стр. 1
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Ряды и интегралы Фурье Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
А.М.Будылин Литература
budylin@mph.phys.spbu.ru

Веб – страница
26 марта 2002 г.

Титульный лист




Страница 1 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
Часть I
Ряды Фурье
Тригонометрические ряды Ряды Фурье
Интегралы Фурье
История вопроса
Предметный указатель
Экскурс в теорию комплексных чисел Литература

Определения
Веб – страница
Случай равномерной сходимости

Тригонометрические ряды Фурье
Титульный лист
Постановка задачи

Экскурс в теорию унитарных пространств

Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2? –периодических функций

Свертка периодических функций

Сходимость рядов Фурье
Страница 2 из 127
Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной системы

Замечания по поводу сходимости
Назад
Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье

Ряды Фурье периодических функций с периодом T = 2l Полный экран

Разложение четных и нечетных функций
Закрыть
Вещественная форма тригонометрического ряда Фурье


Выход
Понятие об улучшении скорости сходимости ряда Фурье

Примеры и приложения
Периодические решения

Задача о колебаниях струны Ряды Фурье

Нетригонометрические ряды Фурье Интегралы Фурье
Предметный указатель
Краевые задачи теории дифференциальных уравнений
Литература
Нормальная форма краевой задачи

Веб – страница
Регулярная задача Штурма–Лиувилля

Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма–Лиувилля
Титульный лист
Теорема Штурма




Страница 3 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
1. Тригонометрические ряды
1.1. История вопроса
Считается, что самый первый тригонометрический ряд был написан Эйлером. В его
«Дифференциальном исчислении» 1755 года1 в главе «О представлении функций Ряды Фурье

рядами» можно найти следующее равенство Интегралы Фурье
Предметный указатель
??x sin 2x sin 3x
+ ··· , x ? (0, 2?) .
= sin x + + Литература
2 2 3
Приблизительно в это же время Даниил Бернулли, в связи с задачей о колебании Веб – страница
струны, впервые высказывает уверенность в возможности аналитического выраже-
ния «любой линии» на отрезке [0, 2?] рядом из синусов и косинусов кратных дуг.
Титульный лист
Однако положение здесь в значительной степени оставалось невыясненным вплоть
до 1805 года2 , когда Жан Батист Жозеф Фурье в статье о распространении тепла
внутри твердых тел представил формулы для коэффициентов разложения функции
в ряд по синусам и косинусам кратных дуг. Именно с его именем стали связывать
следующие формулы для вычисления «коэффициентов Фурье»
? ?
1 1
an = f (x) cos nx dx , bn = f (x) sin nx dx , Страница 4 из 127
? ?
?? ??

Назад
для функции f с периодом 2?, представимой в виде суммы тригонометрического
ряда
?
a0 Полный экран
f (x) = + (an cos nx + bn sin nx) .
2 n=1
Закрыть
1 В действительности, впервые о нем Эйлер сообщил в письме к Гольдбаху в 1744 году
2 Книга Фурье "Аналитическая теория теплоты"была опубликована в 1822 году
Выход
Следует, однако, подчеркнуть, что вопрос о представлении более или менее произ-
вольной функции (с периодом 2?) в виде суммы тригонометрического ряда вовсе не
был решен Фурье, и еще на протяжении целого столетия математики занимались
поисками тех или иных условий, при которых такое представление в том или ином
смысле имеет место.
Ряды Фурье
В настоящее время уже давно является осмысленным тот факт, что теория рядов
Интегралы Фурье
Фурье существенно зависит от понятия интеграла.3 Принимая в формулах Фурье все
Предметный указатель
более и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Лебега, Данжуа), мы
Литература
все более и более будем расширять класс тригонометрических рядов Фурье. В насто-
ящее время проводится разграничение даже между общими тригонометрическими
рядами и тригонометрическими рядами Фурье. Так, например, тригонометрический Веб – страница
ряд
?
sin nx Титульный лист
ln n
n=2

сходится всюду, но не является рядом Фурье никакой интегрируемой (по Лебегу)
функции.
Наконец, следует отметить, что благодаря работам Гильберта (начало XX века)
стало возможным излагать теорию рядов Фурье в геометрической форме как теорию
ортогональных (не только тригонометрических) разложений.
Дальнейшее изложение ориентировано на интеграл Римана.4 Это обстоятельство Страница 5 из 127
не позволит осмыслить многие факты, касающиеся сходимости рядов Фурье, но, по
образному выражению Хевисайда,5 «станете ли Вы отказываться от обеда только Назад
потому, что Вам не полностью понятен процесс пищеварения?»
3 Это было отмечено еще Н.Н.Лузиным в его диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд» в Полный экран
1915 году
4 А не на более общий и более пригодный для данных рассмотрений интеграл Лебега
5 Оливер Хевисайд — знаменитый английский физик и инженер, создатель операционного исчисления
Закрыть



Выход
1.2. Экскурс в теорию комплексных чисел
Напомним, что множество комплексных чисел — это множество упорядоченных пар
вещественных чисел (x, y) с операциями сложения

(1.1)
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Ряды Фурье
Интегралы Фурье
и умножения Предметный указатель
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 ? y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ,
Литература
относительно которых множество комплексных чисел становится числовым полем
C. Важно также, что относительно комплексного сложения (1.1) и умножения на Веб – страница
вещественные числа
c(x, y) = (cx, cy) ,
Титульный лист
поле C можно рассматривать как двумерное вещественное векторное пространство
R2 , т.е. плоскость. Комплексное число вида (x, 0) при этом отождествляется с ве-
щественным x. Выбирая в качестве базиса в R2 стандартный: 1 ? (1, 0) и i = (0, 1),
приходим к алгебраической записи комплексного числа

z = (x, y) = x + yi = x + iy .

Операция предельного перехода определяется покоординатно. Таким образом, Страница 6 из 127


lim zn = lim xn + i lim yn ,
Назад
zn = xn + i yn ,
Полный экран
где zn = xn + iyn — последовательность комплексных чисел. Аналогично, если
z = z(t) = x(t) + iy(t) — комплекснозначная функция вещественного переменного t,
Закрыть



Выход
то

lim z(t) = lim x(t) + i lim y(t) ,
t>t0 t>t0 t>t0

z (t) = x (t) + iy (t) ,
Ряды Фурье
b b b
Интегралы Фурье
z(t) dt = x(t) dt + i y(t) dt .
Предметный указатель
a a a
Литература
Вместе с тем, комплексная плоскость C является метрическим пространством, функ-
ция расстояния d на котором определена модулем разности комплексных чисел
Веб – страница

d(z1 , z2 ) = |z2 ? z1 |
Титульный лист
и операция предельного перехода может быть описана на языке «?-?» формально так
же, как и в вещественном случае (с заменой слов «абсолютная величина» словом
«модуль»). Например, критерий Коши существования конечного предела последо-
вательности zn будет записываться так: последовательность zn имеет конечный
предел тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.е.

?? > 0 ?N ? N : N ? |zn ? zm | < ? .
n, m
Страница 7 из 127
В тригонометрической теории (комплексных) рядов Фурье исключительную роль
играет комплексная экспонента exp(it) ? eit . Эта функция может быть определена
любым из следующих эквивалентных способов Назад


eit = cos t + i sin t ,
Полный экран
n
t
eit = lim 1 + i ,
n
n>?
? Закрыть
n
(it)
eit = .
n!
n=0
Выход

стр. 1
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>