<< Предыдущая

стр. 7
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Рассмотрим решение x(t) дифференциального уравнения
dx ?F (x, U (x), U (x))
= .
dt ?p
Тогда в силу Теория устойчивости
n n
dU ? U dxi ?F ? U Качественная теория
= =
dt ?xi dt ?pi ?xi Уравнеия в частных . . .
i=1 i=1
Предметный указатель
заключаем, что функция p(t) = U (x(t)) является решением уравнения
Литература
dp ?F ?F
=? ?p ,
dt ?x ?u Веб – страница
т.е. вектор
dx(t) dU (x(t)) d
, , U (x(t)) Титульный лист
dt dt dt
является характеристическим.
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в следующем. Подпространство
симплектического пространства называется изотропным, если любые два вектора этого
подпространства косоортогональны между собой. Примером изотропного пространства
является касательная плоскость к графику решения
Страница 43 из 47
du = p dx , p= U.
Назад
Это вытекает из леммы Пуанкаре (равенство смешанных производных)
?2U
?U
? dxi = dxj ? dxi = 0 .
d Полный экран
?xi ?xi ?xj
Изотропное пространство не может быть размерности большей, чем n (половина размер- Закрыть
ности симплектического пространства), поскольку оно содержится в своем косоортого-
нальном дополнении: если m — размерность изотропного пространства, то 2n ? m m.
Выход
Пусть (x(t), u(t), p(t)) — характеристика. Вектор (x (t), u (t), p (t)) косоортогонален (как
характеристический) векторам, лежащим в касательной плоскости графика решения. Ес-
ли при этом он не лежит в самой этой плоскости, то линейная оболочка, натянутая на
характеристический вектор и касательную плоскость, будет (n + 1)-мерным изотропным
пространством, противоречие. Теория устойчивости
В качестве примера рассмотрим уравнение эйконала Качественная теория
2 2
?u ?u Уравнеия в частных . . .
+ = 1.
?x ?y Предметный указатель
Литература
Тогда F (x, y, u, p, q) = p2 + q 2 . Уравнения на характеристики запишутся в виде
u = 2p2 + 2q 2 ,
x = 2p , y = 2q , p = 0, q = 0. Веб – страница

При этом p2 + q 2 = 1. Находим характеристики
Титульный лист
p2 + q 2 = 1 .
x = 2pt + x0 , y = 2qt + y0 , u = 2t + u0 , p = const , q = const ,
Заметим, что u(x0 , y0 ) = u0 . Пусть f (x, y) = const — некоторая гладкая кривая в плос-
кости x, y. Зададим на этой кривой значение функции u полагая u = u0 . Фиксировав
точку (x0 , y0 ) на начальной кривой получим в качестве характеристики прямую в R5 .
Проекция характеристики на плоскость x, y также является прямой. Направляющий век-
тор этой прямой равен 2(p, q), т.е. пропорционален u = (p, q). Так как начальная кривая
Страница 44 из 47
является линией уровня функции u, то вектор u = (p, q) перпендикулярен начальной
кривой. Если (x, y) — точка на проекции характеристики, то
Назад
(x ? x0 )2 + (y ? y0 )2 + u0 ,
u=
т.е. построенное решение u имеет смысл расстояния от точки (x, y) до начальной кривой Полный экран
плюс константа.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Гамильтона–Якоби Закрыть

?S ?S
+ H t, x, = 0,
?t ?x Выход
где H(t, x, p) — заданная гладкая функция, называемая функцией Гамильтона. Соот-
ветствующая функция F имеет вид F (t, x, S, q, p) = q + H(t, x, p). Особенностью этого
уравнения является то, что искомая функция S не входит в уравнение явно. Уравнения
на характеристики имеют вид
Теория устойчивости
dt dx ?H dS ?H dq ?H dp ?H
=? =?
= 1, = , =q+p , , . Качественная теория
d? d? ?p d? ?p d? ?t d? ?x
Уравнеия в частных . . .
Если гамильтониан не зависит явно от времени (т.е. q = const), то уравнения на харак- Предметный указатель
теристики сводятся к системе канонических гамильтоновых уравнений Литература

dx
= ?H ,
dt ?p Веб – страница
dp
= ? ?H .
dt ?x

Титульный лист




Страница 45 из 47



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
Предметный указатель
1-джет, 42 трансверсальность, 31 Теория устойчивости
1-струя, 42 Качественная теория
узел
Уравнеия в частных . . .
асимптотическая устойчивость, 3 неустойчивый, 18
Предметный указатель
устойчивый, 18
задача Коши, 31 уравнение Лиувилля, 30 Литература

устойчивость по Ляпунову, 3, 4
изотропным, 43 Веб – страница
фокус, 21
канонические уравнения Гамильтона, 30 функция Гамильтона, 30
квазилинейное уравнение, 28, 34 Титульный лист
контактная гиперплоскость, 39 характеристика
косоортогональность, 40 квазилинейное уравнение, 35
линейного уравнения, 29
начальное многообразие нелинейноый случай, 41
квазилинейный случай, 35 характеристическое поле
нехарактеристическая точка, 31 квазилинейные уравнения, 35
нехарактеристическое начальное усло- Страница 46 из 47
линейное уравнение, 29
вие, 35 нелинейное уравнение, 41
Назад
первые интегралы, 29 центр, 21
положительная определенность, 10
предельный цикл, 23 Полный экран


седло, 18
Закрыть
сепаратриса, 20
стандартная контактная форма, 40
Выход
Список литературы
[1] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. Наука, 1978.
Теория устойчивости
[2] Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. Библиотека сту-
дента математика. Фазис, 1997. Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
[3] Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, Предметный указатель
общая алгебра. Справочная математическая библиотека. Наука, 1965. Литература

[4] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциалные уравнения. Мир, 1970.
Веб – страница
[5] H. Hochstadt. Differential equations. A modern approach. Dover Publications, Inc.,
1975.
Титульный лист




Страница 47 из 47



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход

<< Предыдущая

стр. 7
(из 7 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ