<< Предыдущая

стр. 4
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Титульный лист




Страница 22 из 47



Назад

Рис. 4: Фокус
Полный экран



Закрыть



Выход
Качественно опять фазовые кривые выглядят также, как в случае вещественных различ-
ных корней одного знака, т.е. особая точка будет являться устойчивым узлом в случае
? < 0 и неустойчивым узлом при ? > 0.
Возвращаясь на фазовую плоскость x, y мы получим принципиально те же фазовые
портреты (с точностью до линейных искажений). Таким образом, на плоскости в случае Теория устойчивости
простых (т.е. если определитель соответствующей матрицы не равен нулю) линейных Качественная теория
систем дифференциальных уравнений имеется четыре типа особых точек: узел, седло,
Уравнеия в частных . . .
фокус и центр.
Предметный указатель
Эта классификация сохранится и для нелинейных систем. Имеет место теорема о
Литература
линеаризации, утверждающая, что если линеаризованная система в окрестности особой
точки является простой, то фазовый портрет нелинейной системы в окрестности рассмат-
риваемой особой точки качественно эквивалентен фазовому портрету линеаризованной Веб – страница

системы, если только особая точка не является центром. Доказательство этой теоремы
выходит за рамки данного курса. Ограничимся лишь только замечанием, что в силу след- Титульный лист
ствия 1.7 в случае узла или фокуса устойчивость особой точки нелинейной системы будет
определяться устойчивостью особой точки соответствующего линеаризованного уравне-
ния: устойчивость особой точки в нуле для уравнения (2.6) определяется устойчивостью
особой точки (узла или фокуса) линеаризованного уравнения 2.7.

2.2. Понятие о предельном цикле
Страница 23 из 47
В предыдущем параграфе мы рассматривали решения автономных систем на плоскости
только в окрестности особых точек (имеются в виду, конечно, нелинейные системы). Во
Назад
многих задачах бывает нужна информация о глобальных решениях. Выяснение глобаль-
ных свойств решений является задачей значительно более сложной. Достаточно заметить,
что две нелинейные системы могут иметь одинаковое число особых точек одинакового Полный экран
характера (качественно эквивалентных) и одинаково расположенных, но при этом в це-
лом фазовые портреты этих систем не будут качественно эквивалентными. Одним из Закрыть
интересных проявлений глобальных фазовых портретов являются предельные циклы —
изолированные замкнутые орбиты, т.е. такие замкнутые фазовые траектории, в некото-
Выход
рой окрестности которых нет других замкнутых траекторий. Примером является система,
имеющая в полярных координатах вид

r = 1 ? r2 ,
? = 1. Теория устойчивости
Качественная теория
Предельным циклом является окружность r = 1. Уравнеия в частных . . .
Имеются глубокие результаты, описывающие условия появления предельных циклов
Предметный указатель
(теория Пуанкаре–Бендиксона). Например, если некоторая компактная область в фазовой
Литература
плоскости обладает тем свойством, что любая траектория, с началом в этой области,
остается в области во все последующие моменты времени и если в этой области нет
Веб – страница
неподвижных точек, то в рассматриваемой области существует предельный цикл.
Мы остановимся на доказательстве одного простого критерия, гарантирующего от-
сутствие предельных циклов. Титульный лист

Теорема 2.1. Пусть в односвязной области D фазовой плоскости функции f (x, y) и
g(x, y) непрерывно дифференцируемы и сумма

?f ?g
+
?x ?y

знакоопределенна. Тогда в области D нет замкнутых траекторий системы Страница 24 из 47


x = f (x, y) , Назад
y = g(x, y) .
Полный экран
Доказательство. Пусть кривая ? является замкнутой траекторией для рассматриваемой
системы. Тогда на ней
Закрыть
dy g
? gdx ? f dy = 0 (x, y ? ?) .
=
dx f
Выход
По формуле Грина
?f ?g
gdx ? f dy = ? + dxdy ,
?x ?y
? D?

где D? — область, ограниченная орбитой ?. Мы пришли к противоречию, поскольку Теория устойчивости
левая часть равенства равна нулю, в то время как правая знакоопределенна. Качественная теория

Например, уравнение Уравнеия в частных . . .
dy ay + f (x) Предметный указатель
=
dx bx + g(y) Литература

не имеет предельных циклов, если a + b = 0. Действительно,
Веб – страница
?f ?g
+ = a + b.
?x ?y Титульный лист




Страница 25 из 47



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
3. Уравнения в частных производных 1-го порядка
3.1. Вводные замечания
С геометрической точки зрения обыкновенному дифференциальному уравнению отве-
Теория устойчивости
чает заданное в некотором конфигурационном пространстве поле направлений (т.е. в
Качественная теория
каждой точке конфигурационного пространства задана прямая) и задача интегрирова-
ния сводится к нахождению интегральных кривых, т.е. таких кривых, касательные к Уравнеия в частных . . .

которым совпадают с направлениями поля. В случае уравнения в частных производных Предметный указатель
вместо поля направлений задается поле плоскостей (линейных пространств размерно- Литература
сти больше 1), т.е. в каждой точке конфигурационного пространства задается плоскость
и задача интегрирования сводится к нахождению интегральной поверхности, т.е. такой Веб – страница
поверхности, касательные плоскости к которой совпадают с плоскостями поля. Одна-
ко интегрируемые поля плоскостей оказываются исключительным явлением. Уже поле
Титульный лист
двумерных плоскостей в трехмерном пространстве не интегрируется в общем случае.
Например — поле плоскостей dz = y dx в пространстве с координатами x, y, z. То есть,
не существует функции F (x, y, z) такой, чтобы уравнение F (x, y, z) = 0 определяло по-
верхность, в каждой точке (x, y, z) которой касательная плоскость была бы определена
уравнением (Z ? z) = y(X ? x) (здесь X, Y, Z — координаты на плоскости). Действитель-
?F
но, такая функция F не должна зависеть от y : = 0, что противоречит равенству
?y
Страница 26 из 47
?F
= y. Все это говорит о том, что нет общей теории для дифференциальных уравне-
?x
ний в частных производных. Некоторые уравнения имеют свои теории, другие — нет. Назад
Мы познакомимся со случаем, когда есть полная теория — это случай [одного] уравне-
ния в частных производных первого порядка. Для системы линейных дифференциальных
Полный экран
уравнений (приведенный выше пример относится к линейной системе) такой теории уже
нет.
Уравнение в частных производных первого порядка имеет вид Закрыть


F (x, u, u) = 0 ,
Выход
или в координатной записи
F (x1 , . . . xn , u, p1 , . . . pn ) = 0 ,
?u
где pi = = uxi , где u — искомая, а F — заданная функции.
?xi Теория устойчивости
Прежде чем переходить к общей теории рассмотрим примеры.
Качественная теория
Уравнение
Уравнеия в частных . . .
?u
(3.1)
= 0, Предметный указатель
?x1
Литература
очевидно, в качестве общего решения имеет произвольную функцию u = u(x2 , . . . xn ),
не зависящую от x1 . Это пример линейного уравнения в частных производных. Как мы
Веб – страница
видим, пространство решений этого уравнения является бесконечномерным линейным
пространством. Такое положение типично (но не обязательно) для линейных уравнений
в частных производных. Титульный лист
Второй пример — уравнение эйконала в геометрической оптике. На плоскости x, y оно
имеет вид
?u 2 ?u 2
(3.2)
+ = 1.
?x ?y
Пусть ? — выпуклая замкнутая область с гладкой границей. Для точки (x, y) ? ? /
определим функцию u(x, y) как расстояние от точки (x, y) до области ?. Тогда, как
нетрудно видеть, функция u является решением уравнения (3.2). Действительно, u Страница 27 из 47
является вектором, направленным в сторону наибыстрейшего возрастания функции u, т.е.
от точки (x, y) перпендикулярно к границе ??. На этом направлении скорость изменения
Назад
расстояния равна по абсолютной величине единице. Но | u| и есть скорость изменения
u на таком направлении (направлении наибыстрейшего изменения), т.е. | u| = 1, что
эквивалентно равенству (3.2). Можно показать, что любое решение уравнения эйконала Полный экран
локально имеет вид суммы расстояния до некоторой кривой и константы.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Эйлера–Хопфа: Закрыть

?u ?u
(3.3)
+u = 0.
?t ?x Выход
Как и предыдущее — это нелинейное уравнение, однако тот факт, что частные про-
изводные входят в уравнение линейно выделяет его в отдельную группу квазилиней-
ных уравнений. Это уравнение описывает свободное движение частицы вдоль прямой
x. Действительно, если u(x, t) — скорость частицы в точке x в момент времени t, то
x = x0 + u(x, t)t, согласно второму закону Ньютона, удовлетворяет уравнению x = 0. Теория устойчивости
При этом x = u(x, t), откуда согласно правилу дифференцирования сложной функции Качественная теория

x = ut + ux · x = ut + uux = 0 . Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Обратно, из уравнения Эйлера–Хопфа можно вывести уравнение Ньютона, т.е. эти опи- Литература
сания движения эквивалентны. Заметим, что уравнение Ньютона является уравнением
эволюции частиц, в то время как уравнение Эйлера–Хопфа является уравнением поля
Веб – страница
(уравнением для волн). Здесь мы имеем наглядный пример двойственности описания
одних и тех же физических явлений — при помощи волн и при помощи частиц. Ока-
зывается эта двойственность в некотором смысле универсальна, т.е. если поле Титульный лист

удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных первого порядка, то
его изучение может быть сведено к изучению эволюции частиц, движение которых
описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.2. Линейные уравнения в частных производных
Пусть v = v(x) — векторное поле в области евклидова пространства. Уравнение Страница 28 из 47


(3.4)
Dv u = 0
Назад
называется линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производ-
ных. Напомним, что Dv u — производная от u по вектору v, т.е. Полный экран
n
u(x + tv(x)) ? u(x) ?u
Dv u(x) = lim = vi (x) , Закрыть
t ?xi
t>0
i=1

где vi и xi — координаты векторов, соответственно, v и x.
Выход
Определение 3.1. Векторное поле v называется характеристическим векторным полем,
а его фазовые кривые — характеристиками уравнения (3.4).
Напомним, что фазовые кривые — это проекции интегральных кривых дифференци-
ального уравнения
Теория устойчивости
(3.5)
x = v(x)
Качественная теория
на фазовое пространство (пространство x-ов). Здесь штрих означает производную по Уравнеия в частных . . .
независимой переменной t. Предметный указатель

Определение 3.2. Первыми интегралами системы (3.5) называются дифференцируемые Литература

<< Предыдущая

стр. 4
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>