<< Предыдущая

стр. 3
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x = v,
v = ?x ,
и тогда,
Теория устойчивости
dv x
=? , Качественная теория
dx v
откуда Уравнеия в частных . . .
xdx + vdv = 0 . Предметный указатель
Литература
Последнее есть уравнение в полных дифференциалах. Его интеграл

x2 + v 2 = c2 , c = const . Веб – страница


Тогда Титульный лист
dx
c2 ? x2 ,
=
dt
откуда
dx
v = dt ,
c2 ? x2
т.е.
x
или
arcsin = t + t0 x = c sin(t + t0 ) .
c Страница 15 из 47

Если физическая система, представленная системой (2.2), имеет одно или несколько
положений равновесия, эти равновесные положения могут быть охарактеризованы как ре- Назад
шения системы, для которых x является константой, т.е. положения равновесия являются
решениями уравнения
Полный экран
f (x, 0) = 0 .
В окрестности таких точек уравнение (2.3) становится неопределенным и требуется от- Закрыть
дельная техника исследования.

Выход
Перейдем к общей постановке задачи. Будем рассматривать автономную систему

x = f (x, y) ,
(2.4)
y = g(x, y) ,
Теория устойчивости
где штрих обозначает дифференцирование по t. Считая y функцией x, найдем Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
dy g(x, y)
(2.5)
= . Предметный указатель
dx f (x, y)
Литература
Будем предполагать, что существует неподвижная точка (x0 , y0 ), т.е. точка, в которой
обе функции f и g обращаются в ноль одновременно. Не теряя общности будем считать, Веб – страница
что x0 = 0, y0 = 0. Этого всегда можно добиться сдвигом системы координат в плоскости
x, y.2 Функции f и g мы будем считать дифференцируемыми в нуле, тогда
Титульный лист
?
o(|x| + |y|) ,
?f (x, y) = ax + by + ?(x, y) , ?(x, y) =
(x,y)>(0,0)
(2.6)
o(|x| + |y|)
?g(x, y) = cx + dy + ?(x, y) , ?(x, y) =
(x,y)>(0,0)

Матрица
ab
A= Страница 16 из 47
cd
является матрицей Якоби вектор-функции (f, g) в нуле.
Назад
Естественно ожидать, что поведение решений уравнений (2.4) и (2.5) похоже на по-
ведение решений уравнений, соответственно,
Полный экран
x = ax + by ,
(2.7)
y = cx + dy Закрыть

2 неподвижных точек может быть много, в данный момент мы будем исследовать какую-либо одну из них
Выход
и
dy cx + dy
(2.8)
=
dx ax + by
в окрестности нуля (неподвижной точки). Уравнение (2.7) называется линеаризацией
уравнения (2.4). Исследуем его, записав в виде Теория устойчивости

x Качественная теория
y = Ay , y= .
y Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Собственные числа матрицы A находятся из уравнения
Литература
2
? ? (a + d)? + (ad ? bc) = 0 .
Веб – страница
Предположим, вначале, что собственные числа различны и равны ?1 и ?2 . Соответству-
ющие собственные векторы обозначим через a1 и a2 . Обозначая матрицу, столбцами
которой являются эти векторы, через T , найдем Титульный лист

?1 0
A = T ?T ?1 , ?= .
0 ?2
Замена искомой функции
z = T ?1 y
ведет к системе
Страница 17 из 47
z = ?z ,
решения которой имеют вид
Назад
u
u = c1 e?1 t , v = c2 e?2 t , z= .
v
Полный экран
Предположим, теперь, что собственные числа вещественны (и различны). Тогда на
фазовой плоскости u, v получим семейство кривых Закрыть
?2
v = kuµ , µ= .
?1 Выход
v v




Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
u u
Предметный указатель
Литература


Веб – страница



Титульный лист

µ>1 0<µ<1

Рис. 2: Неустойчивый узел



Если оба корня ?1 , ?2 положительны, получится картина, представленная на рисунке 2. Страница 18 из 47
При этом стрелочки указывают направление движения. Особая точка (0, 0) называется
неустойчивым узлом. Назад
Если оба корня отрицательны, получится аналогичная картина, но направление дви-
жения изменится на противоположное. Особая точка (0, 0) в этом случае называется
Полный экран
устойчивым узлом. Если корни разных знаков, фазовый портрет примет вид, напри-
мер, показанный на рисунке 3.
В этом случае особая точка (0, 0) называется седлом. Четыре траектории, входящие Закрыть
или выходящие из седловой точки и отделяющие друг от друга семейства траекторий
Выход
Теория устойчивости
v Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература


Веб – страница


u
Титульный лист




?1 > 0, ?2 < 0 Страница 19 из 47



Рис. 3: Седло Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
типа гипербол, называются сепаратрисами.
Если корни комплексные, то в силу вещественности матрицы A, будем иметь ком-
плексно сопряженные корни ?12 = ? ± i?. Пусть a ± ib — соответствующие собственные
векторы.3 Тогда
Теория устойчивости
Aa = ?a ? ?b
Качественная теория
Ab = ?a + ?b . Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Это означает, что в базисе из векторов a, b матрица A примет вид
Литература
? ?
B = S ?1 AS = ,
?? ? Веб – страница

здесь S — матрица, столбцы которой составляют векторы a и b. Замена
Титульный лист
?1
z=S y

приведет нас к уравнению
u
z = Bz , z= .
v
Удобно ввести полярные координаты
Страница 20 из 47

u = r cos ? ,
Назад
v = r sin ? .

Тогда система Полный экран
u = ?u + ?v ,
v = ??u + ?v Закрыть

3a и b — вещественные векторы
Выход
примет вид
r = ?r ,
? = ?? .
Решение Теория устойчивости
r = r0 e?t , ? = ??t + ?0 ,
Качественная теория
если ? = 0, является спиралью, см. рис. 4. Особая точка при этом называется фокусом. Уравнеия в частных . . .
Закручивается или раскручивается спираль (с течением времени) — определяется знаком Предметный указатель
вещественной части собственных чисел (т.е. знаком ?). Если ? > 0, спираль закручи- Литература
вается и фокус называется устойчивым. Направление движения (по или против часовой
стрелки) — определяется знаком ?. Веб – страница
Если корни чисто мнимые, вместо спиралей получаем семейство окружностей с цен-
тром в нуле. Особая точка при этом так и называется — центром.
Титульный лист
Остается разобрать случай кратного собственного числа ? матрицы A. Если матрица
может быть диагонализована (т.е. существует базис из собственных векторов), то верны
те же рассуждения, которые относились к случаю различных вещественных значений
одного знака. В противном случае в жордановом базисе матрица A примет вид

? 1
A= .
0 ?
Страница 21 из 47
В соответствующих координатах u, v система запишется в виде
Назад
u = ?u + v ,
v = ?v .
Полный экран
Решение дается равенствами
u = (c1 t + c2 )e?t , Закрыть
v = c1 e?t .
Выход
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература


Веб – страница


<< Предыдущая

стр. 3
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>