<< Предыдущая

стр. 5
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

функции U (x), которые постоянны на фазовых кривых поля v, т.е.
Веб – страница
d
(3.6)
U (x(t)) = 0 ,
dt
Титульный лист
если x(t) — решение уравнения (3.5).
Очевидно, что первые интегралы системы (3.5) и только они являются решениями ли-
нейного однородного уравнения в частных производных (3.4). Действительно, на фазовых
траекториях
n n
d ?U dxi ?U
· · vi = 0 .
U (x(t)) = =
dt ?xi dt ?xi Страница 29 из 47
i=1 i=1

Рассмотрим, например, уравнение
Назад
n
?u
xi = 0.
?xi Полный экран
i=1

Характеристическим является поле v = x. Решая уравнение x = x найдем x = et c.
Закрыть
Таким образом, характеристики — лучи x = et c (здесь множитель et играет роль па-
раметра: при изменении t от ?? до +? точка x пробегает луч, исходящий из начала
Выход
координат в направлении вектора c). Решение u(x) должно быть постоянно на каждом
таком луче. Считая, что функция u(x) непрерывна в нуле заключаем, что решениями
рассматриваемого уравнения в частных производных являются только константы.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Лиувилля
Теория устойчивости
??
+ {H, ?} = 0 , (3.7) Качественная теория
?t
Уравнеия в частных . . .
где H = H(t, q, p) — функция Гамильтона (функция полной энергии системы), ? = Предметный указатель
?(t, q, p) — искомая функция, q и p — так называемые обобщенные координаты и им- Литература
пульсы, t — время, а {H, ?} — скобка Пуассона. Последняя определяется равенством
n Веб – страница
?H ?? ?H ??
{H, ?} = ? (3.8)
.
?pi ?qi ?qi ?pi
i=1
Титульный лист
Уравнение Лиувилля является линейным однородным уравнением в частных производных
с характеристическим векторным полем

?H ?H ?H ?H ?H ?H
,? ,... ? ,?
v = 1, ,... = 1, .
?p1 ?pn ?q1 ?qn ?p ?q
Уравнения характеристик имеют вид
Страница 30 из 47
dt dq ?H dp ?H
=?
= 1, = , ,
d? d? ?p d? ?q Назад

т.е.
dq
= ?H , Полный экран
dt ?p
(3.9)
dp
= ? ?H .
dt ?q
Закрыть
и называются каноническими уравнениями Гамильтона. Решение ? уравнения Лиувил-
ля является постоянным на траекториях канонических уравнений.
Выход
Определение 3.3. Задачей Коши для уравнения (3.4) называется задача о нахождении
решения u этого уравнения, удовлетворяющая условию

(3.10)
u|? = f ,
Теория устойчивости
где ? — заданная гладкая гиперповерхность, а f — определенная на ней функция. Ги-
Качественная теория
перповерхность ? называется начальной.
Уравнеия в частных . . .
Определение 3.4. Точка x0 начальной гиперповерхности ? называется нехарактери- Предметный указатель
стической, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна (т.е. — Литература
не касательна) поверхности ?.
Теорема 3.5. Пусть x0 — нехарактеристическая точка поверхности ?. Тогда в неко- Веб – страница

торой окрестности этой точки существует и единственно решение u задачи Коши
для уравнения (3.4) с начальной гиперповерхностью ?. Титульный лист

Доказательство. Пусть в окрестности точки x0 поверхность ? ? Rn задана параметри-
ческим уравнением x = ?(s), где s ? Rn?1 . Обозначая параметр на интегральных кривых
характеристического поля через t, введем криволинейные координаты (t, s) в окрестно-
сти точки x0 . Для фиксированной точки x они определяются следующим образом. Через
каждую начальную точку ?(s) ? ? проходит и при том только одна (локально) инте-
гральная кривая x(t; s) уравнения (3.5). Тогда точка x получается как значение решения
Страница 31 из 47
x(t) задачи Коши для уравнения (3.5) с начальным условием x(0) = ?(s). Таким обра-
зом, точка x взаимно однозначно определяется парой (t, s). Единственный тонкий вопрос
состоит в том, а любая ли точка x (в достаточно малой окрестности рассматриваемой Назад
нехарактеристической точки) получит координаты (t, s), т.е. обязательно ли, выйдя из
точки x по характеристике, мы достигнем поверхности ?. Ответ будет положительным в Полный экран
силу теоремы о продолжимости решения обыкновенного дифференциального уравнения
и нехарактеристичности поверхности ? в некоторой окрестности точки x0 . 4 В новых
Закрыть
4 мы не будем более строго обосновывать этот факт апеллируя к геометрической интуиции

Выход
координатах задача Коши для уравнения в частных производных принимает вид
?w
= 0,
?t (3.11)
w|t=0 = f (?(s)) ,
Теория устойчивости
где w(t, s) = u(x). Качественная теория
Эта процедура называется выпрямлением векторного поля v и поверхности ?. От- Уравнеия в частных . . .
метим, что дифференциальное уравнение выпрямленного поля в точности отвечает тому
Предметный указатель
факту, что решение исходного уравнения в частных производных должно быть первым
Литература
интегралом дифференциального уравнения характеристического векторного поля. Реше-
ние полученной задачи элементарно и единственно
Веб – страница
w(t, s) = f (?(s)) .
Титульный лист
В исходных координатах решение u(x) строится как постоянное на характеристиках с
начальными значениями f (x) , x ? ?.
Аналогично рассматривается неоднородное линейное уравнение в частных производ-
ных
(3.12)
Dv u = b ,
где b = b(x) — заданная функция.
Страница 32 из 47

Теорема 3.6. Задача Коши для уравнения (3.12) в достаточно малой окрестности
любой нехарактристической точки начальной гиперповерхности ? имеет и при том Назад
единственное решение. В случае начального условия (3.10) оно дается равенством
t Полный экран

u(x(t)) = f (x(0)) + b(x(? )) d? ,
Закрыть
0

где x(t) — характеристика, x(0) ? ?.
Выход
Доказательство. После выпрямления векторного поля и гиперповерхности приходим к
задаче
?w
?t = b(x(t; s)) ,
w|t=0 = f (?(s)) ,
Теория устойчивости
решение которой дается равенством
Качественная теория
t Уравнеия в частных . . .
w(t, s) ? f (?(s)) = b(x(? ; s)) d? . Предметный указатель
Литература
0

Как и ранее здесь w(t, s) = u(x) при замене переменных x > (t, s).
Веб – страница
Заметим, что в случае неоднородного уравнения решение уже не является постоянным
на характеристиках. Как и в случае обыкновенных уравнений общее решение неоднород- Титульный лист
ной задачи является суммой общего решения однородной задачи и частного решения
неоднородной.
Найдем решение задачи Коши
?u ?u
?y = y, u(0, y) = sin y .
?x ?y
Уравнения характеристик имеют вид Страница 33 из 47

dx dy
= ?y .
= 1,
dt dt Назад

Таким образом, характеристиками служат кривые
Полный экран
y = y0 e?t y = ce?x .
т.е.
x = x0 + t ,

Отметим, что общее решение U однородного уравнения дается равенством Закрыть


U = ?(yex ) ,
Выход
где ? — произвольная дифференцируемая функция. Найдем решение нашей неоднородной
задачи. При t = 0 получаем уравнения на начальные данные x0 = 0, u(0, y0 ) = sin y0 .
Тогда при x = t, y = y0 e?t найдем
t
Теория устойчивости
y0 e?? d? = sin y0 ? y0 e?t + y0 ,
u(x, y) = sin y0 +
Качественная теория
0
Уравнеия в частных . . .
т.е. Предметный указатель
u(x, y) = sin(yex ) + yex ? y . Литература


3.3. Квазилинейные уравнения первого порядка Веб – страница

Определение 3.7. Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение
Титульный лист
(3.13)
Dv u = b ,

где v = v(x, u(x)) и b = b(x, u(x)), функции v(x, u) и b(x, u) (как функции Rn+1 > Rn и
Rn+1 > R, соответственно) заданы, а функция u = u(x) (как функция Rn > R) является
искомой.
В координатной записи квазилинейное уравнение принимает вид
Страница 34 из 47
n
?u
vi (x1 , . . . xn , u) = b(x1 , . . . xn , u) .
?xi
i=1 Назад

Смысл выписанного соотношения в следующем. Если точка x выходит из точки x0 и
начинает двигаться со скоростью v(x0 , u(x0 )), то значение решения u = u(x0 ) начинает Полный экран
меняться со скоростью b(x0 , u(x0 )). Это в точности означает, что вектор

a = (v, b) ? Rn+1 Закрыть
(3.14)

является касательным к графику решения u = u(x).
Выход
Определение 3.8. Векторное поле a = (v, b) называется характеристическим для ква-
зилинейного уравнения (3.13). Его фазовые кривые называются характеристиками урав-
нения квазилинейного уравнения.
Таким образом, уравнения на характеристики в случае квазилинейных уравнений
имеют вид Теория устойчивости

(3.15)
x = v(x, u) , u = b(x, u) , Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
штрих означает дифференцирование по независимой переменной t. Уравнения на харак-
Предметный указатель
теристики часто записывают в симметричном виде:
Литература
dx1 dxn du
= ... = = .
v1 vn b Веб – страница
Теорема 3.9. Функция u является решением квазилинейного уравнения тогда и толь-
ко тогда, когда ее график состоит из характеристик. Титульный лист

Доказательство. Если характеристика пересекает график решения, то в силу условия
касания графика решения с характеристическим полем она вся лежит на этом графике.


Задача Коши в квазилинейном случае ставится также, как в линейном.
Определение 3.10. Начальным многообразием G для задачи Коши в квазилинейном
Страница 35 из 47
случае называется график функции f : ? > R, см. (3.10). Начальное условие (?, f )
называется нехарактеристическим в точке x0 ? ?, если вектор v = v(x0 , u0 ), где
u0 = f (x0 ), трансверсален поверхности ?. Назад

Заметим, что в отличии от линейного уравнения характеристический вектор зависит
от u и, следовательно, нельзя ввести понятия нехарактеристической точки поверхно- Полный экран
сти ?. Следует говорить лишь о нехарактеристических точках начального многообразия
G.5 Заметим, что нехарактеристичность начального условия складывается из двух вещей: Закрыть
5 если начальное условие f нехарактеристично в точке x0 , то точка (x0 , u0 ) ? G является нехарактеристи-
ческой, т.е. характеристическое поле a трансверсально G в этой точке
Выход
нехарактеристчности точки (x0 , u0 ) начального многообразия G и условия невертикаль-
ности характеристического поля a = (v, b) в этой точке (т.е. v = 0).

<< Предыдущая

стр. 5
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>