<< Предыдущая

стр. 10
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
u(x, t) = bn (t) sin nx , Титульный лист
n=1

что сразу позволяет удовлетворить граничным условиям. Вычисляя формально ко-
эффициенты Фурье левой и правой частей волнового уравнения (3.4), приходим к
равенствам
bn (t) = ?a2 n2 bn (t) (n ? N) .
Начальные условия будут выполнены, если
Страница 58 из 127

bn (0) = bn ,
Назад
bn (0) = 0 ,
?
2 Полный экран
где bn — коэффициенты Фурье функции f (x): f (x) sin nx dx. Решение
bn = ?
0
задачи Коши для функций bn (t) имеет вид
Закрыть

bn (t) = bn cos(ant) ,
Выход
что ведет к представлению искомого решения в виде
?
(3.5)
u(x, t) = bn cos(ant) sin(nx) .
n=1
Ряды Фурье
Однако, чтобы полученная функция u(x, t) была действительно решением, надо обес-
Интегралы Фурье
печить возможность дважды непрерывно дифференцировать ряд (3.5) как по t, так
Предметный указатель
и по x почленно. Например, достаточно потребовать сходимости ряда
Литература
?
|bn |n2 .
Веб – страница
n=1

Последний ряд заведомо сходится, если функция f (x), например, трижды непрерыв-
Титульный лист
но дифференцируема на [0, ?] и

f (0) = f (?) = 0 .

В этом случае
?
2
bn = ? 3 f (x) cos nx dx ,
?n
0
Страница 59 из 127
?
?n
т.е. bn · n2 = |?n |2 сходится.
, где ряд
n Назад
n=1
Заметим далее, что
sin n(x ? at) + sin n(x + at) Полный экран
cos(ant) sin(nx) =
2
и Закрыть
?
f (x) = bn sin nx .
n=1 Выход
Отсюда
f (x ? at) + f (x + at)
u(x, t) = .
2
Найденное решение имеет вид суперпозиции двух разбегающихся со скоростью a
волн. Отметим, что в последнем представлении решения функция f (x) должна по- Ряды Фурье
ниматься как продолженная. Функция f (x) исходно была задана лишь на интервале
Интегралы Фурье
[0, ?]. В ходе решения она фактически была продолжена сначала как нечетная на
Предметный указатель
интервал [??, ?] и далее периодически с периодом 2?.
Литература
Более общие примеры и метод Фурье разделения переменных, позволяющий рас-
сматривать более общие постановки задач, будут рассмотрены в курсе математиче-
ской физики или на семинарских занятиях. Веб – страница



Титульный лист




Страница 60 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
4. Нетригонометрические ряды Фурье
4.1. Краевые задачи теории дифференциальных уравнений
Основной задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. В
физических приложениях же на первый план выступают так называемые краевые Ряды Фурье

задачи. Мы остановимся на краевых задачах для обыкновенных дифференциаль- Интегралы Фурье
ных уравнений второго порядка. В достаточно общей форме такая задача ставится Предметный указатель
следующим образом. Литература
На отрезке [a, b] отыскать решения y = y(x) дифференциального уравнения
(4.1)
p2 (x)y + p1 (x)y + p0 (x)y = f (x) , Веб – страница

удовлетворяющие краевым (или граничным) условиям
Титульный лист
?0 y(a) + ?1 y (a) = c1 ,
(4.2)
?0 y(b) + ?1 y (b) = c2 .
Функции p0 , p1 , p2 и f будут предполагаться непрерывными. Если c1 = c2 = 0,
краевые условия называются однородными. Мы ограничимся именно этим случаем.
Последнее ограничение позволяет нам рассматривать множество непрерывно
дифференцируемых7 на отрезке [a, b] функций, удовлетворяющих однородным кра-
евым условиям, как линейное пространство. Обозначим это пространство функций Страница 61 из 127
через V1 . Подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций из V1
обозначим через V2 . Тогда краевая задача примет вид: найти y ? V2 такие, что Назад
(4.3)
L(y) = f ,
где L — линейный оператор, определенный на функциях из V2 8 равенством Полный экран

L(y) = p2 (x)y + p1 (x)y + p0 (x)y .
Закрыть
7в случае условий Дирихле вместо непрерывной дифференцируемости можно ограничиться просто
непрерывностью
8 значения оператора L, конечно, уже не лежат в V
2
Выход
Естественно возникают вопросы: какова область значений оператора L, т.е. при
каких f уравнение (4.3) имеет решение? Единственно ли решение, если задача разре-
шима? Для ответа на эти вопросы нужно изучить спектральные свойства операто-
ра L. Последнее означает, что нужно изучить разрешимость задачи на собственные
функции и собственные значения оператора L, т.е. найти все пары (?, y), где ? ? C
Ряды Фурье
и y ? V2 , y = 0 такие, что
Интегралы Фурье
L(y) = ?y .
Предметный указатель
Мы увидим, что задача на собственные функции и собственные значения операторов Литература
краевых задач является источником различных ортонормированных (в определен-
ном смысле) систем — систем собственных функций. Если задача на собственные
Веб – страница
функции и собственные значения оператора L решена и привела к полной ортонор-
мированной системе (в каком-то смысле) собственных функций ?1 , ?2 , . . . , причем
среди собственных значений ?n нет равного нулю, решение краевой задачи фор- Титульный лист
мально строится элементарно. Действительно, разложим функцию f в ряд Фурье
относительно о.н.с. ?n
?
f= cn (f )?n .
n=1
Будем искать решение y краевой задачи также в виде ряда Фурье
?
Страница 62 из 127
y= cn (y)?n .
n=1
Назад
Считая, например, что скорость сходимости этого ряда позволяет пронести оператор
L за знак суммы
? ? Полный экран
L cn (y)?n = cn (y)L(?n )
n=1 n=1
Закрыть
найдем, что уравнение (4.3), ввиду L(?n ) = ?n ?n , примет вид
?n cn (y) = cn (f ) , n = 1, 2, . . . Выход
откуда
?
cn (f )
y= ?n .
?n
n=1

Вопрос о сходимости ряда и принадлежности построенной функции y пространству
Ряды Фурье
V2 должен рассматриваться отдельно.
Интегралы Фурье
Предметный указатель
4.2. Нормальная форма краевой задачи Литература
При исследовании краевой задачи удобно переписать дифференциальное уравнение
на собственные значения в симметричном виде. Именно, домножим уравнение Веб – страница

p2 y + p1 y + p0 y = ?y
Титульный лист
на функцию ? такую, чтобы уравнение приняло вид

?(py ) + qy = ??y .

Очевидно, функция ? находится из уравнения

p1 ? = (p2 ?) ,
Страница 63 из 127
при этом p = ?p2 ?. Таким образом, если p2 не обращается в ноль, найдем
p
p1 Назад
dx
?=?
p = Ce , .
p2
p2
Полный экран
Оператор L, формально определенный равенством

?(py ) + qy Закрыть
(4.4)
L(y) =
?
Выход
называется оператором Штурма–Лиувилля. Краевая задача на собственные числа
и собственные функции (?, y) оператора L

? (py ) + qy = ??y , (4.5)
?0 y(a) + ?1 y (a) = 0 , Ряды Фурье
(4.6)
?0 y(b) + ?1 y (b) = 0 Интегралы Фурье
Предметный указатель
называется задачей Штурма–Лиувилля, при этом предполагается, что p, q и ? — Литература
вещественные непрерывные функции, причем p — непрерывно дифференцируема, а
p и ? — неотрицательны. Коэффициенты ?1 , ?2 , ?1 , ?2 считаются вещественными и
Веб – страница
такими, что
(?1 , ?2 ) = 0 = (?1 , ?2 ) .
Титульный лист
Краевые условия
(4.7)
y(a) = 0 , y(b) = 0
называются условиями Дирихле. Краевые условия

(4.8)
y (a) = 0 , y (b) = 0

называются условиями Неймана.
Страница 64 из 127
Дифференциальное уравнение задачи Штурма–Лиувилля может быть подверг-
нуто дальнейшей редукции. Если ввести независимую переменную t равенством
Назад
dx
t=
p(x)
Полный экран
(считая, что p = 0), то ввиду равенств
Закрыть
d dx d d
·
= =p ,
dt dt dx dx
Выход
дифференциальное уравнение примет вид

d2
? 2 y + pqy = ?p?y .
dt
Положим теперь Ряды Фурье
dt Интегралы Фурье
y = k(t)u(s) , s= ,
k 2 (t) Предметный указатель
где k — пока неопределенная функция, а s и u, соответственно, новые независимая Литература

<< Предыдущая

стр. 10
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>