<< Предыдущая

стр. 6
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорема 3.11. Решение задачи Коши с нехарактеристическим начальным условием в
точке x0 ? ? существует в некоторой окрестности этой точки и единственно.
Теория устойчивости
Доказательство. В силу нехарактеристичности начального условия в окрестности точ-
Качественная теория
ки (x0 , u0 ) характеристическое поле a невертикально. Поэтому характеристики поля,
Уравнеия в частных . . .
выходящие из начального многообразия G, будут выстилать некоторую поверхность, яв-
Предметный указатель
ляющуюся графиком функции. Последняя и есть искомое решение. Существование и
Литература
единственность вытекают из теоремы существования и единственности для обыкновен-
ных дифференциальных уравнений (уравнений для характеристик), см. рис. 5.
Веб – страница
Вернемся к уравнению Эйлера-Хопфа и рассмотрим для него задачу Коши
?u ?u Титульный лист
+u = 0, u|t=0 = f (x) .
?t ?x
Уравнения на характеристики имеют вид
dt dx du
= 1, = u, =0
d? d? d?
Это линейная система дифференциальных уравнений эквивалентная уравнению Ньютона
Страница 36 из 47
d2 x
= 0.
dt2
Назад
Xарактеристиками служат прямые
t = ? + t0 , x = u0 ? + x0 , u = u0 Полный экран

Начальная гиперповерхность ? является плоскостью t = 0. Считая, что характеристики
начинаются при нулевом значении параметра ? , найдем t0 = 0. Из начальных условий Закрыть
находим тогда
u0 = f (x0 ) .
Выход
u

a

Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
G
Предметный указатель
Литература
x2

Веб – страница
v
?
Титульный лист
x1

Рис. 5: Характеристики квазилинейного уравнения



Таким образом, получено решение в параметрическом виде
Страница 37 из 47
x = f (x0 )t + x0 ,
u = f (x0 ) Назад

(параметром является x0 ). В неявном виде решение принимает форму
Полный экран
u = f (x ? ut) .
Закрыть
Заметим, что на характеристиках
x0 ? u0 t0 = x ? u0 (t ? t0 ) ? u0 t0 = x ? u0 t = x ? ut ,
Выход
что также ведет к решению рассматриваемой задачи Коши.
Это уравнение описывает, например, пылевое облако, частицы которого движутся па-
раллельно оси x со скоростью u. Найдем условия опрокидывания пылевой волны, т.е.
когда и где производная по x от скорости обращается в бесконечность (это момент, когда
быстрые частицы догоняют медленные и фронт волны рушится — происходит формиро- Теория устойчивости
вание ударной волны, см. рис. 6). Качественная теория
По правилу дифференцирования неявной функции получаем
Уравнеия в частных . . .

1 Предметный указатель
ux = f (x ? ut) · (1 ? tux ) ? ux = 1, Литература
t+ f

т.е. формирование ударной волны будет происходить при условии tf (x?ut) = ?1. Пусть, Веб – страница
для определенности, f (x) = ? ? arctg x. Условие опрокидывания примет вид: t = 1 +
2
(x ? ut)2 . Мы видим, что опрокидывание наступает при t ^ 1 в точке x = u, т.е. при
Титульный лист
x = f (0) = ? .
2

u




Страница 38 из 47



Назад


x Полный экран


Рис. 6: Формирование ударной волны
Закрыть



Выход
3.4. Нелинейные уравнения первого порядка
Для нелинейного уравнения в частных производных сохраняет силу метод характеристик,
но в то время как характеристики линейного уравнения были траекториями в n-мерном
пространстве, а характеристики квазилинейного уравнения — в (n + 1)-мерном, харак-
Теория устойчивости
теристики нелинейного уравнения лежат в 2n + 1 мерном пространстве (имеется ввиду
случай x ? Rn ). Качественная теория

Итак, рассмотрим уравнение Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
(3.16)
F (x, u, u) = 0 , Литература

где F — гладкая функция. Прежде всего заметим, что решение этого уравнения сводится
к решению системы Веб – страница

n n
?F ?F ?F
dxi + du + dpi = 0 , Титульный лист
?xi ?u ?pi
i=1 i=1
n
du ? pi dxi = 0 ,
i=1

или в сокращенной записи
?F ?F ?F
(3.17) Страница 39 из 47
dx + du + dp = 0 ,
?x ?u ?p
du ? p dx = 0 . (3.18) Назад

Уравнение (3.17) определяет касательную гиперплоскость к гиперповерхности в R2n+1 :
Полный экран
(x, u, p ? Rn ? R ? Rn ) .
F (x, u, p) = 0 ,

Уравнение (3.18) задает так называемую контактную гиперплоскость. Как уже было Закрыть
замечено выше, поле контактных гиперплоскостей неинтегрируемо, т.е. система (3.17)-
(3.18) определяет поле плоскостей размерности 2n ? 1. Рассмотрим какую–либо из
Выход
плоскостей этого поля как гиперплоскость в пространстве соответствующей контакт-
ной плоскости (размерности 2n). В качестве координат на контактной плоскости можно
выбрать (dx, dp)6 (поскольку контактная плоскость взаимно однозначно проектируется
на Rn ? Rn ).
x p
Дифференциальная форма ? = du ? p dx называется стандартной контактной фор- Теория устойчивости
мой. Ее дифференциал равен Качественная теория
n Уравнеия в частных . . .
? = d? = ? dpi ? dxi , Предметный указатель
i=1 Литература

т.е. является симплектической формой в пространстве Rn ? Rn (и, в частности, на
x p
контактной плоскости). Как мы знаем, это невырожденная кососимметрическая билиней- Веб – страница

ная форма. Четномерное пространство, наделенное симплектической формой называется
симплектическим (на подобии того как линейное пространство со скалярным произведе- Титульный лист
нием называется евклидовым). Векторы ? и ? в симплектическом пространстве с формой
? называются косоортогональными, если

?(?, ?) = 0 .

Теорема 3.12. Гиперплоскость в симплектическом пространстве имеет одномерное
косоортогональное дополнение, которое лежит в этой гиперплоскости.
Страница 40 из 47
Доказательство. Пусть ?1 , . . . ?2n — базис в симплектическом пространстве, причем пер-
2n
Назад
вые 2n ? 1 векторов составляют базис в гиперплоскости. Тогда вектор ? = yi ?i будет
i=1
косоортогонален рассматриваемой гиперплоскости, если ?(?i , ?) = 0 при i = 1, . . . 2n ? 1: Полный экран


(i = 1, . . . 2n ? 1).
yj ?(?i , ?j ) = 0
Закрыть
j=1

6 точнее — соответствующие проекции вектора
Выход
Это однородная система линейных уравнений на 2n неизвестных y1 , . . . y2n . Ранг систе-
мы равен 2n ? 1 (число уравнений) в силу невырожденности симплектической формы.
Как известно из курса линейной алгебры, система имеет однопараметрическое семейство
решений, т.е. косоортогональное дополнение к гиперплоскости существует и является
прямой. Тот факт, что направляющий вектор этой прямой лежит в косоортогональной Теория устойчивости
гиперплоскости тривиален: иначе векторы ?1 , . . . ?2n?1 , ? образовывали бы базис в сим- Качественная теория
плектическом пространстве, причем ?(?, ?) = 0 для любого ? (в силу ?(?, ?) = 0), что
Уравнеия в частных . . .
противоречит невырожденности формы ?.
Предметный указатель
Определение 3.13. Направление, косоортогональное к плоскости (3.17)-(3.18) в контакт- Литература
ной плоскости (3.18) называется характеристическим для нелинейного уравнения в
частных производных. Фазовые кривые характеристического векторного поля называют- Веб – страница
ся характеристиками для нелинейного уравнения в частных производных.
Найдем уравнения на характеристики. Заметим, что если ? = (X, P ) и ? = (Y, Q) — Титульный лист
два вектора (здесь X, Y, P, Q — n-мерные составляющие векторов) в симплектическом
пространстве со стандартной симплектической формой ? = ? dpi ? dxi , то
?(?, ?) = ? (Pi Yi ? Qi Xi ) = ?P Y + QX .
Заметим, далее, что уравнение плоскости (3.17)-(3.18) в координатах dx, dp имеет вид:
?F ?F ?F
+p dx + dp = 0 . Страница 41 из 47
?x ?u ?p
Точнее, если ? = (X, P ) — произвольный вектор, лежащий в этой плоскости, то (ввиду
Назад
dx(?) = X, dp(?) = P )
?F ?F ?F
+p X+ P = 0.
?x ?u ?p Полный экран
Сравнив полученные уравнения, нетрудно выписать искомый косоортогональный вектор.
В координатах контактной плоскости он задается равенствами Закрыть
?F ?F ?F
Y =?
? = (Y, Q) , , Q= +p .
?p ?x ?u Выход
По традиции характеристический вектор берут противоположного направления. Таким
образом, характеристическое поле a в R2n+1 определяется равенством

?F ?F ?F ?F
,? ?p
a= ,p
?p ?p ?x ?u
Теория устойчивости

(здесь средняя компонента вектора найдена из уравнения контактной плоскости) и урав- Качественная теория
нения на характеристики имеют вид Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
dx ?F du ?F dp ?F ?F
=? ?p (3.19)
= , =p , Литература
dt ?p dt ?p dt ?x ?u
или в развернутом виде Веб – страница

n
dxi ?F du ?F dpi ?F ?F
=? ? pi
= , = pj , , i = 1, . . . n . Титульный лист
dt ?pi dt ?pj dt ?xi ?u
j=1

Определение 3.14. 1-струей или 1-джетом функции u в точке x называется вектор
(x, u, u).
Уравнение в частных производных 1-го порядка есть не что иное, как неявное задание
графиков 1-струй (так называемый 1-график) решений этого уравнения. К графику 1-
Страница 42 из 47
струй функции u можно относится как к графику вектор–функции (u, u). Заметим, что
это n-мерная поверхность в (2n + 1)-мерном пространстве.
Назад
Теорема 3.15. График 1-струй решения уравнения в частных производных (3.16) вы-
стилается характеристиками.
Полный экран
Доказательство. Пусть u = U (x) — решение уравнения в частных производных. Тогда
Закрыть
n n
?F ?F ?F ? U ?F ?F ?U ?F ? ?U ?F (x, U, U )
+ U+ = + + = = 0.
?x ?u ?pi ?xi ?x ?u ?x i=1 ?pi ?x ?xi ?x
i=1 Выход

<< Предыдущая

стр. 6
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>