<< Предыдущая

стр. 11
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

переменная и искомая функция. При этом
Веб – страница
dy dk du ds dk 1 du
· u+ ·
= u+k = ,
dt dt ds dt dt k ds
d2 y d2 k 1 dk du 1 d2 u ds d2 k 1 d2 u
dk du ds Титульный лист
· · ? 2· · + · 2· = 2 u+ 3 · 2 ,
= 2 u+
dt2 dt dt ds dt k dt ds k ds dt dt k ds
откуда приходим к дифференциальному уравнению

1 d2 u d2 k
? 3 · 2 + pqk ? 2 u = ?p?ku .
k ds dt
Полагая (этим определяется выбор функции k) Страница 65 из 127

d2 k
p?k 4 = 1 , r = pqk 4 ? k 3 , Назад
dt2
получим уравнение
d2 u Полный экран
? + ru = ?u .
ds2
При описанной замене краевые условия сохранят вид однородных краевых условий Закрыть
(с новыми коэффициентами).
Выход
4.3. Регулярная задача Штурма–Лиувилля
Оператор L (4.4) называется регулярным оператором Штурма–Лиувилля, если
p, ? > 0. Задача (4.5)–(4.6) называется регулярной, если L — регулярный опера-
тор Штурма–Лиувилля.
Отметим некоторые свойства решений регулярной задачи Штурма–Лиувилля. Ряды Фурье
Интегралы Фурье
1. Корни собственных функций просты. Предметный указатель
Действительно, если y(x0 ) = 0 и y (x0 ) = 0, то в силу единственности решения Литература
задачи Коши y(x) ? 0.
Веб – страница
2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до мно-
жителя собственная функция (т.е. собственные числа оператора Штурма–
Лиувилля — простые). Титульный лист
Действительно, пусть y1 и y2 — собственные функции, отвечающие собствен-
ному значению ?. Заметим, что однородная система (относительно переменных
?0 и ?1 )
?0 y1 (a) + ?1 y1 (a) = 0 ,
?0 y2 (a) + ?1 y2 (a) = 0
имеет нетривиальное решение, что возможно только, если определитель систе-
Страница 66 из 127
мы равен нулю. Это означает, что определитель Вронского решений

W [y1 , y2 ] = y1 y2 ? y2 y1 Назад

равен нулю (в точке a и, следовательно, равен нулю тождественно), откуда и
Полный экран
вытекает линейная зависимость решений y1 и y2 .
3. Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. Соответству-
Закрыть
ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.

Выход
Для доказательства заметим, сначала, что интегрирование по частям два раза
приводит к равенству
b b
b
[qf ? (pf ) ]g dx = pW [f, g] + f [qg ? (pg ) ] dx .
a Ряды Фурье
a a
Интегралы Фурье
Если f и g — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, Предметный указатель
удовлетворяющие краевым условиям задачи (т.е. f, g ? V2 ), то в силу краевых Литература
условий определитель Вронского W [f, g] обращается в ноль в точках a и b. 9
Введем скалярное произведение и соответствующую норму, полагая
Веб – страница
b

f |g = f |f . (4.9)
f g ?dx , f= Титульный лист
a

Тогда полученное выше равенство (при нулевых внеинтегральных членах) при-
мет вид 10
L[f ]|g = f |L[g] .
Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — соб-
ственная функция, отвечающая собственному значению ?, то
Страница 67 из 127
2 2
?y = L[y]|y = y|L[y] = ? y ,
Назад
откуда в силу y = 0 получаем ? = ?, т.е. ? — вещественно.
Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = ?y и вещественности
Полный экран
функций p, ? и q отдельно вещественная и мнимая части собственной функции
y будут являться решениями этого уравнения.11
Закрыть
9 Здесь важную роль играет вещественность коэффициентов в краевых условиях.
10 Здесь важную роль играет вещественность функций p и q.
11 В силу предыдущего свойства, эти части, разумеется, пропорциональны.
Выход
В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных
функций.
4. Различным собственным значениям ?1 и ?2 отвечают ортогональные собствен-
ные функции y1 и y2 :
b Ряды Фурье

y1 |y2 = y1 y2 ?dx = 0 . Интегралы Фурье
Предметный указатель
a
Литература
Действительно,
Веб – страница
(?1 ? ?2 ) y1 |y2 = L[y1 ]|y2 ? y1 |L[y2 ] = 0 .

5. Собственные числа образуют бесконечную монотонно возрастающую последо- Титульный лист
вательность, стремящуюся к бесконечности

?n > ? .
?1 < ? 2 < . . . < ? n < . . . ,
n>?

Это свойство будет доказано в курсе вариационного исчислениия, см. файл
var.pdf.
Страница 68 из 127
Рассмотрим унитарное пространство непрерывных дифференцируемых функций,
удовлетворяющих краевым условиям (4.6), определяя скалярное произведение ра-
венством (4.9). Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля yn будем считать Назад
нормированными:
b
Полный экран
2
|yn (x)|2 ?(x) dx = 1 .
yn =
a
Закрыть
Тогда они образуют ортонормированную систему. Коэффициенты Фурье функции
f (из описанного унитарного пространства) относительно такой ортонормированной
Выход
системы определены соотношением12
b

cn (f ) = f |yn = f (x)yn (x)?(x) dx .
a
Ряды Фурье

Разложение функции f в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма– Интегралы Фурье

Лиувилля имеет вид Предметный указатель
?
Литература
f? cn (f )yn .
n=1
Веб – страница
Можно показать, что системы собственных функций регулярных задач Штурма–
Лиувилля полны (замкнуты), так что ряд Фурье сходится к функции в среднеквад-
ратичном. Титульный лист



4.4. Полнота собственных функций регулярной задачи Штурма–
Лиувилля
Ограничимся наброском доказательства полноты считая, что:
1. ? = 1 , Страница 69 из 127

2. Унитарное пространство V1 состоит из вещественных непрерывных функций,
удовлетворяющих условиям Дирихле (4.7). Назад

В рассматриваемом случае
Полный экран
b

f |g = f (x)g(x) dx .
Закрыть
a

12 напомним о предполагаемой вещественности собственных функций
Выход
Положим
b b

[py 2 + qy 2 ] dx .
I(y) ? L(y)|y = [?(py ) + qy]y dx =
a a
Ряды Фурье
В курсе «Вариационное исчисление» будет показано, см. файл var.pdf, что наи- Интегралы Фурье
меньшее значение квадратичного функционала I(y) при условиях Предметный указатель
Литература
y(a) = y(b) = 0 , y = 1,

достигается и равно Веб – страница

min I(y) = ?1 , ?1 = I(y1 ) ,
Титульный лист
где ?1 — наименьшее собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–
Лиувилля и y1 — соответствующая собственная функция, y1 = 1. Более того,
имеет место следующее утверждение, известное как вариационный принцип в про-
блеме собственных значений.
Пусть y1 , y2 , . . . yn?1 — ортонормированная система собственных функций, от-
вечающих первым n ? 1 собственным числам задачи Штурма–Лиувилля, располо-
женным в порядке возрастания ?1 < ?2 < . . . < ?n?1 . Тогда наименьшее значение
квадратичного функционала I(y) при условиях Страница 70 из 127

y ? yk ?k = 1, 2, . . . (n ? 1) ,
y(a) = y(b) = 0 , y = 1,
Назад
достигается, причем
min I(y) = ?n , ?n = I(yn ) , Полный экран
где ?n — n-ое собственное значение рассматриваемой задачи Штурма–Лиувилля и
yn — соответствующая собственная функция. Закрыть
Воспользуемся этим принципом для доказательства полноты (замкнутости) си-
стемы собственных функций оператора Штурма–Лиувилля L в пространстве V1 .
Выход
Положим
n?1
rn = f ? ck yk ,
k=1

где ck = f |yk — коэффициенты Фурье функции f , так что yk ? rn при k < n.
Ряды Фурье
Тогда
Интегралы Фурье
n?1 n?1
Предметный указатель
L(rn )|rn = L(f )|rn ? ck L(yk )|rn = L(f )|rn ? ck ?k yk |rn ,
Литература
k=1 k=1

и в силу yk |rn = 0 получаем Веб – страница

L(rn )|rn = L(f )|rn .
Титульный лист
Считая, что rn = 0, полагаем

rn = rn en ,

так что
en ? y1 , . . . yn?1 .
en = 1 ,
В силу вариационного принципа находим
Страница 71 из 127
2 2 2
L(rn )|rn = rn L(en )|en rn min L(y)|y = ?n rn ,
y =1,
y?y1 ,...yn?1
Назад
откуда в силу неравенства Шварца
Полный экран
2
L(f ) · rn ,
? n rn L(f )|rn

т.е. ввиду ?n > +? при n > ? Закрыть

L(f )
> 0.
rn
?n n>? Выход
Но это в точности и означает замкнутость системы собственных функций.
Вернемся, теперь, к уравнению

L(y) = f .

Заметим, что в силу симметричности L Ряды Фурье
Интегралы Фурье
cn (L(y)) = L(y)|yn = y|L(yn ) = y|?n yn = ?n y|yn = ?n cn (y) , Предметный указатель
Литература
так что равенство
?n cn (y) = cn (f )
Веб – страница
является равенством коэффициентов Фурье L(y) и f . Вопрос о том, будет ли функ-
ция
?

<< Предыдущая

стр. 11
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>