Теория устойчивости
Качественная теория
y = (A + B(x))y , Уравнеия в частных . . .
(1.12)
y(0) = b Предметный указатель
Литература
являются асимптотически устойчивыми, если все собственные числа матрицы A
имеют отрицательную вещественную часть, а функция B(x) непрерывна и удовле- Веб – страница
творяет оценке
(1.13)
B(x) k,
Титульный лист
где k — достаточно мало.
Следствие 1.7. Пусть y = 0 является решением автономной1 системы

y = f (y) .

Если функция f дифференцируема в нуле, то решение y = 0 является асимптотиче-
ски устойчивым, если вещественные части всех собственных чисел матрицы Якоби Страница 9 из 47
f (0) отрицательны.
Назад
Доказательство. Достаточно заметить, что в силу дифференцируемости f и равенства
f (0) = 0 имеем
f (y) = f (0)y + r(y) , r(y) = o( y ) . Полный экран
y >0


Закрыть
1 т.е. нет явной зависимости от x

Выход
1.2. Прямой метод Ляпунова
Речь пойдет об одном методе исследования на устойчивость, который может быть интер-
претирован с чисто физических позиций. Полная энергия физической системы в состоя-
нии устойчивого равновесия должна иметь минимум. Например, полная энергия частицы
Теория устойчивости
массы m, совершающей упругие колебания с коэффициентом упругости k вдоль оси x
около нуля равна Качественная теория

mx 2 kx2 Уравнеия в частных . . .
E= + .
2 2 Предметный указатель

Дифференциальное уравнение движения такой частицы имеет вид Литература


mx + cx + kx = 0 , Веб – страница

где член cx представляет сопротивление движению, вызванное трением, при этом c > 0.
Титульный лист
Дифференцируя E и используя уравнение движения, найдем

E = mx x + kxx = x (mx + kx) = ?cx 2 0.

Это означает, что энергия убывает с течением времени. Но энергия является ограничен-
ной с низу (не отрицательной), следовательно, существует точная нижняя грань значений
E, равная в данном случае нулю, что достигается, когда система останавливается в по-
ложении x = 0. Это означает, что решение x = 0 является асимптотически устойчивым. Страница 10 из 47
Идея метода Ляпунова в отношении уравнения
Назад
(1.14)
y = f (x, y) ,

— найти функцию V (x, y), которая ведет себя как энергия системы. Полный экран

Определение 1.8. Функция V (x, y) называется положительно определенной относи-
тельно y, если Закрыть


1. V — непрерывна,
Выход
2. lim V (x, y) = 0 ,
y >0

3. существует непрерывная монотонно возрастающая функция ?, такая, что ?(0) = 0
и
V (x, y) ?( y ) . Теория устойчивости
Качественная теория
Функция V называется отрицательно определенной, если функция ?V является поло-
Уравнеия в частных . . .
жительно определенной.
Предметный указатель
Теорема 1.9. Пусть в уравнении Литература
y = f (x, y)
Веб – страница
функция f непрерывна и
f (x, 0) = 0 .
Титульный лист
Решение y = 0 является устойчивым по Ляпунову, если существует положительно
определенная (относительно y) функция V (x, y), производная которой неположи-
тельна на всех интегральных кривых, начальные условия для которых достаточно
близки к нулю:
n
?V ?V
V? · fi (x, y) 0 .
+
?x ?yi
i=1
Страница 11 из 47
Здесь fi — компоненты вектора f .
Доказательство. Фиксируем ? > 0 и выберем y(0) = b так, чтобы b < ? и Назад

V (0, b) < ?(?) .
Полный экран
Предположим, что при некотором x решение y с начальным условием b станет по норме
равным ?. Тогда
Закрыть
V (x, y(x)) ?(?) .

Выход
Но по предположению V на траекториях решений является невозрастающей функцией,
так что имеем также
V (x, y(x)) V (0, b) < ?(?) .
Полученное противоречие означает, что решение y при всех x остается по норме меньше
Теория устойчивости
?.
Качественная теория
Теорема 1.10. Пусть в условиях теоремы 1.9 производная V является отрицательно Уравнеия в частных . . .
определенной. Тогда решение y = 0 является асимптотически устойчивым. Предметный указатель

Доказательство. По условиям теоремы имеют место неравенства Литература


V (x, y) < ??( y ) ,
V (x, y) > ?( y ) , Веб – страница

где функции ? и ? непрерывны, возрастают и в нуле равны нулю. Если асимптоти-
Титульный лист
ческой устойчивости нулевого решения нет, то в силу устойчивости нулевого решения
по Ляпунову должна существовать положительная константа ? такая, что имеет место
неравенство
y(x) ? > 0.
Тогда
V (x, y(x)) < ??(?) < 0 .
V (x, y(x)) > ?(?) > 0 ,
Страница 12 из 47
Но интегрирование второго неравенства ведет к оценке

V (0, y(0)) ? x?(?)
V (x, y(x)) Назад

и, следовательно, при достаточно больших x функция V становится отрицательной, про-
тиворечие. Полный экран


Слабость метода Ляпунова состоит в том, что нет общей техники построения функции
Закрыть
V — функции Ляпунова.

Выход
Пример. Рассмотрим систему

dx dy
= ?f (x) ,
= y,
dt dt
Теория устойчивости
считая, что f (0) = 0 и f (x) > 0 при x = 0. Заметим, что
Качественная теория
dy dx Уравнеия в частных . . .
y· = ?f (x) · ,
dt dt Предметный указатель
откуда Литература
x
y2
+ f (u) du = C Веб – страница
2
0

— первый интеграл. Функция Титульный лист

x
y2
V (x, y) = + f (u) du
2
0

является положительно определенной. Ее производная на траекториях системы равна

?V ?V Страница 13 из 47
·y+ · (?f (x)) = f (x)y ? yf (x) = 0 .
V=
?x ?y
Назад
По теореме 1.9 положение равновесия x = 0, y = 0 устойчиво по Ляпунову. Заметим на
будущее, что данная система является гамильтоновой и найденная функция V является
гамильтонианом этой системы. Полный экран



Закрыть



Выход
2. Элементарные вопросы качественной теории на плос-
кости
2.1. Автономные системы
Теория устойчивости
Во многих физических задачах x задает положение некоторой системы, x и x — соот- Качественная теория
ветственно, скорость и ускорение. Закон Ньютона связывает ускорение частицы и силу, Уравнеия в частных . . .
действующую на нее. Это ведет к дифференциальному уравнению Предметный указатель

x = f (t, x, x ) , Литература


где t — время. Мы ограничимся рассмотрением автономных уравнений
Веб – страница

(2.1)
x = f (x, x ) .
Титульный лист
Полагая x = v, получим систему, эквивалентную (2.1):

x =v
(2.2)
v = f (x, v) .

Эта система легко сводится к уравнению первого порядка. Переменные x и v зависят обе
от t. Если считать, что эти зависимости являются параметрической записью функции v
от x, найдем Страница 14 из 47
dv f (x, v)
(2.3)
= .
dx v Назад
Решив дифференциальное уравнение первого порядка (2.3), мы найдем эту функцию
v = v(x). Тогда зависимость x от t может быть найдена интегрированием уравнения
Полный экран
dx
= v(x) .
dt Закрыть
Решим, например, уравнение
x + x = 0.
Выход
Редукция к системе дает

<< Предыдущая

стр. 2
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>