<< Предыдущая

стр. 12
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

cn (f ) Титульный лист
y= yn
?n
n=1

действительно являться решением задачи Штурма–Лиувилля, зависит от скорости
сходимости этого ряда.

4.5. Теорема Штурма
Страница 72 из 127
В этом параграфе мы познакомимся с характером поведения собственных функций
оператора Штурма–Лиувилля.
Назад
Теорема 4.1 (Штурм). Пусть y1 и y2 решения, соответственно, уравнений

(4.10)
y + a1 (x)y = 0 , Полный экран
(4.11)
y + a2 (x)y = 0 ,
Закрыть
где a1 и a2 — непрерывные функции, причем

a1 (x) a2 (x) (?x) . Выход
Тогда между любыми двумя нулями решения y1 уравнения (4.10) находится по
крайней мере один ноль решения y2 уравнения (4.11):

? ?x3 ? [x1 , x2 ] :
y1 (x1 ) = y1 (x2 ) = 0 , x1 < x2 y2 (x3 ) = 0 .

Доказательство. Умножим равенство Ряды Фурье
Интегралы Фурье
y1 + a1 y1 = 0
Предметный указатель
на y2 , а равенство Литература
y2 + a2 y2 = 0
на y1 и вычтем первое из второго. Получим Веб – страница

(y1 y2 ? y2 y1 ) + (a2 ? a1 )y1 y2 = 0 .
Титульный лист
Пусть x1 и x2 — смежные корни решения y1 . Предположим, что в интервале [x1 , x2 ]
нет корней решения y2 . Без ограничения общности (в силу однородности уравнений)
можем считать, что y1 и y2 неотрицательны на интервале [x1 , x2 ]. Проинтегрируем
последнее равенство в интервале [x1 , x2 ], получим
x2
x2
(y1 y2 ? y2 y1 ) (a2 ? a1 )y1 y2 dx = 0 ,
+
x1 Страница 73 из 127
x1

откуда
Назад
?y2 (x2 )y1 (x2 ) + y2 (x1 )y1 (x1 ) 0.
Но в силу простоты корней решения y1 и из предположения y1 0 на интервале
Полный экран
[x1 , x2 ] заключаем, что y1 (x1 ) > 0 и y1 (x2 ) < 0. По предположению, также, y2 > 0 в
интервале [x1 , x2 ], т.е.
Закрыть
?y2 (x2 )y1 (x2 ) + y2 (x1 )y1 (x1 ) > 0 ,

противоречие. Выход
Посмотрим теперь на уравнение на собственные значения оператора Штурма–
Лиувилля. Воспользуемся простейшей из нормальных форм:

?y + ry = ?y

или Ряды Фурье

y + (? ? r)y = 0 . Интегралы Фурье
Предметный указатель
k2 ,
Напомним, что ?n > +?. Если ?n такое собственное значение, что ?n ? r
? Литература
то соответствующая собственная функция yn в каждом интервале длины будет
k
иметь хотя бы один корень. Это вытекает из теоремы Штурма и того факта, что
Веб – страница
решением уравнения
y + k2 y = 0
Титульный лист
является функция y = C1 cos kx + C2 sin kx, обладающая этим свойством. Таким
образом, собственные функции (с большими номерами) регулярных операторов
Штурма–Лиувилля являются осциллирующими.




Страница 74 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
Часть II
Интегралы Фурье
Преобразование Фурье Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Интеграл Фурье: интуитивный подход
Предметный указатель
Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции Литература

Формула обращения
Веб – страница
Обратное преобразование Фурье

Гладкость и скорость убывания преобразований Фурье
Титульный лист
Пространство Шварца

Свертка функций
Примеры и приложения
Сводка формул

Распространение тепла в бесконечном стержне
Страница 75 из 127
Частотный спектр

Добавление Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
5. Преобразование Фурье
5.1. Интеграл Фурье: интуитивный подход
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую на всей оси абсолютно интегрируемую
функцию f (x): Ряды Фурье
+? Интегралы Фурье
1
f ? C (R) : |f (x)| dx < ? . Предметный указатель
Литература
??

Разложим ее в ряд Фурье на интервале [?l, l] большой длины 2l:
Веб – страница
l
+?
1 ?
f (t)ei l n(x?t) dt , x ? (?l, l) .
f (x) =
2l Титульный лист
n=??
?l

Введем разбиение оси R точками
?n
(n ? Z) ,
?n =
l
при этом
?
>
??n = 0.
l l>+?
Страница 76 из 127
Заметим, что при l > +?
l +?
Назад
i?n (x?t) i?n (x?t)
dt >
f (t)e f (t)e dt
??
?l
Полный экран
и можно думать (вспоминая суммы Римана), что
l +? +? Закрыть
+?
1 1
i?n (x?t) i?(x?t)
>
f (x) = ??n f (t)e dt d? f (t)e dt ,
2? 2?
l>+?
n=?? ?? ??
?l Выход
т.е. при всех x ? R
+? +?
1
f (t)ei?(x?t) dt . (5.1)
f (x) = d?
2?
?? ??

Последняя формула действительно имеет место и составляет содержание теоремы Ряды Фурье
Фурье, а интеграл в правой части равенства называется интегралом Фурье функции Интегралы Фурье
f. Предметный указатель
Равенство (5.1) принято разбивать на два Литература

+? +?
1
f (t)e?i?t dt , Веб – страница
f (?)ei?x d? , (5.2)
f (?) = f (x) =
2?
?? ??
Титульный лист
или, в симметричной форме,
+?
1
f (x)e?i?x dx ,
f (?) = v (5.3)
2?
??
+?
1
f (?)ei?x d? .
f (x) = v (5.4) Страница 77 из 127
2?
??

Назад
При этом функция f (в обоих вариантах) называется преобразованием Фурье функ-
ции f . Для определенности мы в дальнейшем будем пользоваться симметричной
формой преобразования Фурье. Полный экран
Для получения вещественной формы интеграла Фурье заметим, что если функ-
Закрыть



Выход
ция f (x) — вещественная, то
+? +? +? +?
1 i
f (t) cos ?(x ? t) dt + f (t) sin ?(x ? t) dt
f (x) = d? d?
2? 2?
?? ?? ?? ??
Ряды Фурье
+? +? +? +?
Интегралы Фурье
1 1
f (t) cos ?(x ? t) dt = f (t) cos ?(x ? t) dt .
= d? d? Предметный указатель
2? ?
?? ?? ??
0 Литература

Равенство
+? +?
Веб – страница
1
f (t) cos ?(x ? t) dt (5.5)
f (x) = d?
?
??
0 Титульный лист
остается справедливым и для комплексных функций (оно верно как для веществен-
ной, так и для мнимой части комплекснозначной функции и в силу линейности
интеграла — для произвольной их линейной комбинации).
Если воспользоваться формулой косинуса разности, равенство (5.5) запишется в
виде
+? +? +? +?

<< Предыдущая

стр. 12
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>